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山东临沂市2026届高三普通高等学校招生全国统一考试（模拟）
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数满足，则( )
A. B. C. D.
2.已知集合，，则( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
3.已知，则( )
A. B. C. D.
4.抛三枚质地均匀的硬币，记正面朝上的数量为随机变量，定义随机变量，则
A. B. C. D.
5.已知四边形为平行四边形，，为与的交点，则
A. B. C. D.
6.若为函数的一个零点，且的最小正周期，则( )
A. B. C. D.
7.已知实数，，满足，则( )
A. B. C. D.
8.已知椭圆：的左、右焦点为，，离心率为，点在椭圆上，是椭圆上的动点，以为直径作圆，直线与圆交于点点不在椭圆内部，则
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.一组从小到大依次排列的样本数据，，，，的平均数等于众数，则
A. B. 中位数为
C. 方差为 D. 第百分位数为
10.已知曲线与直线只有一个公共点，则，可能的取值为( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
11.等面四面体亦称等腰四面体，是一种特殊的四面体，它是每条棱与其对棱总相等的四面体，它的四个面是全等的锐角三角形．如图，等面四面体的表面展开图是一个锐角三角形及其三条中位线重合到点，若，三角形的面积为，则
A. 其对棱，相互垂直
B. 当时，其体积为
C. 当时，其外接球的直径长为
D. 当时，其“外接圆锥”在底面圆周上，在侧面上的高为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知函数，若函数为奇函数，则 ．
13.直线与圆交于，两点，且的面积为，则 ．
14.今有一批数量庞大的瓶装饮用水，假设这批水的某项矿物质含量偏差值单位：毫克升，，，现从中随机抽取瓶，这瓶水中恰有瓶的矿物质含量偏差值位于区间当时，试以使得最大的值作为的估计值，则为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知中，内角，，的对边分别为，，，．
求角；
已知，为锐角三角形，求的取值范围．
16.本小题分
某科技公司研发了一款智能服务机器人，用于商场的导购、配送与巡检服务．为优化机器人的调度效率与服务质量，公司开展了相关测试与优化工作．
下表为机器人连续天的工作时长小时与服务订单数次数的数据关系．
时长
服务次数
若服务次数与工作时长具有线性相关关系，请预测第天机器人工作时长为小时时，服务订单数大约有多少？
机器人在服务过程中可能出现故障，两个机器人为一组，每次一个机器人执行服务任务，若服务中无故障，则继续执行下一次服务，若出现故障，则换另一位机器人执行．甲、乙两机器人一组，第一次执行服务时，甲、乙上场的概率均为，已知甲每次服务无故障的概率为，乙每次服务无故障的概率为．
(ⅰ)求第次执行服务的是机器人甲的概率；
(ⅱ)求第次执行服务的是机器人乙的概率．
附：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，，参考数据：，．
17.本小题分
已知四边形为等腰梯形如图，，，为的中点，将沿直线翻折至位置如图，且．

证明：平面平面；
求点到平面的距离；
设为棱上的动点，当与平面所成角最大时，求平面与平面夹角的正切值．
18.本小题分
已知函数，．
关于的不等式有解，求的取值范围；
，，有成立，证明：；
，令，证明：．
19.本小题分
将抛物线列记为，其焦点列为，过焦点的直线与抛物线交于，两点，点在轴上方，点在轴下方，点为坐标原点，连接，并延长分别与交于，两点．
已知直线的斜率，求直线的斜率；
已知直线的倾斜角为，且，记的面积为．
(ⅰ)求数列的前项和；
(ⅱ)求所有满足方程的正整数对．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.或
14.
15.解：，，
，，
，，解得或舍去，
，．
，，，
，，，
为锐角三角形，，
，
又由，得，，．

16.解：，，
，，
，
，
所以回归直线方程为，
当时，，
即预测第天工作小时，可能服务次．
设“第次服务的是甲”为事件，“第次服务的是乙”为事件，
由题知，，
由全概率公式知，，
第次服务的是机器人甲的概率为．
(ⅱ)记，由题知，当时，
，，，，
由全概率公式知，
，
，
，，
故数列是首项为，公比为的等比数列，
，
，
即第次服务是机器人乙的概率为．

17.解：由，，，可知四边形为菱形，
因此，为等边三角形，，翻折后，，
取中点，连接，
因为等边三角形，故，且，
在中，，
，
故．
因，平面，
故平面，又平面，
故平面平面．

以为原点，分别以，，所在直线为，，轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，，
，，，
设平面的法向量为，则
令，得，，故，
点到平面的距离为．

设，则的坐标为，
所以，
设直线与平面所成角为，
则，
当时，直线与平面所成角最大，
此时的坐标为，
，，
设平面的法向量为，则
令，得，，故，
平面的法向量可取，
平面与平面夹角的余弦值为
．
，
．
即平面与平面夹角的正切值为．

18.解：有解，即需，设，
，在上小于，在上大于，
在上单调递减，上单调递增，
，故．
令，，，．
令，．
在上单调递增．，，
根据零点存在定理，在上存在唯一，使得，
即，，两边取对数有，
在上小于，在上大于，
在上单调递减，上单调递增，
，即．
原命题等价于，
令，将看作定值，看作变量．
．
，
即，
第一部分：，
因为，所以，且，函数单调递增，
故，因此：，
即；
第二部分：，
利用经典不等式，得，因此：，
又因为，交叉相乘易证，即，
故：，
两部分均为正，故，即在上单调递增，，
恒成立，故原命题成立，证毕．

19.解：抛物线的焦点，
直线过，斜率为，则方程为，
由，得，解得，，
故，，
直线的方程为，直线的方程为，
分别与联立可得，，
所以，直线的斜率．
由知直线与的斜率相等，
直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，且，
由抛物线的定义知，，
，
又点到直线的距离，
，
，
，
，
．
(ⅱ)方程，可化为，
即，
左边是的幂，所以右边也要是的幂，
设，，其中，且，
所以，，
即，
要使等式成立，只能，，
，，
由，，得，，
所以，满足方程的正整数对只有一个为．

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