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安徽六安市毛坦厂中学等校2026届高三下学期5月学业质量检测
数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.设复数满足，则复数的虚部是( )
A. B. C. D.
3.已知数列是等差数列，，则( )
A. B. C. D.
4.已知点，，为坐标原点，则“和的夹角为锐角”是“”的( )
A. 充要条件 B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
5.函数的图象如图所示，则关于的不等式的解集为( )
A. B. C. D.
6.已知函数，先将图象向左平移个单位，再将图象上点的横坐标变为原来的倍纵坐标不变，得到函数的图象若，则( )
A. B. C. D.
7.已知实数，满足，则的取值范围是( )
A. B.
C. D.
8.已知函数，若，则的最小值是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若函数，且的图象恒过定点，且点在直线上，则下列选项正确的是( )
A. B. 的最大值是
C. 的最大值是 D. 的最小值是
10.如图所示，正方体的棱长为，为棱不包括端点上的动点，在的运动过程中，下列选项正确的是( )
A. 三棱锥的体积为
B. 过、、三点的平面截正方体所得截面图形是等腰梯形
C. 当点为中点时，过、、三点的平面把正方体分成两部分的体积之比为
D. 的最小值为
11.设直线与抛物线相交于，两点，与圆相切于点，且为的中点，下列选项正确的是( )
A. 当直线斜率为时，
B. 直线斜率可能为
C. 若直线斜率不为，则点轨迹是一条直线
D. 当时，符合条件的直线有且仅有两条
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.的展开式中常数项为，则它展开式的第项为 ．
13.已知函数和的图象上存在点关于直线对称，则实数的取值范围为 ．
14.如图，已知三棱锥和三棱锥均为正三棱锥，其中，，则其内部能放入的最大球的半径 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在中，内角，，对边分别为，，，其中为钝角，，且满足
求角；
若，，求的面积．
16.本小题分
如图，矩形中，，，将沿矩形对角线翻折至，使得点在底面内的投影点在上，为中点．
求证：；
求二面角的余弦值．
17.本小题分
已知椭圆的左、右焦点分别为，过焦点作垂直于长轴的直线与椭圆交于，两点，为等边三角形．
求椭圆的离心率；
若椭圆的长轴长为，点，点，为椭圆上异于的动点，且直线，的斜率互为相反数，直线的斜率是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由．
18.本小题分
强健的体魄是高效学习的保障．为增强体魄、放松身心，甲、乙两位同学周末相约在小区篮球场进行投篮游戏，游戏的方式有两种：
方式一：随机决定谁先投篮，若先投篮的同学出现连续次未投中或投篮次数达到次，该同学停止投篮，由另一位同学投篮；若后投篮的同学也出现连续次未投中或投篮次数达到次，游戏结束．游戏中累计投中次数多的同学获胜，若两人投中次数一致，则为平局．
方式二：每次由其中一人投篮，规则如下：若投中则此人继续投篮，若未投中则换对方投篮．由掷质地均匀的硬币决定第次投篮的人选．
已知甲同学每次投篮的命中率为，乙同学每次投篮的命中率为，且每位同学每次投篮是否命中相互独立．
选择方式一时，记甲在游戏中的投篮次数为，求的分布列和数学期望；
选择方式二时，
(ⅰ)两人约定先累计投中次者获胜，游戏结束．在游戏结束时，两人合计投篮次数不超过次，求此过程中甲只进行了次投篮的概率；
(ⅱ)若二人一直进行投篮，记第次是甲投篮的概率为，前次投篮中甲的投篮次数为，求和．
参考知识：若随机变量服从两点分布，且，，则
19.本小题分
已知函数
若有两个极值点，求实数的取值范围；
已知，当时，恒成立，求整数的最小值；
证明：．
参考答案
1.
2.
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4.
5.
6.
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8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：由题意可知：，
化简可知：，
得，
时，，又，则，为锐角，不符合题意；
，此时可得为锐角，此时符合题意．
综上，
，
可得，，
，
，，
．

16.解：平面，又平面，
，又，且，平面，
平面，平面，
，又，且，平面，
平面，平面，
．
法一：延长，在平面内，过作的垂线，垂足为，连接．
由可知，又，且平面，
平面，平面，，，又为二面角的棱，
平面，平面，
为所求二面角的平面角
平面，，，
又为的中点，可得，
，，，
法二：如图，以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，在平面内，以过且垂直于的直线为轴，建立空间直角坐标系，
计算可得：，，，
则，，，，，
由题意可知，平面的法向量为，
设平面的法向量为，
，，
，得，令，则，
．
二面角的平面角显然为锐角，

17.解：将代入椭圆可得，，
又为正三角形，，即，则可得，
又，．
离心率，，舍去．
由题意可知：，结合可得，，则椭圆。
由题意可知，符合条件的直线的斜率必存在，
设直线的方程为：，，，
联立椭圆和直线方程：，消去可得，
直线和椭圆必有交点，则，
，，
，的斜率是互为相反数，．
又，，
，
化简可得，
即
因式分解，则可得或，
当时，所以，
所以直线经过点，故不符合题意．
则直线的斜率为定值．

18.解：结束投篮时甲的投篮次数的可能取值为，，，，
，，
，
，
设甲投篮投中为事件，乙投中为事件，
投篮次游戏结束的情况有：
投篮次游戏结束的情况有：，
投篮次游戏结束的情况有：，，，，，
则此过程中甲只进行了次投篮的概率为，
由题意可知，第次投篮的是甲的概率为，第次投篮是甲的概率为，
第次投篮是乙的概率为，则一定满足，
即
则可构造如下关系：
可得：
若记第次投篮甲投的次数为，不难发现甲投，乙投，则服从两点分布，
则，，又
则

19.解：由题意可知：，令，
的解为，
时，，单调递减，
时，，单调递增，
，
有两个极值，且，，，，
，，经检验符合题意；
在时恒成立，即恒成立，
当时，，此时，符合题意，
当时，转化为恒成立，
设，则
则，
设，，，
当时，，为增函数，
，即，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
，，综上，
又，且，则；
由可知，当时，当必有恒成立，
即恒成立，取，
可得，
两边同时乘以，可得，
则必有，
，
，
累加可得，
再取，可得，则必有，
，
，，
累加可得，
可得，证毕．

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