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福建龙岩市2026届高三适应性练习数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，则( )
A. B. C. D.
2.已知数据：，将这组数据中的每个数值都加上后，与原始数据相比，调整后的数据中不会发生改变的是( )
A. 方差 B. 众数 C. 中位数 D. 平均数
3.已知等比数列为，，，，若数列满足，且是与的等比中项，则实数的值为( )
A. B. C. D.
4.已知，则的值为( )
A. B. C. D.
5.已知事件满足，则的值为( )
A. B. C. D.
6.已知圆与抛物线交于两点．若，则的值为( )
A. B. C. D.
7.已知函数的定义域为，满足，当时，若，则实数的值为( )
A. B. C. 或 D. 或
8.在四棱锥中，底面，底面为正方形，，点为正方形内部不含边界的一点，且 ，则直线与直线所成角的余弦值的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知复数满足，则( )
A.
B. 在复平面内所对应的点在第三象限
C. 若，则的最大值为
D. 和是方程在复数范围内的两个根
10.已知函数的部分图象如图所示，为图象的最高点，，分别为图象与轴，轴的交点，则( )
A.
B. 为的一条对称轴
C. 函数在上有且只有个零点
D. 若在区间上的最大值为，则
11.已知不共线的平面向量，，，满足，，且，则( )
A. 与的夹角的取值范围为
B. 当时，
C. 当时，的最小值为
D. 对于给定的，记的最小值为，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.的展开式中项的系数为 ．
13.已知圆锥的轴截面是等边三角形，且该圆锥的顶点和底面的圆周都在球的球面上，则该圆锥与球的体积的比值为 ．
14.已知数列，设若，，其中，当取得最小值时， ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在中，内角的对边分别为，且．
求；
若边上的中线的长为，求面积的最大值．
16.本小题分
已知三棱锥，与都是边长为的等边三角形．
若，证明：平面平面
若二面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值．
17.本小题分
某逃脱关卡游戏的最后一关有扇外观有细微差异的传送门，其中仅有扇传送门可通往安全出口，资深玩家可以识别细微差异，新手玩家无法识别这种差异该关卡的游戏规则为：每位玩家每次仅选扇传送门尝试，选对且走出安全出口，游戏结束，选错则重新选择规定每位玩家至多有次尝试的机会，且每次尝试后传送门的顺序会随机调整现有新手玩家和资深玩家独立挑战该关卡，玩家每次均从扇门中等可能随机选择扇门尝试，各次选择相互独立玩家每试错扇门，下次则不重复选择已选错的门设挑战结束时，随机变量，分别为玩家，尝试的次数．
求
求证：．
18.本小题分
已知椭圆，的短轴长为双曲线的实轴长，且的离心率为点为的上顶点，点为的右顶点，点的坐标为．
求的方程；
若过点的直线与交于两点，设，其中，直线交轴于点若四边形为等腰梯形，求的方程；
若直线与交于两点，求四边形面积的最大值．
19.本小题分
已知函数．
求的极小值点；
已知对任意都成立，求整数的最大值；
已知，证明：．
参考答案
1.
2.
3.
4.
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8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：因为，所以，
因为所以，
所以，，
因为，．
因为是边上的中线，所以，
两边平方：，
由得，
代入已知条件得：，
整理得，
所以．
所以，当且仅当时，
取到等号，所以面积的最大值为．

16.解：由题意，是边长为的等边三角形，
过点作于点，连接，则，
又，，
所以，又，，，平面，
所以平面，
又平面，
所以平面平面
因为，，平面平面，所以．
以为坐标原点，分别以，所在直线为，轴，过作底面的垂线为轴，建立如图所示空间直角坐标系，
则，，，，
所以，，，
设平面的一个法向量为，
则即
令，得，，
所以平面的一个法向量为，
设直线与平面所成角为，
则
17.解：由已知得：，，，，，，，
所以，，
设资深玩家在第次尝试中选对为事件，，，，
则，
，
，
所以，
，
，
又因为随机变量，相互独立，
所以
；
，，，，当，，时，，
当时，，
得，
设，
此时，
，
得：
，
所以．
18.解：依题意得：，得
故的方程为．
法一：显然直线的斜率存在且不为，设直线的方程为其中，
联立，消去得，
设，则，
由四边形为等腰梯形，且均在轴上，轴，
故，得，
即，化简得．
联立，得，代入，
得，
化简得所以，
因为所以，
所以直线的方程为，即．
法二：由四边形为等腰梯形，且均在轴上，轴，
故，故，设，
取的中点为，连接，则，
则直线的方程为，
令，
设直线，联立，消去得，
则，则，
，
所以，
则，因此，又，
所以，
所以直线的方程为，即．
法三：显然直线的斜率存在且不为，设直线的方程为，
联立，消去得，
设，且，
则
，
，
因为四边形为等腰梯形，且、均在轴上，轴，
故 所以，
所以 所以，解得，
所以直线的方程为．
法一：联立方程：，消去可得，
且，则，

可知直线与椭圆相交，
设，，则，则，
又因为点，，则，直线的方程为，即，
可知直线：与直线：平行，
则两平行线间距离为，
则
，
即，，
则，
设，
当时，，即；
(ⅱ)当时，因为函数单调递减，函数单调递增，
可知单调递减，且，
当时，，即；
当时，，即；
综上所述：当时，；当时，；
可知在内单调递增，在内单调递减，则，
所以的最大值为
法二：同法一得
令
则可化为
令
则
所以
当，即时，，
所以的最大值为．

19.解：的定义域为，，由得，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增．
所以的极小值点为．
法一：等价于，
又，可得，
令，，
记，则，
所以在单调递增．又，，
故在上有唯一零点，
且，
又在单调递减，在单调递增，
所以，
由可得，又为整数，
所以整数的最大值为．
法二：令，
问题转化为：对任意有，因为
当时，
所以在单调递增，
故，符合题意．
当时，，
当单调递减，
当单调递增，
所以，
令，
所以在单调递减，又，
所以当时，满足的最大整数的值为
综上：结合时均满足条件，所以整数的最大值为．
令，，则，
所以，要证，即证，
即证，
等价于证，
设，
则，
所以在上单调递增，所以，
即，
因此只需证，
即
对于式，只需证，
可设，，
则，
所以在上单调递减，在单调递增．
故，即成立．
对于式，即要证，
设，则，
设，，
则，所以在上单调递减，
所以，即，
所以，
令，则，
由知，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，所以，
则在上递增，所以
综上命题得证．

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