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江西赣州市2026届高三年级下学期适应性考试数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设和分别表示函数的最大值和最小值，则( )
A. B. C. D.
2.若集合，则( )
A. B. C. D.
3.若，则( )
A. B. C. D.
4.在等差数列中，公差，且，则( )
A. B. C. D.
5.已知事件、满足若，，则( )
A. B. C. D.
6.已知，若，且，则的值为( )
A. B. C. D.
7.直线与把圆分成长度相等的三段弧，则( )
A. B. C. D.
8.已知函数在区间上的最大值为，在区间上的最大值为若，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.有一组互不相等的数据从小到大依次为，，，，，若删去，则( )
A. 新数据的极差等于原数据的极差
B. 新数据的平均数等于原数据的平均数
C. 新数据的标准差小于原数据的标准差
D. 新数据的分位数小于原数据的分位数
10.已知为坐标原点，是抛物线的焦点，点，在上且位于轴的两侧，，则( )
A.
B. 直线经过点
C.
D. 与面积之和的最小值是
11.四面体满足，，，，则( )
A. 直线与的夹角为 B. 四面体外接球的表面积为
C. 的中点到直线的距离为 D. 四面体内切球的半径为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.曲线在处的切线方程为 ．
13.为平面内一点，，则的取值范围是 ．
14.已知，分别是双曲线的左、右焦点，点在的右支上，为的平分线，，垂足为，为的中点，直线交于点，记，的面积分别为，，则的最大值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
记的内角，，的对边分别为，，，满足C.
若为等腰三角形，求
若，，求的面积．
16.本小题分
甲、乙两人玩轮流掷骰子质地均匀的游戏，游戏规则为：每次掷一枚骰子；若甲掷出的点数小于，则下一次仍由甲掷骰子，否则下一次由乙掷骰子；若乙掷出的点数为偶数，则下一次仍由乙掷骰子，否则下一次由甲掷骰子．现由甲第一次抛掷．
记前次中甲掷骰子的次数为，求的分布列与数学期望；
记第次由乙掷骰子的概率为．
(ⅰ)证明：数列为等比数列；
(ⅱ)求数列的前项和．
17.本小题分
如图，在三棱柱中，平面平面，，且，
证明：平面；
求二面角的余弦值．
18.本小题分
已知椭圆的离心率为，左、右顶点分别为，，直线交于，两点，且四边形的面积为．
求的方程
动圆过原点与，且与交于，两点，直线，分别交于另一点，．
(ⅰ)求证：直线，的斜率之积为定值
(ⅱ)点，满足，，求到直线，的距离之和的最大值．
19.本小题分
已知函数有两个零点、，．
求实数的取值范围；
证明：；
证明：．
参考答案
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15.解：由，
可得：，
即，
整理得：，
又，，且，所以，
因为为等腰三角形，
当时，，得．
当时，，得．
故B的值为或；
当时，，，
由正弦定理得：，
又，故，，
从而的面积为，
16.解：用表示事件“甲掷出的点数小于”，
表示事件“乙掷出的点数为偶数”，
则，，
由题设的所有可能取值为，，，
由，
，
，
故的分布列为
；
由题设得，
即，
又因为，所以，
所以数列是首项为，公比为的等比数列；
由得，
故，
所以
．
17.解：在平面内作交于点，连接，
由与，得，
所以，
又平面平面，平面平面，
，平面，
故平面，
又因为平面，故，
在中，由与，
则，
即，
在中，，即，
所以，故，即，
又，且，、平面，
故平面，
因为平面，所以，
又因为四边形为菱形，故，
又，、平面，
所以平面．
由知平面，，
故以点为坐标原点，分别以、、的方向为、、轴的正方向
建立如图所示的空间直角坐标系，
故、、、、，
，，，则，
设为平面的一个法向量，
则，取，得，
由知平面，且，
故令为平面的一个法向量，
记二面角的平面角为显然为锐角，
故，
即二面角的余弦值为．

18.解：设的焦距为，
则由题设：，解得，
从而，
进而有，解得，
故C的方程为；
由知：直线为线段的中垂线，故GH为圆的直径，
从而，设，，
则有，即，
分别记直线，的斜率为，，
则；
设，，直线的方程为，
联立
可得，
则，且，
，
化简得，
代入得：，
即，
得，即，所以直线恒过定点，
由，知，
所以直线也过定点，且，即，
显然原点在线段上，故点到直线，的距离之和为平行线，间的距离，且，
故当直线，垂直轴时，点到直线，的距离之和达最大值为．
19.解：由，可得，令，其中，
则直线与函数的图象有两个公共点，
，
故当时，；当时，．
故函数在区间上单调递减，在上单调递增，
故函数的极小值为，
构造函数，其中，则，
由可得，由可得，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
所以，即，
令，即，即，所以，
所以，即，
当时，，，所以，
且当时，；当时，，如下图所示：
由图可知，当时，直线与函数的图象有两个交点，
故实数的取值范围是．
附上，则的严格说明：
记
，
则
．
记，
则
，
故当时，；
当时，．
故函数在区间、上单调递减，在区间上单调递增．
由于，所以，，
故，
即存在唯一，使，
构造函数，其中，所以，
由可得，由可得，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，故，
即，当且仅当时，等号成立，
又当时，，
故当时，，即；
当时，，即．
故函数在区间、上单调递增，在区间上单调递减，
又，且当时，，
所以恒成立，当且仅当时取等号，即．
因为、为函数的两个零点，
故，，由知，
整理得，即，
又，所以，
即，故原不等式得证．

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