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江苏泰州市第二中学、口岸中学等校2025-2026学年高二下学期期中考试数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若随机变量的期望，则( )
A. B. C. D.
2.( )
A. B. C. D.
3.已知事件，相互独立，且，，则( )
A. B. C. D.
4.如图，在空间四边形中，，，若，则( )
A. B. C. D.
5.用种不同的颜色给如图所示的图形上色，要求相邻两块涂不同的颜色，不同的涂法共有
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
6.已知，，，，则“”是“，，，四点共面”的( )
A. 充分不必要条件 B. 充要条件
C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
7.设正方形与正方形的边长都是，若对角线与所成角的余弦值为，则二面角的大小为( )
A. B. C. D.
8.盒子里放着五张卡片，两面都是红色的卡片一张，两面都是黑色的卡片两张，一面是红色一面是黑色的卡片两张现在随机抽出一张卡片，并展示它一面的颜色假设这一面的颜色是红色，那么剩下一面的颜色也是红色的概率是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.甲、乙两名工人生产同一种产品，在相同的条件下，他们生产件产品的不合格品数分别用，表示，，的概率分布如下表所示( )
A. B. C. 甲工人技术更稳定 D. 乙工人技术更稳定
10.在的展开式中，
A. 二项式系数最大的项为第项和第项 B. 第项为常数项
C. 有个有理项 D. 奇数项的系数和大于偶数项的系数和
11.已知正方体的棱长为，为棱上任意一点，与相交于，则下列说法正确的有
A. 向量在直线上的投影向量为
B. 存在，使得直线与平面平行
C. 当为棱中点时，向量在平面上的投影向量的模为
D. 向量在平面上的投影向量的模的最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若，则 ．
13.已知直线过点，其方向向量为，则点到直线的距离为 ．
14.已知集合，，若从集合中取出个元素记为，，从集合中取出个元素记为，，则满足的不同取法有 种
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在一个盒子中有大小一样、编号为的个球，其中有个红球和个白球．
现无放回地依次从中摸出个球，求第一次摸出红球且第二次摸出白球的概率．
将这个球全部取出并排成一列，若个红球互不相邻，则有多少种不同的排法？
16.本小题分
如图，在四棱锥中，平面，底面为直角梯形，，，．

试判断直线与直线是否垂直，并说明理由；
求二面角的余弦值；
求到平面的距离．
17.本小题分
设，已知，，成等差数列．
求；
求；
若方程表示焦点在轴上的椭圆，求的最小值．
18.本小题分
某校足球队有高一队员人，高二队员人，高三队员人，足球队进行射门和守门训练，已知高一队员甲、高二队员乙和高三队员丙参加守门训练，其他队员参加射门训练．
先从三个年级中任选一个年级，再从所选年级的队员中随机抽取名队员求所抽取出的名队员都参加射门训练的概率．
训练前所有队员排成行列进行热身，求甲、乙、丙恰有两人在同一行，两人在同一列的概率．
参加射门训练的队员轮流射门，每轮射门训练中每位队员各有次射门机会，一旦进球，则换下一名队员进行射门训练：若未进球，则继续射门训练，设参加射门训练的队员丁每次射门进球的概率为，在一轮射门训练中射门的次数为，证明：．
19.本小题分
如图，平行六面体的底面是菱形，，，且平面．

求的长．
当时，求直线与平面所成的角的正弦值的取值范围．
当时，已知动点到点的距离是它到平面的距离的倍若动点的轨迹、平面和平面三者相交于两点，，求．
参考答案
1.
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13.
14.
15.解：记事件“第一次摸出红球”，事件“第二次摸出白球”，
则，，
所以第一次摸出红球且第二次摸出白球的概率为．
先排个白球，有种方法，再在每种排法形成的个间隙中取出个排个红球，有种方法，
所以所求排法种数是．

16.解：在四棱锥中，平面，，
则直线两两垂直，
以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，

由，得，
，而，即向量不垂直，
所以直线与直线不垂直．
，设平面的法向量，
则，取，得，
而平面的法向量，
因此，由图知二面角的平面角为锐角，
所以二面角的余弦值为．
由知平面的法向量，而，
所以到平面的距离．

17.解：由题意可得，即，
化简可得，解得不符合题意，舍去或，
所以；
令得，，
令得，，
所以，
若方程表示焦点在轴上的椭圆，则，
即，即，则，
所以，解得，
因为为整数，所以的最小值为．

18.解：三个年级被选中的可能性相同，每个年级被选中的概率都是．
高一共有人，其中甲参加守门训练，所以高一参加射门训练的有人．
若选中高一，则抽取出的名队员都参加射门训练的概率为．
高二共有人，其中乙参加守门训练，所以高二参加射门训练的有人．
若选中高二，则抽取出的名队员都参加射门训练的概率为．
高三共有人，其中丙参加守门训练，所以高三参加射门训练的有人．
若选中高三，则抽取出的名队员都参加射门训练的概率为．
所以所求概率为．
所有队员排成行列，一共有个位置．只考虑甲、乙、丙三人所在的位置，三人位置的选法共有种．
现在统计满足条件的位置选法．要使甲、乙、丙恰有两人在同一行，且恰有两人在同一列，它们的位置应形成一个“拐角”形状：先确定有两人的那一行，再确定这一行中的两个位置，最后第三人要与其中一个位置同列，但不能在同一行．
具体地，有两人的行有种选法；在这一行中选出两个列位置，有种选法；
第三人的列要与这两个位置中的一个相同，有种选法；第三人的行不能是原来的行，有种选法．
所以满足条件的位置选法共有．
总的位置选法为．
故所求概率为．
丁每次射门进球的概率为，未进球的概率为．
因为一旦进球就停止本轮训练，且最多射门次，所以表示丁实际射门的次数，
的可能取值为，，，．
我们先看丁至少射第次的概率．
丁一定会射第次，所以．
要射第次，说明第次没有进球，所以．
要射第次，说明前次都没有进球，所以．
依此类推，要射第次，说明前次都没有进球，因此．
其中．
因此．
所以，故．
因为．
所以．
从而．
故．

19.解：在平行六面体中，令，令，
由四边形是菱形，得，由，
得，又，
平面，则，
整理得，而，解得，
所以的长为．
当时，由得，
，则，，
，而为平面的法向量，
则直线与平面所成角的正弦值
，
而，即，则，
，因此，
所以直线与平面所成角的正弦值的取值范围是．
当时，得平行六面体为正方体，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，平面方程为，平面方程为，
设平面内任意一点，，
则，即，于是平面方程为，
设动点，由动点到点的距离是它到平面的距离的倍，
得，整理得点的轨迹方程为，
由，整理得，设，
则，因此
，
所以长为．

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