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四川嘉祥教育集团2025-2026学年高一下学期期中质量监测
数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.复数( )
A. B. C. D.
2.已知函数的图象为，为了得到函数的图象，只要把上所有的点 ．
A. 向右平行移动个单位长度 B. 向左平行移动个单位长度
C. 向右平行移动个单位长度 D. 向左平行移动个单位长度
3.在中，为边上一点，且，若，则等于( )
A. B. C. D.
4.已知单位向量在单位向量上的投影向量为，则
A. B.
C. D.
5.已知非零向量与满足且，则为( )
A. 三边均不相等的三角形 B. 直角三角形
C. 等腰非等边三角形 D. 等边三角形
6.在复平面内，是原点，复数对应的向量分别为若绕点按逆时针方向旋转所得的向量与绕点按顺时针方向旋转所得的向量相等，则( )
A. B. C. D.
7.若函数满足，且在有唯一零点，则的最大值为( )
A. B. C. D.
8.化简的结果是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法错误的是( )
A.
B. 若向量与共线，则存在唯一的实数使
C. 若非零向量与相等，则，重合
D. 若，则
10.多选已知复数满足，则( )
A. B.
C. D. 的最大值为
11.已知函数，在中，角，，所对的边分别为，，，满足，以下结论正确的有( )
A. 在上的零点之和为 B. ，满足
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，，，当时，的值为 ．
13.如下图，在中，点是的中点，过点的直线分别交直线于不同的两点，，设，则 ．
14.在钝角中，，，，且是最大角，则面积的取值范围为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知，．
若，求与的夹角；
若，求的坐标．
16.本小题分
在中，角，，所对的边分别为，，且．
若，求的值；
若，求的面积．
17.本小题分
证明：；
已知，求，的值用表示．
18.本小题分
某公园有一条笔直的观光道路，道路一侧有两个景观标志牌和视为平面上的点经测量，标志牌到道路的垂直距离为米，标志牌到道路的垂直距离为米，且两标志牌在道路上的投影点之间的距离为米即若过、分别作道路的垂线，垂足为、，则米假设道路为一条直线，游客从道路上的点处观看两个标志牌，视线和的夹角为所有点均在同一平面内，忽略高度影响．
以为原点，道路为轴在原点，在轴正半轴上，建立平面直角坐标系，画出示意图，写出、的坐标；
设的坐标为，试用表示，并化简；
在的条件下，求的最大值及此时点的坐标．
19.本小题分
如图所示，设是平面内相交成角的两条数轴，，分别是与轴，轴正方向同向的单位向量，则平面坐标系为仿射坐标系，若在仿射坐标系下，则把有序数对叫做向量的仿射坐标，记为．

在仿射坐标系下，，，若，则是否一定成立？请说明理由；
在仿射坐标系下，若，，且与的夹角为，求；
如图，在仿射坐标系中，点，分别在两条数轴正半轴上均与点不重合，，，，分别为的中点，求的最大值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.或
13.
14.
15.解：．
设与的夹角为，则，
又，所以，即与的夹角为．
设，则，解得或
因此或．

16.解：因为，则，
即．
又，所以，
即
所以，即．
因为，，
所以．

17.解：注意到，，
代入左边展开即可；
；
设，则两边平方，得，
将已知式两边平方，得，
将两式相加，得，
即，故．
将两式相减，得，
所以，
，
，
．

18.解：由题意，在 正上方，距离米，故；
在 正上方，距离米，且 在轴正半轴上， ，
故，，从而，示意图如右．
点，，其中．
设 ， ，则在直角三角形与中，
由三角函数的定义，得， ，，
由于 ，
所以 ．
因为时，且 ，
所以，，．
令 ，则 ，， ，代入得，
等号当且仅当时成立，即 ， 米，该值在 ， 内，符合题意．
故的最大值为，点的坐标为 ，．
19.解：解：不一定成立．
若，可得
，
而不恒为零，因此不一定成立．
解：由，，得，，且，
所以，
，
则，
故，
因为与的夹角为，
则，解得，则．
解：如图：

在直角坐标系中，，，
设，，，，
即，，
在中，由正弦定理，
设，则，，
所以，，
，分别为的中点，
则，，
，
又
，其中为锐角，且，
因为，则，
故当时，取得最大值，
则．

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