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江苏省江都中学等三校2025-2026学年下学期高一年级5月阶段测试
数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.向量，，若，则( )
A. B. C. D.
2.在中，，则( )
A. B. C. D.
3.向量在向量方向上的投影向量的坐标为( )
A. B. C. D.
4.如图，无弹性的细绳，的一端分别固定在，处，同样的细绳下端系着一个秤盘，且，绳子受力的大小为 ，受力的大小为 ，则绳子受力的大小为
A. B.
C. D.
5.已知，则( )
A. B. C. D.
6.已知，则的值域为( )
A. B. C. D.
7.已知，则的值为( )
A. B. C. D.
8.在中，内角的对应边分别为且满足，则的最大值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.在正中，边长为，为边的中点，则下列结论正确的有( )
A. B. 在上的投影向量为
C. D.
10.下列各式结果为的有( )
A. B.
C. D.
11.在中，内角的对应边分别为，已知，则下列说法正确的是( )
A. 若，则有两解 B. 面积的最大值为
C. 的平分线长度的取值范围是 D. 的最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.写出一个同时满足下列条件，的的值 ．；
13.在平行四边形中，分别是线段的中点，延长交于点，且，则平行四边形面积的最大值为 ．
14.在中，内角的对应边分别为，满足且的面积为，则的值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知向量满足，且与的夹角为．
若，求实数的值；
求与的夹角．
16.本小题分
已知，．
求的值；
求的值．
17.本小题分
已知向量，设函数．
求函数的周期及单调递增区间；
在中，内角的对边分别为，且，求的面积．
18.本小题分
如图半圆的直径为为直径延长线上一点，为半圆上任意一点，以为边作等边三角形设．
当时，求；
求四边形面积的最大值；
求面积的最大值．
19.本小题分
如图所示，一直角走廊的宽度分别为和．
若一根铁棒水平通过直角走廊上点与两墙分别交于点图，其中点分别为直角走廊内侧外侧直角拐点，且．
设，求之间满足的等量关系；
求的最小值；
若直角走廊的宽度均设计为图，现有一车宽为，长为车高忽略，转动灵活的矩形平板车，求该平板车能通过此直角走廊时的最大值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12. 答案不唯一
13.
14.
15.已知，与的夹角为，
则，
由，得
则，
即，解得．
由，
，
，
则，
又，所以与的夹角为．

16.解：因为，所以，故，
由，得，
．
由，且，故，从而，
则．

17.解：
所以函数的周期；
解得，
函数的单调递增区间为
由得因为，解得或．
若，由正弦定理得，无解，舍去，
方法若，由正弦定理得，
因为，所以有两解：或，
当时，，
当时，，
因此三角形的面积为或．
方法若，由余弦定理得
解得：或
当时，
当时，
因此三角形的面积为或．

18.解：当时
在中，．
由余弦定理得．
由正弦定理得，
故锐角，则，即．
因此．
在中，由余弦定理得
四边形面积
，所以当时，取得最大值为．
在中，．
在中，由余弦定理．
在中，由正弦定理，
所以
因为，
代入得
，
，所以当时，取得最大值为．

19.解：如图，过点分别作垂直于为垂足，
因为，所以，所以，
因为，
所以，即．
由得，于是，
由基本不等式，当时取等号，
所以即的最小值为．
如图，延长分别交于点，
设，则，
因为在直角三角形中，，所以，
同理，在中，，
所以，
因为，得，
设，令，
因为，所以，所以
所以，且，
令，
因为函数在上单调递增，
所以当，即时，
．

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