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北京市平谷中学2025-2026学年高一下学期期中考试数学试题
一、选择题：本大题共10小题，共50分。
1.在复平面内，下列复数中对应的点在第四象限的是( )
A. B. C. D.
2.是两个单位向量，则下列四个结论中正确的是( )
A. B. C. D.
3.已知向量，则向量与夹角的余弦值为( )
A. B. C. D.
4.已知，为异面直线，平面，平面，，则( )
A. 与，都相交 B. 与，中至少一条相交
C. 与，都不相交 D. 至多与，中的一条相交
5.在中，，，，则( )
A. B. C. D.
6.已知向量，，则“”是“”的( )
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
7.如图，在中，为边上的中线，若为的中点，则( )
A. B. C. D.
8.在中，角，，的对边分别为，若，则的形状为( )
A. 正三角形 B. 等腰三角形或直角三角形
C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形
9.设为非零向量，则与的夹角的最大值为( )
A. B. C. D.
10.在年月日马来西亚吉隆坡举行的比赛半决赛中，来自中国的岁魔方天才王艺衡以秒的成绩打破了“解三阶魔方平均用时最短”吉尼斯世界纪录称号如图，一个三阶魔方由个单位正方体组成，把魔方的中间一层转动了之后，表面积增加了( )
A. B. C. D.
二、填空题：本大题共5小题，共25分。
11.已知复数为虚数单位，则 ．
12.某种药物呈胶囊形状，该胶囊中间部分为圆柱，左右两端均为半径的半球已知该胶囊的体积为，则它的表面积为 ．
13.已知为等腰三角形，且，则 ．
14.如图，四面体的四个顶点均为长方体的顶点若四面体各棱长均为，则该四面体的表面积为 ，体积为 ．
15.如图，正方形的边长为，点，分别在边，上，且，如果对于常数，在正方形的四条边上，有且只有个不同的点使得成立．那么的取值范围是 ．
三、解答题：本题共6小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.已知，，与的夹角为．
求与；
当为何值时，？
17.在中，角的对边分别为，．
求；
若，，求的面积．
18.如图，正方体的棱长为，为中点，
求三棱锥的体积；
求证：平面．
19.在中，，．
求；
再在条件、条件、条件这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，并求边上的中线的长．
条件；
条件的周长为；
条件的面积为．
注：如果选择的条件不符合要求，第Ⅱ问得分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
20.如图，游客从某旅游景区的景点处下上至处有两种路径．一种是从沿直线步行到，另一种是先从沿索道乘缆车到，然后从沿直线步行到现有甲、乙两位游客从处下山，甲沿匀速步行，速度为在甲出发后，乙从乘缆车到，在处停留后，再从匀速步行到，假设缆车匀速直线运动的速度为，山路长为，经测量，．
求索道的长；
问：乙出发多少后，乙在缆车上与甲的距离最短？
为使两位游客在处互相等待的 时间不超过，乙步行的速度应控制在什么范围内？
21.对任意正整数，定义集合设，定义：，．
__________填“”或“”；__________填“”或“”；
设，，，，求；
证明：对任意，存在，满足：，且．
参考答案
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15.
16.解：已知，，夹角，
所以，
因为，
所以．
当时，，
即，
因为，，，
所以
解得：．

17.解：由余弦定理：
已知，即，代入，
得：
又，故．
已知，且，则：，
由，得：，
由正弦定理，，
所以

18.解：正方体中，平面平面，
所以棱长即为点到平面的距离．
所以．
证明：正方体中，，，
所以四边形为平行四边形，所以．
又平面，平面，所以平面．

19.，由正弦定理可得，即，，
当时，，即，不符合题意，舍去，，，即．
选，由正弦定理可得，与已知条件矛盾，故不存在，
选周长为，，，，
由正弦定理可得，即，
，，
，即，，，
所以存在且唯一确定，
设的中点为，，
在中，运用余弦定理，，
即，，
边上的中线的长度．
选面积为，，，
，解得，余弦定理可得
，．

20.解：在 中，因为 ， ，
所以 ， ，
从而 ．
由正弦定理 ，得 ．
假设乙出发 后，甲、乙两游客距离为 ，此时，甲行走了 ，乙距离 处 ，
所以由余弦定理得 ，
由于 ，即 ，
故当 时，甲、乙两游客距离最短．
由正弦定理 ，
得 ．
乙从 出发时，甲已走了 ，还需走 才能到达 ．
设乙步行的速度为 ，由题意得 ，解得 ，
所以为使两位游客在 处互相等待的时间不超过 ，乙步行的速度应控制在 单位： 范围内．

21.【详解】显然，故，
，
，
由于是的真子集，故，
设，则
必为偶数，因此．
当时，，与矛盾；
当时，，与矛盾；
所以．
又因为，所以同理得．
所以．
设，，
则，
任取，令，
则，，
所以，
同理，
而中有个元素，，
所以必存在中的两个不同的元素，使得，
令，则，且且．

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