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北京市顺义区第一中学2025-2026学年第二学期高一年级4月考试
数学试卷
一、选择题：本大题共10小题，共50分。
1.( )
A. B. C. D.
2.在复平面内，复数对应的点的坐标是，则( )
A. B. C. D.
3.已知向量，，那么向量可以是( )
A. B. C. D.
4.如图，若直角梯形及其内部各点绕边所在的直线旋转，则得到的旋转体是( )
A. 圆锥
B. 圆台
C. 圆锥与圆台的组合体
D. 圆锥与圆柱的组合体
5.已知向量，若与垂直，则 ( )
A. B. C. D.
6.设、是非零向量，则“存在实数，使得”是“”的
A. 充分必要条件 B. 充分而不必要条件
C. 必要而不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
7.在中，三边长分为，，，则最大角和最小角之和是( )
A. B. C. D.
8.如图，在中，点是上的点且满足，是上的点，且，设，则( )
A. B. C. D.
9.中，，，分别是内角，，的对边，若且，则的形状是( )
A. 底角是的等腰三角形 B. 等边三角形
C. 三边均不相等的直角三角形 D. 等腰直角三角形
10.已知点，，若平面区域由所有满足的点组成，则的面积为( )
A. B. C. D.
二、填空题：本大题共5小题，共25分。
11.若复数，则 ．
12.已知正三棱柱的底面边长为，高为，一质点自点出发，沿着三棱柱的侧面绕行一周到达点的最短路线的长为
13.已知向量与的夹角为，，，则 ．
14.在中，，．
若，则角的大小为 ；
若角有两个解，则的取值范围是 ．
15.阿基米德螺线广泛存在于自然界中，具有重要作用，如图，在平面直角坐标系中，螺线与坐标轴依次交于点，，，，，，，，并按这样的规律继续下去给出下列四个结论：
对于任意正整数，；
不存在正整数，使得为整数；
不存在正整数，使得三角形的面积为；
对于任意正整数，三角形为锐角三角形．
其中所有正确结论的序号是 ．
三、解答题：本题共6小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.已知向量，．
求；
求；
求与的夹角的余弦值．
17.在中，．
Ⅰ求的值；
Ⅱ若，，求的值．
18.已知复数为虚数单位．
若是纯虚数，求；
若，求的值；
若复数在复平面上对应的点位于第二象限，求的取值范围．
19.在中，为边上的一点，，且，设．
设，试求，的值；
试求的值；
试求的余弦值．
20.设的内角的对边分别为，且．
求角大小；
再从以下三组条件中选择一组条件作为已知条件，使三角形存在且唯一确定，并求的面积．
条件：，；
条件：，；
条件：边上的高，．
21.已知三维向量其中是两两不相等的正整数记 其分量之间满足递推关系：
当时，直接写出向量
是否存在使得其中若存在，请给出一组符合条件的三维向量若不存在，说明理由；
证明：存在，当时，向量满足
参考答案
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14.
15.
16.因为，，
所以；
因为，
所以；
因为，
则，
又，，
则，
即与的夹角的余弦值为．

17.解：Ⅰ在中，，
由余弦定理，
．
Ⅱ由Ⅰ知，，
．
，
，
又，
．
18.，
因为是纯虚数，所以，解得，
所以．
因为，所以，，解得．
因为，所以，则在复平面上对应的点为，
因为位于第二象限，所以，解得，
所以的取值范围为．

19.解：由题意，，
所以，；
由可得，；
由可得，，
．

20.解：因为，由正弦定理可得，
又因为，所以，则，即，所以．
选：由余弦定理可得，即，解得或，不符合题意；
选：因为，，所以，
由正弦定理可得，
此时三角形两角一边确定，故三角形唯一确定，符合题意，
又，
此时的面积；
选：因为边上的高，所以，则，
由余弦定理，即，解得，舍去，
故唯一，符合题意，
此时的面积．

21.解：，
，，，即．
，，，即．
，，，即．
，，，即．
，，，即．
可知当时，向量序列以为周期循环，循环节为．
，
与相同，即．
不存在，理由如下：
假设存在，使得，为非负整数．
，，，
．
不妨设，则，，两式相加得．
又，故，解得．
，以此类推可得，与题设是两两不相等的正整数矛盾．
故不存在，使得．
设，．
，同理，，
，即是不增的非负整数序列．
假设对任意，均大于，则均为正整数，故．
不妨设，则．
，，
而，，
故，即是严格递减的正整数序列．
但正整数序列不能无限严格递减，矛盾，故必存在，使得中至少有一个为，即．
当时，不妨设，为非负整数，设，
则，，
后续序列始终存在一个分量为，故．

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