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北京市延庆区2025-2026学年第二学期期中试卷高一数学
一、选择题：本大题共10小题，共50分。
1.若角是第二象限的角，则( )
A. B. C. D.
2.若，，则( )
A. B. C. D.
3.在平面直角坐标系中，角以为始边，终边与单位圆交于点，则( )
A. B. C. D.
4.下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间上为增函数的是( )
A. B. C. D.
5.若，且，则的值为( )
A. B. C. D.
6.若非零向量，，满足，则必有( )
A. B.
C. D.
7.，，，则( )
A. B. C. D.
8.已知，，则“，”是“”的( )
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
9.已知函数，当时有最大值为，则实数的值为( )
A. B. C. D.
10.已知函数若直线与函数恰有个交点，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、填空题：本大题共5小题，共25分。
11.若，则的值为 ．
12.已知，则的取值范围是 ．
13.把函数的图象上所有点向左平移个单位，得到函数的图象，则此时 ；把函数的图象上的所有点，纵坐标不变，横坐标变为原来的，可得到函数的图象则此时 ．
14.化简的结果是 ．
15.设，且，给出下列四个结论：
对于任意实数，实数的取值范围为；
对于任意实数，实数的取值范围为；
对于任意实数，的最大值为；
对于任意实数，的最小值为．
其中所有正确结论的序号是 ．
三、解答题：本题共6小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.设向量，，．
若与平行，求的值；
若与垂直，求的值；
求的余弦值；
求在上的投影数量．
17.已知函数，的部分图象如图所示．
试确定函数的解析式；
求函数的对称轴方程；
求函数的单调递增区间；
求函数的对称中心．
18.已知函数，．
写出决定在上形状的关键的五个点，在答题卡上完成上表；
若，且是函数的一个零点，直线是函数的一条对称轴，求的值；
当时，求直线与的交点个数．
19.已知，，，．
求的值；
求的值；
求的值．
20.已知，，函数．
求的最小正周期；
求函数在上的最大值和最小值，以及使取得这些值时的值；
将图象上的所有点向左平移个单位长度，得到函数的图象，若函数的图象关于点对称，求当取最小值时，不等式的解集．
21.已知函数的定义域为，若存在实数，使得对于任意都存在满足，则称函数为“自均值函数”，其中称为的“自均值数”．
判断函数是否为“自均值函数”，并说明理由：
若函数，为“自均值函数”，求的取值范围；
若函数，有且仅有个“自均值数”，求实数的值．
参考答案
1.
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10.
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12.
13.
14.
15.
16.解：因为，
所以，
因为与平行，所以，所以
因为，，
所以，
又因为与垂直，故，所以
因为，，
所以，
所以
所以的余弦值为
因为，，所以
所以
则在上的投影数量为．

17.解：如图可知，且，所以．
因为，且，所以．
因为图象过点，所以．
所以所以，．
所以，．
因为，所以．
所以．
因为，，
所以，
的对称轴方程，
因为，
所以，
所以函数的单调递增区间为
因为，，
所以函数的对称中心为
说明：或者写对称中心为

18.解：个关键的点为，，，，．
完善题设中的表格如下：
因为是函数的一个零点，且，
所以，解得，
即，又因为，所以．
又因为直线是函数的一条对称轴
所以，解得，
又因为，所以，所以
因为，所以，
令，则，
因为在为增函数，故在上为增函数，
同理在上为减函数，故在的图象如下图所示：
由图可得当或时，有个交点；
当或时，有个交点；当时，有个交点；
当或时，有个交点．

19.解：由题设，，，
，，
因为，则，所以
由，
则，
由，
则，
，，
又因为，
，
而，故．

20.解：由已知，，
故，
所以．
因为，所以，故，
故，
当，即时，，
当，即时，．
将图象上的所有点向左平移个单位长度，得到函数，所以．
又函数的图象关于点对称，所以，
故，即时即时，
当取最小值且时，此时，
此时，即
解得，解得，其中，
即不等式解集为，．

21.解：假定函数是“自均值函数”，显然定义域为，则存在，对于，存在，有，
即，依题意，函数在上的值域应包含函数在上的值域，
而当时，值域是，当时，的值域是，显然不包含，
所以函数不是“自均值函数”．
依题意，存在，对于，存在，有，即，
当时，的值域是，因此在的值域包含，
当时，而，则，
若，则，，此时值域的区间长度不超过，而区间长度为，不符合题意，
于是得，，要在的值域包含，
则在的最小值小于等于，又时，递减，且，
从而有，解得，此时，取，的值域是包含于在的值域，
所以的取值范围是．
依题意，存在，对于，存在，有，即，
当时，的值域是，因此在的值域包含，并且有唯一的值，
当时，在单调递增，在的值域是，
由得，解得，此时的值不唯一，不符合要求，
当时，函数的对称轴为，
当，即时，在单调递增，在的值域是，
由得，解得，要的值唯一，当且仅当，即，则，
当，即时，，，，，
由且得：，此时的值不唯一，不符合要求，
由且得，，要的值唯一，当且仅当，解得，此时；
综上得：或，
所以函数，有且仅有个“自均值数”，实数的值是或．

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