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2026年柳江区初中学业水平考试模拟试题（四）
数 学
（考试时间120分钟，总分120分）
注意事项：
1．答题前，考生先用黑色字迹的签字笔将自己的学校、姓名、考号填写在试卷及答题卡的指定位置，然后将条形码准确粘贴在答题卡的“贴条形码区”内。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；综合题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整，笔迹清楚。
3．按照题号顺序在答题卡相应区域内作答，超出答题区域书写的答案无效。在草稿纸、试卷上答题无效。
4．考试形式为闭卷笔答。
第Ⅰ卷（选择题，共36分）
选择题（本大题共12小题，每小题3分，满分36分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，每小题选对得3分，选错、不选或多选均得0分.）
1. 下列实数中，最大的数是（　　）
A. 2 B. 0 C. 1 D.
2. 某学校开展了“共走平安路”交通安全主题教育活动．以下交通标识图形既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
3. 党的二十大报告指出，我国建成世界上规模最大的教育体系、社会保障体系、医疗卫生体系，教育普及水平实现历史性跨越，基本养老保险覆盖十亿四千万人，基本医疗保险参保率稳定在百分之九十五、将数据1040000000用科学记数法表示为（　　）
A. B. C. D.
4. 如图所示的六角螺母，其俯视图是（ ）
A. B. C. D.
5. 式子在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
6．一组数据：82、80、82、87、90、84、85，它们的中位数是（ ）
A．84 B．82 C．85 D．87
7．如图，点A，B，C在上，若，则（ ） 第7题图
A． B． C． D．
8. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
9．如图，是一个小孔成像的示意图，已知物距为12cm，像距为18cm，则当火焰高度为3cm时，火焰倒立的像的高度是（ ）
A．4 B．4.25 C．4.5 D．5
第9题图
10. 我国古代数学著作《孙子算经》中有“雉兔同笼”问题：“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？”其大意：鸡兔同笼，共有35个头，94条腿，问鸡兔各多少只？设鸡有只，兔有只，根据题意可列方程组为（ ）
A. B. C. D.
11. 如图，在等边三角形三边上，分别取点，使．若，的面积为，则关于的函数图象大致为（ ）
A. B. C. D.
第11题图
12. 如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，反比例函数与正比例函数的图象交于点A．将正比例函数的图象向上平移个单位后得到的图象与y轴交于点B，与反比例函数的图象交于点C．过点C作x轴的垂线，与x轴交于点D．线段与交于点E，点E为中点，则k的值为（ ）
A. B. 1 C. D. 2
第12题图
第Ⅱ卷（非选择题，共84分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，满分12分．请将答案直接填写在答题卡中相应的横线上，在草稿纸、试卷上答题无效）
13. 某仓库记账员为方便记账，将进货10件记作，那么出货5件应记作___________．
14.因式分解：a2﹣3a=_______．
15. 将含角的直角三角板和直尺按如图所示的方式放置，已，点，表示的刻度分别为，则线段的长为_______cm．
16 如图，小亮同学掷铅球时，铅球沿抛物线运行，其中是铅球离初始位置的水平距离，是铅球离地面的高度．若铅球抛出时离地面的高度为，则铅球掷出的水平距离为________．
第15题图 第16题图
三、解答题（本大题共7小题，满分72分．解答时应写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程.请将解答写在答题卡中相应的区域内，画图或作辅助线时使用铅笔画出，确定后必须使用黑色字迹时签字笔描黑.在草稿纸、试卷上答题无效）
17.（本题共2小题，每题4分，满分8分）
（1）计算：； （2）解方程：
18．（本题满分10分）
实验活动：仅用一把圆规作图．
（1）【任务阅读】如图，仅用一把圆规在内部画一点，使点在的平分线上．
小明的作法如下：
如图，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交射线于点，再分别以点、为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，则点为所求点．理由：如图3，连接，由作图可知，，
又因，
所以 ．
所以，
所以平分， 第18题图
即点为所求点；
（2）【实践操作】如图，已知直线及其外一点，只用一把圆规画一点，使点所在直线与直线平行，并给出证明．（保留作图痕迹，不写作法）
19.（本题满分10分）
某校希望进一步提高学生体育与健康素养，为了解学生每天校外体育活动时间，随机抽取了若干名学生进行调查，将这些学生一天的校外体育活动时间x（分钟）分为五个小组：
A：；B：；C：；D： ；E：
现将调查结果绘制成两幅不完整的统计图．
请根据统计图信息，解答下列问题：
(1)本次调查的样本容量是_________，并将频数分布直方图补充完整；
(2)若该校共有学生3000人，请根据调查结果估计，该校学生每天校外体育活动时间不少于60分钟的学生有多少人？
(3)已知A组有1名男生和2名女生，从中随机抽取2名学生，请用列表法或画树状图的方法，求恰好抽到1名男生和1名女生的概率．
20. （本题满分10分）
【活动背景】
如图，建筑物、的高度不可直接测量．为测量建筑物、的高度，技术员小李用皮尺测得A、B之间的水平距离为，用测角仪在C处测得D点的俯角为，测得B点的俯角为．
【问题解决】
(1)请运用技术员小李提供的数据求出建筑物、的高度（结果保留整数）；（参考数据：，，，，，）
(2)请再设计一种测量建筑物、高度的方案（建筑物的宽度忽略不计），画出平面示意图，把应测数据在示意图中用字母标记出来，并用含字母的式子表示出建筑物、的高度．（可提供的测量工具：皮尺、测角仪）
21.（本题满分10分）
如图，直线l与相切于点A，是的直径，点C，D在l上，且位于点A两侧，连接，分别与交于点E，F，连接．
（1）求证：；
（2）若圆O的半径r=6，AD=9,AC=12，求EF的长．
22. （本题满分12分）综合与实践　 第21题图
问题情境：如图1，矩形MNKL是学校花园的示意图，其中一个花坛的轮廓可近似看成由抛物线的一部分与线段AB组成的封闭图形，点A，B在矩形的边MN上．现要对该花坛内种植区域进行划分，以种植不同花卉，学校面向全体同学征集设计方案．
方案设计：如图2，AB＝6米，AB的垂直平分线与抛物线交于点P，与AB交于点O，点P是抛物线的顶点，且PO＝9米．欣欣设计的方案如下：
第一步：在线段OP上确定点C，使∠ACB＝90°，用篱笆沿线段AC，BC分隔出△ABC区域，种植串串红；
第二步：在线段CP上取点F（不与C，P重合），过点F作AB的平行线，交抛物线于点D，E．用篱笆沿DE，CF将线段AC，BC与抛物线围成的区域分隔成三部分，分别种植不同花色的月季．
方案实施：学校采用了欣欣的方案，在完成第一步△ABC区域的分隔后，发现仅剩6米篱笆材料．若要在第二步分隔中恰好用完6米材料，需确定DE与CF的长．为此，欣欣在图2中以AB所在直线为x轴，OP所在直线为y轴建立平面直角坐标系．请按照她的方法解决问题：
（1）在图2中画出坐标系，并求抛物线的函数表达式；
（2）求6米材料恰好用完时DE与CF的长；
（3）种植区域分隔完成后，欣欣又想用灯带对该花坛进行装饰，计划将灯带围成一个矩形．她尝试借助图2设计矩形四个顶点的位置，其中两个顶点在抛物线上，另外两个顶点分别在线段AC，BC上．直接写出符合设计要求的矩形周长的最大值．
第22题图
23.（本题满分12分）
李老师善于通过合适的主题整合教学内容，帮助同学们用整体的、联系的、发展的眼光看问题，形成科学的思维习惯．下面是李老师在“图形的变化”主题下设计的问题，请你解答．
第23题图
（1）观察发现：如图1，在平面直角坐标系中，过点的直线轴，作关于轴对称的图形，再分别作关于轴和直线对称的图形和，则可以看作是绕点顺时针旋转得到的，旋转角的度数为______；可以看作是向右平移得到的，平移距离为______个单位长度．
（2）探究迁移：如图，中，，为直线下方一点，作点关于直线的对称点，再分别作点关于直线和直线的对称点和，连接，，请仅就图的情形解决以下问题：
①若，请判断与的数量关系，并说明理由；
②若，求，两点间的距离．
（3）拓展应用：在（2）的条件下，若，，，连接．当与的边平行时，请直接写出的长．
第 8 页 共 8 页2026年柳江区初中学业水平考试数学学科模拟试题（四）
参考答案及评分标准
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，满分36分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 A D C B B A B D C D B C
二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，满分12分）
13. -5 14. a（a﹣3） 15. 2 16. 8
三、解答题
17. （1）解：原式＝ ………………3分
………………4分
（2）解方程：
解：去分母，得
，………………1分
去括号，得
4x+4-4=2-x，………………2分
移项、合并，得
5x=2………………3分
系数化为1，得
………………4分
18.解：……………1分
……………….5分
理由：连接,
由作图可知，，
∴四边形为平行四边形，………………8分
∴，……………… 9分
∴点为所求．………………10分
19.解∶60 ………………1分
……………3分
（2）解：（人），
该校学生每天校外体育活动时间不少于60分钟的学生有1200人．…………….5分
（3）解：画树状图如图：
……………8分
共有 6 种等可能的结果，恰好抽到 1 名男生和 1 名女生的结果有 4 种，
∴恰好抽到1名男生和1名女生的概率为，…………….10分
20．解：（1）解：如图，过点作于点，则四边形是矩形，……………… 1分
由题意可知，，，，
，，……………… 2分
在中，，
，……………… 3分
在中，，
，
………………4分
答：建筑物的高度约为，建筑物的高度约为；……………… 5分
（2）解：平面示意图如下：……………… 8分
用皮尺测得A、B之间的水平距离为，用测角仪在A处测得D点的仰角为，在B处测得C点的仰角为．
在中，，……………… 9分
在中，，……………… 10分
21（1）证明：∵直线l与相切于点A，
∴，……………… 1分
∴，………………2分
∵是的直径，
∴，
∴，………………3分
∴；……………… 4分
（2）解：∵，
∴，，……………… 5分
∵直线l与相切于点A，
∴，
∴是等腰直角三角形，……………… 6分
∴，
∵是的直径，
∴，
∴也是等腰直角三角形，……………… 7分
∴，……………… 8分
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，……………… 9分
∴，即，
∴．……………… 10分
22..…解：（1）∵解：建立如图所示的平面直角坐标系，
……………… 1分
∵所在直线是的垂直平分线，且，
∴．
∴点B的坐标为，……………… 2分
∵，
∴点P的坐标为，……………… 3分
∵点P是抛物线的顶点，
∴设抛物线的函数表达式为，
∵点在抛物线上，
∴，
解得：．……………… 4分
∴抛物线的函数表达式为；……………… 5分
（2）解：∵点D，E在抛物线 上，
∴设点E的坐标为，
∵，交y轴于点F，
∴，，
∴．……………… 6分
∵在中，，
∴．……………… 7分
∴，
根据题息，得，
∴，
解得：（不符合题意，舍去），……………… 8分
∴．
∴，………………9分
答：的长为4米，的长为2米．……………… 10分
（3）解：如图矩形灯带为，
，，点C在y轴的正半轴，点A在x轴的负半轴，
∴，，
设直线解析式为，
将，代入，得：，
解得，
∴直线解析式为，
同理可得，直线的表达式，
设点、、、，
则矩形周长，
故矩形周长的最大值为米．……………… 12分
23. 解：（1）关于轴对称的图形，与关于轴对称，
∴与关于点中心对称，
则可以看作是绕点顺时针旋转得到的，旋转角的度数为
∵，
∴，
∵,关于直线对称，
∴，
即，
可以看作是向右平移得到的，平移距离为个单位长度．
故答案为：，．……………… 4分
（2）解：①，……………… 5分
理由如下，
连接，
由对称性可得，，
∴，……………… 7分
②连接分别交于两点，过点作，交于点，
由对称性可知：且，
∵四边形为平行四边形，
∴
∴三点共线，
∴，……………… 8分
∵，
∴，
∴四边形是矩形， ……………… 9分
∴，
在中，，
∵，
∴,
∴……………… 10分
（3）解：设，则，
依题意，，
当时，如图所示，过点作于点，
∴
∵，，
∴，
∴，则，
在中，，
∴，则，
∴
在中，，则，，
在中，，
，
∴
由（2）②可得，
∵
∴
∴，
解得：；
如图所示，若，则，
∵，则，
则，
∵，，
∵，
∴，
解得：，
综上所述，的长为或．……………… 12分请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答题无效
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