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云南文山州富宁县新纪元云贵发展中心2025-2026学年高一下学期第二次月考数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.( )
A. B. C. D.
2.已知、，若向量是与方向相同的单位向量，则( )
A. B. C. D.
3.已知，为虚数单位，若，则( )
A. B. C. D.
4.已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的高为( )
A. B. C. D.
5.用斜二测画法画出的水平放置的的直观图如图所示，已知，则边上的中线的长度为( )
A. B. C. D.
6.在中，，是上一点，且，，则面积的最大值是( )
A. B. C. D.
7.在直角中，斜边长为，若所在平面内关于点对称的两点，满足，则的最大值为( )
A. B. C. D.
8.已知四面体的各顶点均在球的球面上，平面平面，，，则球的表面积为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知，，则下列说法正确的是( )
A.
B. 若，则
C. 若，是方程的两根，则
D. 若，则在复平面内对应的点的集合所成的图形面积为
10.在中，角，，的对边分别为，，，则下列的结论中正确的是( )
A. 若，则为直角三角形
B. 若，则
C. 若，则为锐角三角形
D. 若，，则的外接圆半径是
11.已知甲烷的化学式为，其结构式可看成一个正四面体，其中四个氢原子位于正四面体的四个顶点处，而碳原子恰好在这个正四面体的中心，碳原子与每个氢原子之间均有化学键相连，若把每个原子看成一个质点，两个氢原子之间的距离为，则( )
A. 碳原子与氢原子之间的距离为
B. 正四面体外接球的体积为
C. 正四面体的体积为
D. 任意两个碳氢化学键的夹角的余弦值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知中角的对边分别是，若，则等于 ．
13.下图中的机械设备叫做“转子发动机”，其核心零部件之一的转子形状是“曲侧面三棱柱”，图是一个曲侧面三棱柱，它的侧棱垂直于底面，底面是“莱洛三角形”，莱洛三角形是以正三角形的三个顶点为圆心，正三角形的边长为半径画圆弧得到的，如图，若曲侧面三棱柱的高为，底面任意两顶点之间的距离为，则其侧面积为 ．
14.欧拉，他是数学史上最多产的数学家之一，他发现并证明了欧拉公式，从而建立了三角函数和指数函数的关系，若将其中的取作就得到了欧拉恒等式，它是令人着迷的一个公式，它将数学里最重要的几个量联系起来，两个超越数自然对数的底数，圆周率，两个单位虚数单位和自然数单位，以及被称为人类伟大发现之一的，数学家评价它是“上帝创造的公式”，请你根据欧拉公式，将复数表示成为虚数单位的形式 ；若，则，这里，称为的一个次单位根，简称单位根．类比立方差公式，我们可以获得，复数，则的值是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知复数是虚数单位．
求复数的共轭复数；
若，求、的值．
16.本小题分
以正棱柱两个底面的内切圆面为底面的圆柱叫作正棱柱的内切圆柱，以正棱柱两个底面的外接圆面为底面的圆柱叫作正棱柱的外接圆柱．
求正三棱柱与它的外接圆柱的体积之比；
若正三棱柱的高为，其内切圆柱的体积为，求该正三棱柱的底面边长．
17.本小题分
在平面直角坐标系中，已知向量，，．
若，求的值；
若与的夹角为，求的值．
18.本小题分
如图，圆锥的底面半径，轴截面经过旋转轴的截面是等边三角形，点为母线上一点，且，点为半圆弧的中点．
求圆锥的外接球体积；
动点从点沿圆锥表面运动到点，求点运动的最短路程．
19.本小题分
在中，角，，所对的边分别为，，，点为内的一点，且．
当时，
(ⅰ)求角；
(ⅱ)若，，求的值；
若，且，，求的最小值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：，
则．
因为，
将代入上式，即，化简整理可得，，
所以，解得．
16.解：设正三棱柱的底面边长为，高为，则底面外接圆的半径，
可得正三棱柱的体积为，
其外接圆柱的体积为，
所以正三棱柱与它的外接圆柱的体积之比为．
解：由正三棱柱的底面为边长为的等边三角形，可得底面三角形内切圆的半径，
所以内切圆柱的体积为
因为内切圆柱的体积为，可得，解得，所以，
所以该正三棱柱的底面边长为．

17.解：，，即，
．
与的夹角为，
，
故，即，化简得
又，，
，即故的值为。

18.解：是等边三角形，，
，
圆锥的外接球球心在上，连接，设球的半径为，则，
．
在中，，即，解得，
圆锥的外接球体积．
将圆锥沿母线侧面展开如图，
弧的长度为圆锥的底面周长，则
点为半圆弧的中点，
又，．
在中，，，
由余弦定理得：
即，即，
点运动的最短路程为．

19.解：由正弦定理边化角得，
因为，
所以，
即，
因为，所以，
即，因为，
所以，得；
(ⅱ)因为，所以，
记，
则，即，
又，所以，
所以，
由余弦定理得，
所以．
记，则，
在中，由余弦定理得：
，，
，
因为，所以，，
所以，
所以，所以，整理得，
根据题意，所以，
记，则，解得舍去或，
当且仅当时，等号成立，所以的最小值为．

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