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云南保山市第八中学等校2026届高三下学期5月模拟预测数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，则( )
A. B. C. D.
2.( )
A. B. C. D.
3.已知，则( )
A. B. C. D.
4.将函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则的最小正周期为( )
A. B. C. D.
5.已知的内角，，的对边分别为，，，且，则的形状是( )
A. 钝角三角形 B. 直角三角形 C. 锐角三角形 D. 无法确定的
6.已知是定义在上的奇函数，且当时，，若在上恒成立，则的取值范围为( )
A. B.
C. D.
7.现有甲乙等五名学生参加“弘扬中华文化”的演讲比赛，已知甲既不在第一个出场，又不在最后一个出场，且乙不在第三个出场，则不同的出场顺序共有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
8.如图，在三棱锥中，平面平面和都是等腰三角形，且，则三棱锥外接球的表面积为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.是空气中的细小污染物，其浓度单位：越高，空气质量越差，浓度越低，空气质量越好我国现行国家标准规定：若日平均浓度不超过，则当天空气质量等级为“优”若日平均浓度超过但不超过，则当天空气质量等级为“良”某城市一周内日平均浓度如下表，则( )
星期 一 二 三 四 五 六 日
日平均浓度
A. 该城市这周共有天的空气质量等级为“优”
B. 该城市这周日平均浓度数值的分位数为
C. 该城市这周日平均浓度数值的极差为
D. 该城市这周日平均浓度数值的平均数为
10.已知，，且，，则下列结论正确的是( )
A. “”是“”的充要条件 B. 的取值范围为
C. 若，则的最大值为 D. 的最大值为
11.已知是曲线上的动点，点，，内切圆的圆心记为，直线与直线交于点，则( )
A. 关于直线对称
B. 存在点，使得为坐标原点
C. 为定值
D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.曲线在点处的切线方程为 ．
13.已知是椭圆和抛物线的公共焦点，是的另一个焦点，，是与的交点，若是等腰直角三角形，则的离心率为 ．
14.已知平面内有个互不相等的单位向量若这个向量中恰有对向量互相平行，恰有对向量互相垂直，则的最大值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知数列和满足．
若，求的值；
若，且恒成立，求的取值范围．
16.本小题分
如图，在正方体中，，分别为，的中点．
证明：平面．
求二面角的正弦值．
17.本小题分
为促进消费，某商场面向顾客开展抽奖活动，规则如下：现有个不透明的箱子，每个箱子内装有个除颜色外其他完全相同的小球，其中个箱子各装有个白球和个红球，另外个箱子各装有个白球和个红球，顾客从个箱子中随机地选取个箱子，记所选的箱子中红球的个数为，顾客可从选中的箱子中一次性取出个球，若取出的均是红球，则顾客可获得奖金元，否则无法获得奖金．
当时，求顾客可以获得奖金的概率
当取何值时，顾客获得奖金金额的期望更大
18.本小题分
已知双曲线的实轴长与虚轴长相等，且的焦距为．
求的方程．
对于上的任意两点，定义：．
若是右支上两个不同的点，证明：．
若是右支上三个不同的点，且存在常数，使得，证明为定值，并求该定值用表示．
19.本小题分
求函数在上的最值．
证明：．
若，求的值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：由题意，，，
所以，，
，
所以．
由题意，，
所以，
则，
所以，
由恒成立，可得，
则，得，则，
即的取值范围为．

16.证明：连接，与交于点，可知为的中点．
连接，
因为是的中点，所以．
又平面，平面，所以平面．
解：不妨设正方体的棱长为，
则由，分别为，的中点，可得．
连接，则，，
所以即为二面角 的大小．
，则．
连接，，则，．
在中，，
则二面角的正弦值为．

17.解：当时，记事件为“顾客所选的箱子中有个白球和个红球”，事件大客可以获得奖金”，
则．
当时，记顾客获得的奖金为元，则的所有可能取值为，，，
且，，，
则．
当时，记顾客获得的奖金为元，则的所有可能取值为，，，
且，，，
则．
因为，
所以当时，顾客获得奖金金额的期望更大．
18.解：由题可知，
解得，
则双曲线的方程为．
依题意可设直线的方程为．
由可得，
则，且，
，
所以
因为是右支上两个不同的点，所以．
又，所以．
则，
由，得，即，
则，故．
设由和可得，
且则均在直线上．
若，则，的方程为，由可得，
则，因此
若，则的方程可化为，
由可得．
因为，所以上式可化为，
此时，且，
因此，
综上所述，为定值，且该定值为．

19.解：由，得．
令，则．
因为，所以，则在上恒成立，则在上单调递减．
又，所以，即在上恒成立，则在上单调递减，
则在上的最大值为，最小值为．
证明：．
因为，所以由可知，，则．
又，所以，
则，故．
解：由题可知，．
令，则．
若，则，根据函数零点存在定理可知，，不符合题意，故．
同理可得．
令，则，
若，则，根据函数零点存在定理可知，，不符合题意，故．
综上所述，是原不等式成立的必要条件，下面证明当时，原不等式成立，即．
对于左侧不等式，
由，可得，且，
则由可得，不等式成立．
对于右侧不等式，
设常数，令，
则．
令，
则．
由，可得，则，从而在上单调递增，则在上恒成立，即在上恒成立，则在上单调递增，所以．
令，满足，代入，即可得，不等式成立．
综上所述，．

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