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4.4平面与平面的位置关系
1．在三棱锥中,若平面,,则平面、平面、平面、平面中相互垂直的共有( )
A.1对 B.2对 C.3对 D.4对
2．设a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则的一个充分条件是( )
A.存在一条直线a，，，
B.存在一条直线a，，
C.存在两条平行直线a，b，，，，，
D.存在两条异面直线a，b，，，，
3．已知m,n是不同的直线,,是不同的平面,,,下列条件是“”的充分条件的是( )
A. B. C. D.
4．如图,不同在一个平面内的三条平行直线和两个平行平面相交,两个平面内以交点为顶点的两个三角形是( )
A.相似但不全等的三角形 B.全等三角形
C.面积相等的不全等三角形 D.以上结论都不对
5．在四棱锥中，四边形ABCD为菱形，平面ABCD，E是棱PD的中点.下列叙述正确的是( )
A.平面PAB B.平面PAD
C.平面平面PAB D.平面平面PAC
6．如图，在长方体中，，，有下列结论：
①直线与直线所成的角为；
②直线与平面所成的角为；
③平面与平面ABCD所成的二面角为；
④平面与平面所成的二面角为直二面角.
其中正确结论的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
7．如图，在四面体中，若，，E是棱AC的中点，则下列结论正确的是( )
A.平面平面ABD
B.平面平面BDC
C.平面平面BDE，且平面平面BDE
D.平面平面ADC，且平面平面BDE
8．已知平面，，直线m，n满足，，，，则( )
A. B. C. D.
9．如图，点P在二面角的棱AB上，分别在，内引射线PM，PN，截得.若，，则二面角的平面角的大小为( )
A. B. C. D.
10．从空间一点P向二面角分别作垂线PE，PF，E，F为垂足.若，则该二面角的平面角的大小为( )
A. B. C.或 D.不确定
11．下列命题正确的是( )
A.一个平面内的三条直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行
B.如果一个平面内的所有直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行
C.平行于同一直线的两个平面一定相互平行
D.如果一个平面内有几条直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行
12．已知，是两个不同的平面.若，，，则过点M的所有直线中，下列说法错误的是( )
A.不一定存在与a平行的直线 B.只有两条与a平行的直线
C.存在无数条与a平行的直线 D.有且只有一条与a平行的直线
13．正三棱柱的底面边长是4,侧棱长是6,M,N分别为,的中点,若P是侧面上一点,且平面,则线段的最小值为______.
14．如图，平面ABCD，且ABCD为菱形.点M是PC上的一动点.当点M满足条件____________________时，平面平面PCD.（注：只要填写一个你认为正确的即可）
15．如图，平面平面，，，直线AB与平面，所成的角分别为，，过点A，B分别作两平面交线的垂线，垂足为，，则____________________.
16．如图，在正方体中，点E在线段上，点F在上，且.过点E作，交BD于点H，则平面EFH与平面的位置关系是_______________.
17．如图，在长方体中，过棱的中点E作一个与平面平行的平面交AB于点M，交BC于点N，则____________________AC.
18．在三棱柱中，，平面ABC，E，F分别是AC，的中点.
（1）求证：平面.
（2）求证：平面平面.
19．在四棱锥中，平面ABCD，E为棱PD的中点，F为棱PC的中点，，，.求证：平面平面AEF.
20．如图（1），在矩形ABCD中，，E是边AD的中点，将沿直线CE翻折到的位置，使得，如图（2）.
（1）求证：平面平面ABCE.
（2）求点C到平面PBE的距离.
21．在三棱柱中，侧棱底面ABC.
（1）若，求证：平面平面；
（2）若平面平面，求证：.
22．如图，菱形ABCD与菱形DBNM全等，点G为MC的中点.证明：平面平面AMN.
参考答案
1．答案：C
解析：因为平面,平面,平面平面;
因为平面,平面,平面平面;
因为平面,平面,所以,又,平面,
所以平面,平面,平面平面;
所以平面、平面、平面、平面中相互垂直的共有3对.
2．答案：D
解析：选项A：若α与β相交，只要直线a平行于两平面的交线，就满足，，无法推出，排除A；
选项B：若α与β相交，只要α内的直线a平行于两平面的交线，就满足，，无法推出，排除B；
选项C：若α与β相交，可在α内取a平行于交线，在β内取b也平行于交线，满足，，，无法推出，排除C；
选项D：对于异面直线，，，，可在β内作出，在α内作出，可得，b是β内的相交直线，a，是α内的相交直线，且都平行于另一个平面，根据面面平行判定定理可推出，符合要求.
3．答案：D
解析：因为,,由面面垂直的判定定理可得.选项D正确.
4．答案：B
解析：由题意知,,
所以平面,面,
由面面平行的性质定理,得,
则四边形为平行四边形,.
同理,
.
故选：B.
5．答案：D
解析：对于A，四边形ABCD是菱形，.平面，平面，平面PAB.若平面，，平面平面PAB.但事实上，平面PCD与平面PAB相交，假设不成立，故A错误.
对于B，过点C在平面ABCD内作，垂足为点F.平面，平面，.，，平面，平面PAD.过点C作平面PAD的垂线有且只有一条，与平面PAD不垂直，故B错误.对于C，过点C在平面ABCD内作，垂足为点M.平面，平面ABCD，.，平面，平面PAB.若平面平面PAB，过点C在平面PBC内作，垂足为点N.平面平面PAB，平面平面，平面，平面.过点C作平面PAB的垂线有且只有一条，，重合.平面平面，.四边形ABCD是菱形，BC与AB不一定垂直，故C错误.对于D，四边形ABCD是菱形，.平面，平面，.，平面PAC，平面.平面，平面平面PAC，故D正确.选D.
6．答案：C
解析：对于①，由题意知，所以直线与直线所成的角即为直线与直线所成的角.在长方体中，，，所以.因为，所以，即直线与直线所成的角为，故①正确.对于②，在长方体中，平面，所以直线与平面所成的角为.因为.因为，所以，所以直线与平面所成的角为，故②正确.对于③，在长方体中，平面，平面，所以，.又因为平面平面，所以平面与平面ABCD所成的二面角为.由②得，所以平面与平面ABCD所成的二面角为，故③错误.对于④，在长方体中，平面，平面，所以平面平面，所以平面与平面所成的二面角为直二面角，故④正确.选C.
7．答案：C
解析：因为，E是棱AC的中点，所以.同理，.因为，平面BDE，所以平面BDE.因为平面ABC，所以平面平面BDE.又平面ACD，所以平面平面BDE.故选C.
8．答案：D
解析：对于A，，，或，故A错误.对于B，，，与可能平行、相交或n在平面内，故B错误.对于C，，，与l可能平行或异面，故C错误.对于D，，.又，，故D正确.选D.
9．答案：C
解析：过棱AB上一点Q，分别在，内作棱的垂线，交PM，PN于点M，N，则即为二面角的平面角，如图.
设.，，.又，为等边三角形，，，.故选C.
10．答案：C
解析：依题意，点P不在平面和平面内.（1）当点P在二面角内时，如图（1）.
令直线平面，连接EO，FO.因为，，所以，，且，平面PEF，所以直线平面EPF.所以，，所以是二面角的平面角.在四边形PEOF中，，，所以.
（2）当点P在二面角外时，如图（2），同理可得是二面角的平面角.
令.在与中，，所以.综上，二面角的平面角的大小为或.故选C.
11．答案：B
解析：对于A，当这三条直线互相平行时，这两个平面不一定平行，故A错误；对于B，如果一个平面内的所有直线都平行于另一个平面，那么这两个平面无公共点，由面面平行的定义可知这两个平面平行，故B正确；对于C，平行于同一直线的两个平面可能相交，也可能平行，故C错误；对于D，如果一个平面内有几条直线都平行于另一个平面，那么当这几条直线相互平行时，这两个平面不一定平行，故D错误.选B.
12．答案：ABC
解析：因为，，，所以，，所以点M和直线a可以确定唯一一个平面.设，如图.因为，，，所以.所以过点M的所有直线中，有且只有一条与a平行的直线.所以选项A，B，C的说法均错误，选项D的说法正确.故选ABC.
13．答案：
解析：取的中点为D,连接,
因为,,平面,平面,
所以平面,平面,
又,平面,
由面面平行的判定可知,平面平面,
因为P是侧面上一点,且平面,
所以点P在线段上,
当时,线段最短,,
即,,
,,
故答案为:.
14．答案：（答案不唯一）
解析：如图，连接AC.
因为平面，平面ABCD，所以.因为底面ABCD为菱形，所以.又，平面PAC，所以平面PAC.因为平面PAC，所以.为了得到平面平面PCD，可以考虑平面MBD.当时，因为，平面MBD，所以平面MBD.因为平面PCD，所以平面平面PCD.
15．答案：
解析：连接和，如图.
设.因为平面平面，过点A，B分别作两平面交线的垂线，垂足为，，所以由面面垂直的性质可得平面，平面，所以AB与平面所成的角为.在中，易得.同理可得AB与平面所成的角为，所以在中，易得.所以在中，，所以.
16．答案：平行
解析：在平面中，因为，所以.由题意易知，所以.因为平面，平面，所以平面.因为，平面，平面，所以平面.又平面，平面，，所以平面平面.
17．答案：
解析：由题意，知平面平面，平面平面，平面平面，.又平面平面，平面平面，，是棱的中点，.，.，.
18．答案：（1）证明见解析
（2）证明见解析
解析：证明：（1）因为E，F分别是，的中点，
所以.
又平面，平面，
所以平面.
（2）因为平面，平面ABC，所以.
又，平面，平面，，
所以平面.
又因为平面，所以平面平面.
19．答案：证明见解析
解析：证明：因为，，
所以.
取AD的中点H，连接CH，EH，易得，.
因为，所以.
因为平面，平面ABCD，
所以.
又因为E为棱PD的中点，F为棱PC的中点，
所以，所以，.
因为，平面PAC，所以平面PAC.
又因为平面AEF，所以平面平面AEF.
20．答案：（1）证明见解析
（2）1
解析：（1）证明：连接BE，如图.
，
，.
，，，，.
，平面，平面PEC.
平面，平面平面ABCE.
（2）由（1）知平面PEC.
平面，平面平面PCE.
又，平面PCE，平面平面，
平面PBE.
点C到平面PBE的距离为.
21．答案：（1）证明见解析
（2）证明见解析
解析：证明：（1）平面，平面ABC，
.
，，平面，
平面.
平面，
平面平面.
（2）过点A作于点D，如图.
平面平面，平面平面，平面，
平面.
又平面，.
易知，平面，，
平面.
平面，.
22．答案：证明见解析
解析：证明：连接AC，交DB于点E，连接GE，如图.
在中，易知点G，E分别是线段CM，CA的中点，所以.
因为平面，平面AMN，
所以平面AMN.
又在菱形DBNM中，，平面，平面AMN，
所以平面AMN.
因为，平面，平面GBD，
所以平面平面AMN.

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