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4.5几种简单几何体的表面积和体积
1．已知棱台的上、下底面面积分别是1,4,高为3,则该棱台的体积是( )
A.3 B.7 C.9 D.21
2．用平行于正四棱锥底面的平面去截该棱锥，把底面和截面之间的那部分多面体叫做正四棱台，经过正四棱台不相邻的两条侧棱的截面叫做该正四棱台的对角面.若正四棱台的上、下底面边长分别为2，4，对角面面积为，则该棱台的体积为( )
A.28 B. C. D.74
3．已知某圆台的上、下底面半径分别为1和3,高为3,则该圆台的体积为( )
A. B. C. D.
4．如图， 向一个高为且底面水平放置的正四棱锥容器注水， 水面高度为时停止注水 (不考虑容器厚度)， 将此四棱锥容器倒置后，水面高度为( )

A.2 B. C. D.1
5．某中学开展劳动实习,学生学习编织球体工艺品.若这种球体的半径为10cm,则这种球体的表面积为( )
A. B. C. D.
6．圆锥的轴截面是等腰直角三角形,侧面积是,则圆锥的体积是( )
A. B. C. D.
7．球体被平面截得的一部分几何体称为球缺，截面叫做球缺的底面，垂直于截面的直径被截得的线段长叫做球缺的高（如图）.若球缺的底面半径为r，高为h，则球缺的体积.已知棱长为2的正方体的各个顶点都在球O上，平面将球O截成两部分，那么较小部分的体积为( )
A. B. C. D.
8．已知圆锥的底面半径为,母线长为,圆锥内部有一个半径1的球,该球同时紧贴圆锥的侧面和底面滚动,则该球与圆锥的接触点的轨迹长度为( )
A. B. C. D.
9．在正四棱台中，，，则该正四棱台的体积为( )
A. B. C. D.
10．已知圆锥的高为2,侧面积是,其母线长为( )
A. B. C. D.8
11．若高为1的正三棱柱的顶点都在半径为1的球面上,则该正三棱柱的体积为( )
A. B. C. D.
12．已知圆锥的轴截面是等腰直角三角形,且面积为4,则圆锥的体积为( )
A. B. C. D.
13．已知圆台的上、下底面的半径大小分别为2与4，其母线与下底面所成角的余弦值为，则该圆台体积的大小为( )
A. B. C. D.
14．已知某圆锥底面的半径为,体积为,则该圆锥的侧面积为( )
A. B. C. D.
15．将一个半径为2的铁球熔化后,浇铸成一个正四棱台形状的铁锭,若这个铁锭的上、下底面边长分别为1和2,则它的高为( )
A. B. C. D.
16．某封闭的圆锥容器的轴截面为等边三角形，高为6.一个半径为1的小球在该容器内自由运动，则小球能接触到的圆锥容器内壁的最大面积为__________.
17．若圆台上下底面半径分别为1和2,高为,则此圆台的体积为________________.
18．已知圆锥的母线长为6，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则该圆锥的侧面积为__________.
19．一个圆锥的轴截面是面积为1的等腰直角三角形，则这个圆锥的侧面积为______.
20．在正四棱台中,,,则该棱台的体积为______.
21．在正四棱台中,,,则该棱台的体积为_____________.
22．已知圆台的体积为,上底面半径为1,母线与下底面所成角的余弦值为,则该圆台的下底面半径为_____________.
参考答案
1．答案：B
解析：由棱台的体积公式,可得.
故选：B.
2．答案：A
解析：因为正四棱台的上、下底面边长分别为2，4，所以，，
设正四棱台的高为h，则，可得，
正四棱台的上底面面积为4，下底面面积为16，
则该正棱台的体积为.
故选：A.

3．答案：C
解析：依题意,该圆台的体积为.
故选：C.
4．答案：B
解析：设正四棱锥的下底面边长为，因为注水四棱台部分的高为，四棱锥的高为3，
设注水四棱台的上底面边长为x，则，解得，
注水四棱台的上底面的面积为，
注水四棱台的下底面的面积为，
则注水四棱台的体积为
，
将此四棱锥容器倒置时，水的体积不变而且形成一个小四棱锥，设水面高度为，底面边长为t，
则，解得，且底面面积为，
设此四棱锥容器倒置后注水四棱锥的体积为，则，
又，则，解得，即，
即此四棱锥容器倒置后，水面高度为.
5．答案：D
解析：由题意,这种球体的表面积为.
故选：D.
6．答案：A
解析：设圆锥的底面半径为r,母线为l,
圆锥的轴截面是等腰直角三角形,
,即,
由题意得,侧面积,
解得,
,圆锥的高,
圆锥的体积,
故选：A．
7．答案：A
解析：设外接球圆心为O，平面截外接球所得圆圆心为.
由题意正方体外接球的半径，平面截外接球所得圆的半径为.
O到的距离，则球缺的高.
所以.
8．答案：B
解析：取圆锥的轴截面,因为圆锥的底面半径为,母线长为,
所以轴截面为等边,半径为1的圆与此等边三角形的一条腰和底边相切,
如图,设切点为,圆心为F,
由于球同时紧贴圆锥的侧面和底面滚动,则接触点的轨迹为两个圆,设其圆心为,
则,所以,,,,
由于,则,即,则,
所以该球与圆锥的接触点的轨迹长度为.
9．答案：B
解析：作出正四棱台的轴截面，如图，过点作，垂足为E.在正四棱台中，，，则，，，即梯形为等腰梯形，所以，所以该正四棱台的体积.故选B.
10．答案：C
解析：设圆锥的高为h,侧面积为S,底面半径为r,母线为l,
根据题意,圆锥的侧面积是,即①,
又圆锥的高为2,所以,即②,
由①可得,代入②可得,化简得,
整理得,化简得,解得或（舍）,
即.
11．答案：B
解析：由题意可知球的半径,
因为正三棱柱的高为1,则球心到三棱柱底面的距离,
根据球的截面圆的性质,可得,即,解得,
棱柱底面与球的截面圆的半径,
三棱柱的底面三角形为截面圆内接正三角形,可得三角形的边长为,
所以三角形的面积为,
该棱柱的体积为.
12．答案：D
解析：由题设,圆锥的体高、底面半径均为2,
所以圆锥的体积为.
故选：D.
13．答案：B
解析：如图，设圆台上底面圆心为，下底面圆心为，梯形为圆台的轴截面，高为h，
过D作于E，即为母线与下底面所成角，则.
因为圆台的上、下底面半径分别为2和4，所以，
由，所以，所以，即，
由圆台的体积公式为.
14．答案：B
解析：设圆锥的高为h,因为底面半径,由体积,解得,
圆锥的母线长,所以圆锥的侧面积为.
故选:B
15．答案：C
解析：球的体积为,设铁锭的高为h,
则正四棱台的体积为,
由,可得,解得.
16．答案：
解析：
由轴截面为等边三角形的高为6，易得圆锥的母线长与底面圆的直径均为.
小球的半径为1，在圆锥内壁侧面，小球接触到的区域展开后是一个扇环，
可知扇环的半径为，，扇环所在扇形的圆心角为，
所以扇环其面积为；
在圆锥底面，小球接触到的区域是一个圆，其半径为其面积为.
综上，圆锥内壁上小球能接触到的区域面积为.
故答案为：
17．答案：
解析：设圆台上底面的半径为,下底面的半径为,高为,
则圆台的体积.
故答案为：.
18．答案：
解析：依题意，该圆锥的侧面展开图扇形的弧长为，
设圆锥的底面半径为r，则由可得，
故该圆锥的侧面积为.
19．答案：
解析：因为圆锥的轴截面是面积为1的等腰直角三角形，设圆锥的底面圆半径为r，
则等腰直角三角形的斜边为，斜边上的高为r，所以，得到
所以圆锥的母线长，
所以圆锥的侧面积等于圆锥沿母线展开的扇形的面积，为

20．答案：/
解析：如图所示:
取正棱台上下底面中心,连接过点作的平行线,交于点E,
因为,所以
在直角三角形中,,
故正四棱台的高为,
根据棱台体积计算公式,.
21．答案：
解析：如图所示：
取正棱台上下底面中心,连接过点作的平行线,交于点E,
因为,所以
在直角三角形中,,
故正四棱台的高为,
根据棱台体积计算公式,.
22．答案：2
解析：如图,设圆台上底面圆心为,下底面圆心为,梯形为圆台的轴截面,高为h.
过D作于E.
即为母线与下底面所成角,则
在直角三角形中,,
所以下底面半径,即
解得.

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