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5.1随机事件与样本空间
1．同时掷两枚大小相同的骰子,用表示结果,记事件A为“所得点数之和小于5”,则事件A包含的样本点数是( )
A.3 B.4 C.5 D.6
2．某人打靶时连续射击两次,则事件“至少一次中靶”是事件“至多一次中靶”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
3．有下列事件：①足球运动员点球命中；②在自然数集中任取一个数为偶数；③在标准大气压下，水在时沸腾；④在洪水到来时，河流水位下降；⑤任意两个奇数之和必为偶数；⑥任意两个奇数之和为奇数.上述事件中为随机事件的有( )
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
4．以下现象是随机现象的是( )
A.在标准大气压下，水加热到会沸腾
B.长和宽分别为a，b的矩形，其面积为ab
C.走到十字路口，遇到红灯
D.三角形内角和为
5．下列事件：①抛掷一枚硬币，落下后正面朝上；②从某三角形的三个顶点各画一条高线，这三条高线交于一点；③实数a，b都不为0，但；④某地区明年7月的降雨量高于今年7月的降雨量.其中为随机事件的是( )
A.①④ B.①②③ C.②③④ D.②④
6．下列现象：①连续两次抛掷同一骰子，两次都出现2点；②打开电视，正在转播足球比赛；③异性电荷相互吸引；④抛一石块，最终下落.其中是随机现象的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
7．为了丰富高中学生的课外生活，某校要组建数学、计算机、航空模型3个兴趣小组，小明要选报其中的2个，则该事件包含的样本点共有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
8．从1，2，3，4这4个数中任取2个数求和，那么“这2个数的和大于4”为事件A，“这2个数的和为偶数”为事件B，则和包含的样本点数分别为( )
A.1，6 B.4，2 C.5，1 D.6，1
9．抽查10件产品，设{至多有1件次品}，则事件A的对立事件( )
A.{至多有2件正品} B.{至多有1件次品}
C.{至少有1件正品} D.{至少有2件次品}
10．打靶3次，事件表示“击中i发”，其中.那么表示( )
A.全部击中 B.至少击中1发 C.至少击中2发 D.以上均不正确
11．一个人连续射击两次，则下列事件，与事件“恰好射中一次”互斥但不对立的事件是( )
A.至多射中一次 B.至少射中一次 C.第一次射中 D.两次都没射中
12．从装有5个红球、5个白球的袋中任意取出3个球，有如下几对事件：①“取出3个球，2个红球1个白球”与“取出3个球，1个红球2个白球”；②“取出3个球，2个红球1个白球”与“取出3个球，全是红球”；③“取出3个球，全是红球”与“取出3个球，至少有1个白球”；④“取出3个球，全是红球”与“取出3个球，全是白球”.其中是对立事件的为( )
A.①④ B.②③ C.③④ D.③
13．某试验E的样本空间，事件，事件，则事件( )
A. B.
C. D.
14．镇海中学在新的一年举行了首届教职工歌手大赛,共有7位男教师,6位女教师参加.现通过抽签决定出场顺序,记事件A表示“第一位出场的是男教师”,事件B表示“第二位出场的是男教师”,则( )
A. B. C. D.
15．从装有2个红球和2个黑球的口袋中任取2个小球,则下列结论正确的是( )
A.“至少有一个红球”和“至少有一个黑球”是互斥事件
B.“恰有一个黑球”和“都是黑球”是互斥事件
C.“恰有一个红球”和“都是红球”是对立事件
D.“至少一个黑球”和“都是红球”是对立事件
16．从甲、乙、丙、丁四名学生中随机选出两人参加数学竞赛，则下列选项中的两个事件的关系是互斥但不对立的是( )
A.“甲被选中”和“乙被选中”
B.“甲、乙两人都未被选中”和“乙、丁两人都被选中”
C.“甲、乙两人中至少有一人被选中”和“丙、丁两人都被选中”
D.“甲、乙两人都被选中”和“甲、丙两人都被选中”
17．给出关于满足的非空集合A,B的四个命题,其中正确的命题是( )
A.若任取,则是必然事件 B.若任取,则是不可能事件
C.若任取,则是随机事件 D.若任取,则是必然事件
18．在10件产品中有8件一级品，2件二级品，从中任取3件.若记“3件都是一级品”为事件A，则A的对立事件是_____________________________.
19．从2名男生和3名女生中随机选出2人.
（1）写出样本空间；
（2）写出“两人恰好是1名男生和1名女生”这一事件.
20．指出下列事件是必然事件、不可能事件还是随机事件：
（1）某人购买福利彩票一注，中奖500万元；
（2）没有空气和水，人类可以生存下去；
（3）同时抛掷三枚硬币一次，都出现正面朝上；
（4）从分别标有1，2，3，4的四张标签中任取一张，抽到1号标签；
（5）科学技术达到一定水平后，不需任何能量的“永动机”将会出现.
21．同时转动如图的两个转盘，记转盘（1）得到的数为x，转盘（2）得到的数为y，结果为.（指针指向分界线，认为指向右侧区域）
（1）写出这个试验的样本空间.
（2）求出这个试验基本事件的总数.
（3）“”这一事件包含哪几个样本点？“且”呢？
（4）“”这一事件包含哪几个样本点？“”呢？
22．如图，由甲、乙两个元件组成一个并联电路，每个元件可能正常或失效.设事件“甲元件正常”，“乙元件正常”.
（1）写出表示两个元件工作状态的样本空间；
（2）用集合的形式表示事件A，B以及它们的对立事件；
（3）用集合的形式表示事件，，，并解释它们的含义.
参考答案
1．答案：D
解析：因为事件,
共包含6个样本点.
故选:D.
2．答案：D
解析：连续射击两次,基本事件有A:“两次都中靶”,B:“两次都没中靶”,C:“第一次中靶且第二次没中靶”,D:“第一次没中靶且第二次中靶”.
事件“至少一次中靶”包含了A,C,D.事件“至多一次中靶”包含了B,C,D,
所以事件“至少一次中靶”是事件“至多一次中靶”的既不充分也不必要条件.
故选:D.
3．答案：C
解析：①足球运动员点球命中，是随机的，故是随机事件；②在自然数集中任取一个数为偶数，是随机的，故是随机事件；③在标准大气压下，水在时沸腾，是必然的，故是必然事件；④在洪水到来时，河流水位下降，是不可能的，故是不可能事件；⑤任意两个奇数之和必为偶数，是必然的，故是必然事件；⑥任意两个奇数之和为奇数，是不可能的，故是不可能事件.选C.
4．答案：C
解析：对于A，在标准大气压下，水加热到会沸腾，是确定性现象；对于B，长和宽分别为a，b的矩形，其面积为ab，是确定性现象；对于C，走到十字路口，遇到红灯，是随机现象；对于D，三角形内角和为，是确定性现象.故选C.
5．答案：A
解析：拋掷一枚硬币，是正面朝上，还是反面朝上，落下前不可确定，所以①是随机事件；因为三角形的三条高线一定交于一点，所以②是必然事件；因为实数a，b都不为0，所以，所以③是不可能事件；某地区明年7月的降雨量是一种预测，不能确定比今年7月的降雨量高还是低，所以④是随机事件.所以在给定的事件中，①④是随机事件.故选A.
6．答案：B
解析：由随机现象的概念可知①②是随机现象，③④是确定性现象.故选B.
7．答案：C
解析：由题意可得该事件包含的样本点有“数学与计算机”“数学与航空模型”“计算机与航空模型”，共3个.故选C.
8．答案：C
解析：从1，2，3，4这4个数中任取2个数求和，则试验的样本空间.其中事件A包含的样本点有：，，，，共4个.事件B包含的样本点有：，，共2个.所以事件包含的样本点有：，，，，，共5个；事件包含的样本点有：，共1个.故选C.
9．答案：D
解析：因为抽查10件产品，设{至多有1件次品}，则事件A的对立事件{至少有2件次品}.故选D.
10．答案：B
解析：所表示的含义是，，这三个事件中至少有一个发生，即可能击中1发、2发或3发.故选B.
11．答案：D
解析：设击中为1，未击中为0，则连续射击两次的可能情况为：，，，.设事件“恰好射中一次”为A，则A的可能情况为：，.选项A的可能情况为：，，，与事件A不互斥；选项B的可能情况为：，，，与事件A不互斥；选项C的可能情况为：，，与事件A不互斥；选项D的可能情况为：，与事件A互斥但不对立.故选D.
12．答案：D
解析：“取出2个红球和1个白球”与“取出1个红球和2个白球”，由于它们不能同时发生，所以是互斥事件，但它们的并事件不是必然事件，故它们不是对立事件；“取出2个红球和1个白球”与“取出3个红球”，由于它们不能同时发生，所以是互斥事件，但它们的并事件不是必然事件，故它们不是对立事件；“取出3个红球”与“取出的3个球中至少有1个白球”，它们不可能同时发生，并且它们的并事件是必然事件，故它们是对立事件；“取出3个红球”与“取出3个白球”，它们不能同时发生，所以是互斥事件，但它们的并事件不是必然事件，故它们不是对立事件.故选D.
13．答案：C
解析：由题意可知，.故选C.
14．答案：BCD
解析：事件表示第一位出场和第二位出场的都是男教师,,A错误;
表示第一位出场是男教师的情况下,剩余男女,第二位出场是男教师的概率为,
故,B正确;
,有两种情况,
第一种:第一位出场的男教师,且第二位出场的是男教师,概率为,
第二种:第一位出场的女教师,第二位出场的是男教师,概率为,
故,,C选项正确;
,D选项正确.
故选:BCD
15．答案：BD
解析：从装有2个红球和2个黑球的口袋中任取2个小球,可能结果有：二个红球,一个红球一个黑球,二个黑球；
对于A,“至少一个红球”和“至少有一个黑球”能同时发生,不是互斥事件,故A错误；
对于B,“恰有一个黑球”和“都是黑球”不能同时发生,是互斥事件,故B正确；
对于C,“恰有一个红球”和“都是红球”不能同时发生,但是可以同时都不发生,是互斥事件,但不是对立事件,故C错误；
对于D,“至少一个黑球”和“都是红球”不能同时发生,但是一定有一个要发生,是对立事件,故D正确.
故选：BD.
16．答案：BD
解析：“甲被选中”和“乙被选中”可以同时发生，所以不互斥，故A不合题意；
“甲、乙两人都未被选中”和“乙、丁两人都被选中”两个事件不会同时发生，故它们互斥，
同时两事件的并集{丙丁，乙丁}不包含所有可能事件，即它们不对立，故B符合题意；
“甲、乙两人中至少有一人被选中”和“丙、丁两人都被选中”不会同时发生，即它们互斥，
且它们至少有一个发生，即两个事件相互对立，故C不合题意；
“甲、乙两人都被选中”和“甲、丙两人都被选中”不会同时发生，故它们互斥，
例如当选出的是{甲，丁}时，该结果不属于这两个事件，
即它们的并集不是全集，它们不对立，故D符合题意.
17．答案：ACD
解析：对于A：因为,,所以,因此若任取,则是必然事件,真命题；
对于B：因为,显然存在一个元素在集合B中,不在集合A中,
因此若任取,则是随机事件,假命题；
对于C：因为,任取,有可能成立,也可能不成立,
因此任取,则是随机事件,真命题；
对于D：因为,,所以一定有,显然任取,则是必然事件,真命题.
故选：ACD.
18．答案：3件中至多有2件一级品
解析：“3件都是一级品”为事件A，则A的对立事件为“3件不都是一级品”，即“3件中至多有2件一级品”.
19．答案：（1）甲A，甲B，甲C，乙A，乙B，乙C，甲乙，AB，BC，AC}
（2）{甲A，甲B，甲C，乙A，乙B，乙C}
解析：记2名男生分别为甲、乙，3名女生分别为A，B，C.
（1）样本空间甲A，甲B，甲C，乙A，乙B，乙C，甲乙，AB，BC，AC}.
（2）{甲A，甲B，甲C，乙A，乙B，乙C}.
20．答案：（1）随机事件
（2）不可能事件
（3）随机事件
（4）随机事件
（5）不可能事件
解析：（1）购买一注彩票，可能中奖，也可能不中奖，所以是随机事件.
（2）空气和水是人类生存的必要条件，没有空气和水，人类无法生存，所以是不可能事件.
（3）同时抛掷三枚硬币一次，不一定都是正面朝上，所以是随机事件.
（4）任意抽取，可能抽到1，2，3，4号标签中的任意一张，所以是随机事件.
（5）由能量守恒定律可知，不需任何能量的“永动机”不会出现，所以是不可能事件.
21．答案：（1）答案见解析
（2）16
（3）答案见解析
（4）答案见解析
解析：（1）这个试验的样本空间.
（2）由（1）知，这个试验基本事件的总数为16.
（3）由（1）知，事件“”包含以下4个样本点：，，，；
事件“且”包含以下6个样本点：，，，，，.
（4）由（1）知，事件“”包含以下3个样本点：，，；
事件“”包含以下4个样本点：，，，.
22．答案：（1）
（2）答案见解析
（3）答案见解析
解析：（1）用，分别表示甲、乙两个元件的状态，则可以用表示这个并联电路的状态.
以1表示元件正常，0表示元件失效，则样本空间.
（2）根据题意，得，，，.
（3），，
，.
表示电路工作正常，表示电路工作不正常，表示甲元件正常，乙元件失效，表示甲元件失效，乙元件正常.

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