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5.4随机事件的独立性
1．投壶源于射礼，是中国古代宴饮时的一种投掷游戏及礼仪，参与者需在一定距离外将箭矢投入壶口或壶耳.在某投壶游戏中，选手甲投中壶口 壶耳的概率分别为，，依落点计分如表格所示.若甲连续投掷3次，每次投掷互不影响，则甲的总得分不少于5分的概率为( )
投掷结果 壶口 壶耳 其它
计分 2 1 0
A. B. C. D.
2．分别抛掷两枚质地均匀的硬币,设事件“第一枚反面朝上”,“第二枚正面朝上”,则( )
A.A包含B B.A与B互斥 C.A与B互为对立 D.A与B相互独立
3．已知,则( )
A. B. C. D.
4．掷一枚硬币,记事件A表示“出现正面”,事件B表示“出现反面”,则( )
A.A与B相互独立 B.
C.A与不相互独立 D.
5．“五道方”是一种民间棋类游戏,甲,乙两人进行“五道方”比赛,约定连胜两场者赢得比赛.若每场比赛,甲胜的概率为,乙胜的概率为,则比赛6场后甲赢得比赛的概率为( )
A. B. C. D.
6．甲、乙两人进行三局两胜制的乒乓球比赛,每局比赛甲获胜的概率均为,每局比赛彼此独立且没有平局,则乙获胜的概率为( )
A. B. C. D.
7．科学研究中经常涉及对粒子状态的分析.某假想粒子有状态1，状态2，状态3，……，每种状态下的粒子经过1秒有两种可能：状态保持不变或变为更高一级状态，已知状态1的粒子有的概率变为状态2，状态2的粒子有的概率变为状态3，以此类推.现有若干状态1的该粒子，则经过3秒处于状态1和状态2的粒子数目约占( )
A. B. C. D.
8．甲、乙、丙三人各自计划去珠海市旅游,他们在5月13日到5月15日这三天中的一天到达珠海市,他们在哪一天到达珠海市相互独立,且他们各自在5月13日到5月15日到达珠海市的概率如下表所示（,,）.
到达日期 5月13日 5月14日 5月15日
0.4 0.4 0.2
0.3 0.2 0.5
p 0.7 q
若甲、乙两人同一天到达珠海市的概率为,乙、丙两人同一天到达珠海市的概率为,甲、丙两人同一天到达珠海市的概率为,则( )
A. B. C. D.
9．甲、乙、丙三人参加县里的英文演讲比赛,若甲、乙、丙三人能荣获一等奖的概率分别为且三人是否获得一等奖相互独立,则这三人中至少有两人获得一等奖的概率为( )
A. B. C. D.
10．有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回地随机取两次，每次取1个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则( )
A.甲与丙相互独立 B.甲与丁相互独立 C.乙与丙相互独立 D.丙与丁相互独立
11．一只不透明的口袋内装有5个小球，其中3个白球、2个黑球.现有放回地从袋中依次摸出1个球，则前三次摸出的球均为白球的概率是( )
A. B. C. D.
12．甲袋中有5个红球和15个白球，乙袋中有5个红球和5个白球，从两袋中各摸出1个球.下列结论正确的是( )
A.2个球都是红球的概率为 B.2个球不都是红球的概率为
C.至少有1个红球的概率为 D.2个球中恰有1个红球的概率为
13．甲乙两人组成“星队”参加投篮比赛，每轮比赛由两人各投一球，已知甲每轮投中的概率是，乙队每轮投中的概率为.在每轮活动中，甲和乙投中与否互不影响，各轮结果也互不影响，则“星队”在两轮活动中投中1个球的概率为________.
14．事件A与事件B相互独立.，，则的最大值为______.
15．甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束）.根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”.设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以获胜的概率是__________________.
16．给出下列各对事件，其中是相互独立事件的为_______________（填序号）.
①甲组有3名男生，2名女生；乙组有2名男生，3名女生.现从甲、乙两组中各选1名参加演讲比赛，“从甲组中选出1名男生”与“从乙组中选出1名女生”；
②不透明袋子内装有4个白球和2个黄球，球除颜色外没有其他差异，“从6个球中任意取出1个，取出的是白球”与“再从剩下的5个球中任意取出1个，取出的是白球”；
③掷一枚骰子一次，“出现偶数点”与“出现3点或6点”.
17．若两个事件A，B满足，且A和B是相互独立事件，则______________________.
18．已知A，B是相互独立事件，且，，则__________________.
19．甲、乙两人独立地破译一份密码,已知各人能破译密码的概率分别为,,则恰有一人能成功破译的概率为( )
A. B. C. D.
20．甲、乙投篮比赛,据以往比赛情况,甲每次投中的概率为,乙每次投中的概率为,每次投中与否互不影响.
(1)若甲、乙各投篮一次,求甲、乙都投中的概率；
(2)若甲投篮两次,乙投篮一次,求甲投中次数与乙投中次数相等的概率.
21．甲 乙两队进行排球比赛,已知在一局比赛中甲队胜的概率为,没有平局.
(1)若进行三局两胜制比赛,先胜两局者为胜,甲获胜的概率是多少？
(2)若进行五局三胜制比赛,甲获胜的概率为多少？
22．11分制乒乓球比赛规则如下:在每一局比赛中,每两球交换发球权,每胜一球得1分,先得11分且至少领先2分者获胜,该局比赛结束;当某局比分打成后,每一球交换发球权,领先2分者获胜,该局比赛结束.现有甲、乙两人进行一局11分制的乒乓球比赛,假设甲发球时甲得分的概率为,乙发球时甲得分的概率为,各球的比赛结果互不影响,且本局开始由甲率先发球.
（1）双方比分为,求甲以获得比赛胜利的概率;
（2）双方比分为,求甲以获得比赛胜利的概率;
（3）双方比分为,求再打4个球后甲获得比赛胜利的概率.
23．为了丰富业余生活，甲、乙、丙三人进行羽毛球比赛.比赛规则如下：①每场比赛有两人参加，并决出胜负；②每场比赛获胜的人与未参加此场比赛的人进行下一场的比赛；③依次循环，直到有一个人首先获得两场胜利，则本次比赛结束，此人为本次比赛的冠军.已知在每场比赛中，甲胜乙的概率为，甲胜丙的概率为，乙胜丙的概率为.
（1）求甲、乙、丙三人共进行了三场比赛且丙获得冠军的概率；
（2）求甲和乙先赛且甲获得冠军的概率.
参考答案
1．答案：D
解析：由题意可得甲的总得分不少于5分包含三次均投入壶口或三次中有两次投入壶口，一次投入壶耳两种情况.
三次均投入壶口得6分的概率，
三次中有两次投入壶口，一次投入壶耳得5分的概率，
所以甲的总得分不少于5分的概率为.
2．答案：D
解析：A不包含B,A与B不互斥,也不互为对立.
又因为,,,,
所以A与B相互独立.
3．答案：A
解析：由,得,
即,因此事件相互独立,
对于A,,A正确;
对于B,独立事件的概率无需满足,如,
当时,事件相互独立,而,B错误;
对于C,独立事件的概率和无特殊要求,如,
当时,事件相互独立,而,C错误;
对于D,,当且仅当时,,
而题设无的条件,D错误.
故选:A
4．答案：C
解析：由意得,,为不可能事件,所以,故A与不相互独立,A,B,D不正确.
故选：C.
5．答案：B
解析：因连胜两场者赢得比赛,故要使比赛6场后甲赢得比赛,则在这六场比赛中,甲的情况依次为:赢输赢输赢赢,
故比赛6场后甲赢得比赛的概率为:.
故选:B.
6．答案：B
解析：由题意可得,乙比赛两局直接获胜的概率为,
乙比赛完三局才获胜的概率为.
所以乙获胜的概率为.
7．答案：C
解析：设经过3秒处于状态1的概率为，粒子要始终停留在状态1，
需连续3秒都保持状态1，根据独立事件概率公式：；
设经过3秒处于状态2的概率为，
情况一:第1秒从状态1变为状态2，第2秒和第3秒都保持状态2不变，
概率为；
情况二:第1秒保持状态1不变，第2秒从状态1变为状态2，
第3秒保持状态2不变，概率为；
情况三:第1秒和第2秒保持状态1不变，第3秒从状态1变为状态2，概率为；
将上述三种情况的概率相加，得到经过3秒后处于状态2的粒子的概率为，
则经过3秒后处于状态1和状态2的粒子数目占总粒子数的比例为将经过3秒后处于状态1和状态2的粒子的概率相加，可得.
8．答案：C
解析：由题意知：,,,可得,
则,
,
,
因为,所以,
所以.
故选：C.
9．答案：D
解析：设甲、乙、丙获得一等奖的概率分别是
则不获一等奖的概率分别是
则这三人中恰有两人获得一等奖的概率为:
这三人都获得一等奖的概率为
所以这三人中至少有两人获得一等奖的概率
故选:D.
10．答案：B
解析：依题意，有放回地随机取两次，共有36种不同结果：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，.其中甲，乙，丙，丁，丁事件包含，，，，，，共6个基本事件.丙事件包含，，，，，共5个基本事件.易知“甲、丙同时发生”的基本事件为0个，“丙、丁同时发生”的基本事件为0个，“乙、丙同时发生”的基本事件为，共1个，（乙丙）.又乙丙，乙、丙不相互独立.同理可知“甲、丁同时发生”的基本事件为，甲丁.又甲丁，甲丁甲丁，甲与丁相互独立.故选B.
11．答案：C
解析：依题意从袋子中摸1个球，摸出的是白球的概率，现有放回地从袋中依次摸出1个球，则前三次摸出的球均为白球的概率为.故选C.
12．答案：AC
解析：令从甲袋中、乙袋中摸出1个红球的事件分别为A，B，事件A，B相互独立，则，，，.2个球都是红球的事件为AB，则，故A正确；2个球不都是红球的对立事件为AB，则概率为，故B不正确；至少有1个红球的对立事件为，则概率为，故C正确；2个球中恰有1个红球的事件为，则概率为，故D不正确.选AC.
13．答案：
解析：每轮中甲投中为事件A，每轮中乙投中为事件B，
则，，因为甲和乙投中与否互不影响，
则每轮比赛中，共投中一球的概率
；
均未投中一球的概率；
所以“星队”在两轮活动中投中1个球的概率为：.
故答案为：
14．答案：/0.25
解析：由事件A，B相互独立，得，
代入已知条件得：，
二次函数的图象为开口向下，
对称轴为的抛物线，
故.
15．答案：0.18
解析：甲队要以获胜，前四场比赛甲肯定要输一场（第五场甲胜），当前四场中有一场客场输，第五场赢时，甲队以获胜的概率是，当前四场中有一场主场输，第五场赢时，甲队以获胜的概率是.综上所述，甲队以获胜的概率是.
16．答案：①③
解析：①“从甲组中选出1名男生”这一事件是否发生，对“从乙组中选出1名女生”这一事件发生的概率没有影响，所以它们是相互独立事件.②“从6个球中任意取出1个，取出的是白球”的概率为，若这一事件发生了，则“再从剩下的5个球中任意取出1个，取出的是白球”的概率为.可见，前一事件是否发生，对后一事件发生的概率有影响，所以两者不是相互独立事件.③记事件A表示“出现偶数点”，事件B表示“出现3点或6点”，则，，，所以，，，所以，所以事件A与B相互独立.
17．答案：
解析：因为，所以.因为两个事件A，B相互独立，则，相互独立，所以，所以.
18．答案：0.42
解析：因为A，B是相互独立事件，所以，B也是相互独立事件.因为，，所以.
19．答案：A
解析：设事件A表示甲成功破译密码,事件B表示乙成功破译密码,
事件C表示恰有一人能成功破译密码,
则.
故选:A
20．答案：(1)
(2)
解析：(1)由题意可得,甲乙投篮为独立事件,所以甲、乙各投篮一次,甲、乙都投中的概率为.
(2)分甲乙均投中0次和1次,
则甲投中次数与乙投中次数相等的概率为.
21．答案：(1)
(2).
解析：(1)甲第一 二局胜,或第二 三局胜,或第一 三局胜,
则.
(2)甲前三局胜,或甲第四局胜,而前三局仅胜两局,或甲第五局胜,而前四局仅胜两局,
则.
22．答案：（1）
（2）
（3）
解析：（1）设甲以获得比赛胜利的事件为A,
双方比分为时,轮到由乙发球,则.
（2）设甲以获得比赛胜利的事件为B,
双方比分为时,轮到由甲发球,则.
（3）设再打4个球后甲获得比赛胜利的事件为C,
双方比分为时,轮到由甲发球,再打4个球后甲获得比赛胜利的情况为第一、二球甲输赢各一个,第三、四球均为甲赢,
则.
23．答案：（1）
（2）
解析：（1）设事件M表示“甲、乙、丙三人进行了三场比赛且丙获得冠军”，
则只能是甲和乙先赛，丙上场后连胜两场，具体分为两类：
甲胜乙，再丙胜甲，再丙胜乙，冠军为丙；乙胜甲，再丙胜乙，再丙胜甲，冠军为丙.
所以.
（2）设事件N表示“甲与乙先赛且甲获得冠军”，则分为三类：
表示“甲胜乙，再甲胜丙”；表示“甲胜乙，再丙胜甲，再乙胜丙，再甲胜乙”；表示“乙胜甲，再丙胜乙，再甲胜丙，再甲胜乙”，
则，，
，
所以
，
所以甲和乙先赛且甲获得冠军的概率是.

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