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雅礼中学2026年上学期期中考试试卷
高一数学
时间：120分钟 分值：150分
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，则A∩B中元素的个数为（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
2. 已知，则的虚部为（ ）
A. B. C. 1 D.
3. 已知，，点P满足，则点P的坐标是（ ）
A. B. C. D.
4. “幂函数在上是减函数”是“”的一个（ ）
A. 必要不充分条件 B. 充要条件
C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件
5. 已知，，则（ ）
A. B. C. D.
6. 努力公式是一个用来描述努力与结果之间关系的数学公式，它通常表示为：，．我们可以把看作每天的进步率都是，而把看作每天的落后率都是，大约经过（ ）天后进步的是落后的200倍
A. 264 B. 266 C. 268 D. 270
7. 若平面截三棱锥所得截面为平行四边形，则该三棱锥与平面平行的棱有（ ）
A. 0条 B. 1条
C. 2条 D. 1条或2条
8. 已知函数，若，且.，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.
9. 已知是虚数单位，是复数，则下列叙述正确的有（ ）
A.
B. 若，则
C. 若，则不可能是纯虚数
D. 若，则在复平面内对应的点的集合确定的图形面积为2π
10. 记锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，则（ ）．
A. B. B的取值范围为
C. 的取值范围为 D. 的取值范围为
11. 在棱长为1的正方体中，，，，下列结论正确的是（ ）
A. 若时，直线与直线的夹角余弦值为
B. 若时，周长的最小值为
C. 若时，三棱锥的体积为定值
D. 当时，有且仅有一个点，使得
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知圆锥的母线长为10cm，侧面积为，则此圆锥的体积为_______.
13. 已知函数在区间上恰有3个最小值点，则实数的取值范围为________．
14. 已知平面向量，且．已知向量与所成的角为60°，且对任意实数t恒成立，则的最小值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知函数，．
（1）当时，求的最值；
（2）若在区间上是单调函数，求实数a的取值范围．
16. 已知函数
（1）求在上的值域；
（2）将的图象向右平移个单位长度，再把曲线上所有点的横坐标变为原来的倍纵坐标不变，得到函数的图象，求的单调递减区间；
17. 已知的周长为，面积为，内角A、B、C对边分别是a、b、c，且.
（1）求角；
（2）若边长，求的最小值．
18. 如图，在四棱锥中，底面为梯形，其中，且，点为棱的中点．
（1）求证：平面；
（2）若为上的动点，则线段上是否存在点，使得平面？若存在，请确定点的位置，若不存在，请说明理由；
（3）若，请在图中作出四棱锥过点及棱中点的截面，并求出截面周长．
19. 对于定义在D上的函数，若存在实数m，使得为奇函数，则称函数为“位差奇函数”.
（1）判断和是否是“位差奇函数”，并说明理由.
（2）若，，且为“位差奇函数”.
①证明：；
②若，对于，，求a的取值范围.参考答案
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. B
2. D.
3. C
4.
5. B.
6. A.
7. C.
8. B.
二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.
9. ABC
10. BCD
11. AC
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. .
13. .
14. .
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. （1）当时，，
∴在上单凋递减，在上单调递增，
∴，.
（2），
∴要使在上为单调函数，只需或，解得或．
∴实数a的取值范围为．
16. （1），
因为，则，
所以，故；
（2）将的图象向右平移个单位长度，
可得，
再把函数图象上所有点的横坐标变为原来的倍，
得到函数的图象，
由，，可得，，
所以的单调递减区间为，.
17. （1），
由正弦定理得
，
在中，
（2）由余弦定理可得：，
即
，
，
，当且仅当时取等号
又
∴当时，取到最小值为
18. （1）取线段的中点，连接，
因为分别为线段的中点，
所以，且，
又，且，
所以且，
所以四边形为平行四边形，
所以，又平面，平面，
所以平面；
（2）当为线段中点时，平面，
证明：取线段中点，连接
因为分别为线段的中点，
所以，又平面，平面，
所以平面；
因为，且，
所以四边形为平行四边形，
所以，又平面，平面，
所以平面；
又面，
则面面，又面，
所以面，
所以当为线段中点时，平面；
（3）取线段的中点，连接，
因为，且，
所以四边形为平行四边形，
所以，又分别为线段，
所以，
所以，则四边形为四棱锥过点及棱中点的截面，
则，，，
在中，，，
所以，
则，
所以截面周长为.
19. （1）为“位差奇函数”，不是“位差奇函数”，理由如下：
由，得 ，
函数为奇函数，
对于任意m有为位差奇函数，
又，设，
此时，若为奇函数，
则恒成立，矛盾，
不存在m有为“位差奇函数”；
（2）
①证明：由已知，，
因为为“位差奇函数”，所以存在实数m，
使得为奇函数，
即在R上恒成立；
由
恒成立，
因为，
当且仅当，即时取等号，
所以，即，
因为，所以；
②由①知，，则不等式化为：
，则，
因为
，
令，则，，
故当时， 取到最小值，所以，
故a的取值范围为.

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