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2026年黑龙江省佳木斯市富锦市宏胜中学等校中考数学一模试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列各数中，绝对值最小的数是（　　）
A. -3 B. 0 C. 2 D. -1
2.齐齐哈尔市冬季某日的气温为-12℃～2℃，该日的温差是（　　）℃
A. 10 B. 14 C. -10 D. -14
3.下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）
A. 等边三角形 B. 平行四边形 C. 长方形 D. 正五边形
4.龙东地区是我国重要的商品粮基地，某农场今年种植玉米120公顷，比去年增加20%，去年种植玉米的面积是（　　）
A. 144公顷 B. 100公顷 C. 96公顷 D. 150公顷
5.下列运算正确的是（　　）
A. a2 a3=a6 B. （a2）3=a5 C. a6÷a2=a3 D. （ab）2=a2b2
6.如图，直线a∥b,直线c与a、b分别相交于点A、B，若∠1=50°，则∠2的度数是（　　）
A. 30°
B. 40°
C. 50°
D. 100°
7.某校为了解九年级学生的体育锻炼情况，随机抽取了50名学生，统计了他们每天锻炼的时间，结果如下表所示：
锻炼时间（分钟） 30以下 30-60 60以上
人数 10 30 10
则这50名学生每天锻炼时间的众数所在组是（　　）
A. 30分钟 B. 45分钟 C. 60分钟 D. 30-60分钟
8.如图，在⊙O中，AB是直径，CD是弦，AB⊥CD于点E，若AE=2，EB=8，则CD的长为（　　）
A. 4
B. 6
C. 8
D. 10
9.某商店销售一批龙东特色农产品，每件进价为10元，若按每件15元出售，每天可售出200件；若每件提价1元，每天的销售量就减少10件，设每件售价为x元（x≥15），每天的利润为y元，则y与x的函数关系式为（　　）
A. y=（x-10）（200-10x） B. y=（x-10）（350-10x）
C. y=（x-15）（200-10x） D. y=（x-15）（350-10x）
10.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，将△ABC沿直线DE折叠，使点B与点A重合，折痕DE交AB于点D，交BC于点E，则CE的长为（　　）
A.
B.
C. 3
D. 4
二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分。
11.分解因式：x2-4= ．
12.若分式的值为零，则x的值为______．
13.已知一组数据：2，3，5，7，8，则这组数据的中位数是 .
14.龙东地区某滑雪场的雪道坡度为，那么该雪道的倾斜角为 度.
15.若点A（-2，y1）、B（1，y2）、C（2，y3）都在反比例函数（k为常数，k≠0）的图象上，且y1＞y3＞y2，则k的取值范围是 .
16.在 ABCD中，AB=5，AD=3，AC⊥BC，则BD的长为______．
17.已知圆锥的底面半径为3cm,母线长为5cm,则该圆锥的侧面积为 cm2.
18.已知关于x的一元二次方程x2-2x+k=0有两个不等实数根，则k的取值范围为 .
19.龙东地区推进老旧小区改造，某小区计划铺设健身步道，若甲工程队单独铺设需10天完成，乙工程队单独铺设需15天完成，两队合作铺设需 天完成.
20.观察下列一组数：，，，，…，按此规律，第n个数是 （用含n的代数式表示）.
三、解答题：本题共7小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
21.(本小题8分)
计算：.
22.(本小题8分)
先化简，再求值：，其中x=2cos45°+1.
23.(本小题8分)
如图，在ABC中，AB=AC，D为BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，求证：DE=DF．
24.(本小题8分)
龙东地区某中学为了解学生对“黑土文化”的了解程度，随机抽取了部分学生进行问卷调查，将调查结果分为“比较了解”“了解一点”“不了解”三个等级，绘制了如下不完整的扇形统计图和条形统计图，请根据统计图信息解答下列问题：
（1）本次调查抽取的学生人数为______；
（2）补全条形统计图和扇形图；
（3）若该校共有1200名学生，估计该校对“黑土文化”“了解一点”的学生人数；
（4）若从“了解一点”的3名男生和2名女生中随机抽取2人参加黑土文化宣传活动，求恰好抽到1名男生和1名女生的概率.
25.(本小题8分)
为保障龙东地区冬季居民供暖，某供暖公司计划购进一批供暖设备，已知购进3台A型设备和2台B型设备共需21万元，购进2台A型设备和3台B型设备共需23万元.
（1）求A型设备和B型设备每台的进价分别是多少万元？
（2）该公司计划购进A型设备和B型设备共10台，总费用不超过40万元，且A型设备的数量不小于B型设备数量的一半，求该公司有几种购进方案？哪种方案最省钱？
26.(本小题8分)
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点O在AB上，以O为圆心，OA为半径作⊙O，交AB于点D，交AC于点E，且∠CEB=∠ADE.
（1）求证：BE是⊙O的切线；
（2）若AE=8，，求⊙O的半径和BC的长.
27.(本小题12分)
如图，在直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（-1，0）、B（3，0）两点，抛物线交y轴于点C（0，3），点D为抛物线的顶点．直线y=x-1交抛物线于点M、N两点，过线段MN上一点P作y轴的平行线交抛物线于点Q．
（1）求此抛物线的解析式及顶点D的坐标；
（2）问点P在何处时，线段PQ最长，最长为多少；
（3）设E为线段OC上的三等分点，连接EP，EQ，若EP=EQ，求点P的坐标．
1.【答案】B
2.【答案】B
3.【答案】C
4.【答案】B
5.【答案】D
6.【答案】B
7.【答案】D
8.【答案】C
9.【答案】B
10.【答案】A
11.【答案】(x+2)(x-2)
12.【答案】3
13.【答案】5
14.【答案】30
15.【答案】k＜0
16.【答案】2
17.【答案】15π
18.【答案】k＜1
19.【答案】6
20.【答案】
21.【答案】．
22.【答案】；．
23.【答案】证明：∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
又∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠BED=∠CFD=90°，
∵点D为BC中点，
∴DB=DC，
∴在DBE和DCF中，
∴DBEDCF（AAS），
∴DE=DF．
24.【答案】60 作图填空如下：
720人
25.【答案】A型设备每台进价3.4万元，B型设备每台进价5.4万元 有4种购进方案，购进10台A型设备最省钱
26.【答案】如图，连接OE，
∵OD=OE，
∴∠OED=∠ADE，
∵∠CEB=∠ADE，
∴∠OED=∠CEB，
∵AD是⊙O的直径，
∴∠AED=90°，
∴∠CED=180°-∠AED=90°，即∠BED+∠CEB=90°，
∴∠BED+∠OED=90°，
∴∠OEB=90°，即OE⊥BE，
∵OE是⊙O的半径，
∴BE是⊙O的切线 ⊙O的半径为5，
27.【答案】解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（-1，0）、B（3，0）两点，交y轴于点C（0，3），由题意，得
，
解得：
∴抛物线的解析式为：y=-x2+2x+3，
∴y=-（x-1）2+4，
∴D（1，4）；
（2）∵PQ⊥x轴，
∴P、Q的横坐标相同，
∵P点在直线y=x-1上，设P（a，a-1），则Q（a，-a2+2a+3），
∴PQ=-a2+2a+3-a+1=-a2+a+4，
∴PQ=-（a-）2+，
∴当a=时，线段PQ最长为，则P点坐标为（，-）；
（3）∵E为线段OC上的三等分点，且OC=3，
∴E（0，1）或E（0，2），
设P（p，p-1）（在y=x-1上），则Q（p，-p2+2p+3）．
当E（0，1）时，
∵EP=EQ，
∴（p-0）2+（p-1-1）2=（p-0）2+（-p2+2p+3-1）2，
∴p2+（p-2）2=p2+（p2-2p-2）2，
（p-2）2=（p2-2p-2）2，
①当p2-2p-2=p-2时，
∴p（p-3）=0，
∴p=0或3，
当p=0，P（0，-1），Q（0，3），
当p=3，P（3，2），Q（3，0），
过线段MN上一点P作y轴的平行线交抛物线于点Q．
∵直线y=x-1交抛物线于点M、N两点，
∴x-1=-x2+2x+3，
解得：x1=，x2=，
M的横坐标为，N点的横坐标为，
∴P点横坐标：大于等于小于等于，
∴P（3，2），Q（3，0）不符合要求舍去；
②p2-2p-2=-p+2，
整理得：p2-p-4=0，
解得：P1=，p2=，
∵直线y=x-1交抛物线于点M、N两点，
∴x-1=-x2+2x+3，
解得：x1=，x2=，
M的横坐标为，N点的横坐标为，
∵过线段MN上一点P作y轴的平行线交抛物线于点Q．
∴P点横坐标：大于等于小于等于，
当E（0，2）时，
∵EP=EQ，
∴（p-0）2+（p-1-2）2=（p-0）2+（-p2+2p+3-2）2，
p2+（p-3）2=p2+（p2-2p-1）2，
∴（p-3）2=（p2-2p-1）2．
③当p2-2p-1=p-3时，
∴（p-1）（p-2）=0
∴p=1或2．
当p=1时，P（1，0），Q（1，4）
当p=2时，P（2，1），Q（2，3）
④p2-2p-1=-p+3
p2-p-4=0，
解得：P1=＜-1，p2=＞2，
P（，）或（）．
综上所述，P点的坐标为：P（0，-1），P（1，0），P（2，1），P（，）或（）．
∵点P在线段MN上，
∴P点的坐标为：P（0，-1），P（1，0），P（2，1）．
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