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2025-2026学年河北省邯郸市永年区第二中学等校高一（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.在复平面内，复数对应的点位于（　　）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2.已知向量，若，则λ=（　　）
A. B. C. D. 2
3.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为，则a=（　　）
A. B. 2 C. D.
4.如图，△ABC由斜二测画法画的水平直观图是A′C′=2的等腰直角三角形A′B′C′，那么它在原平面图形中，顶点B到AC的距离是（　　）
A. 1
B.
C. 2
D.
5.，且，则=（　　）
A. 52 B. C. 16 D. 4
6.如图，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1=2AB，E是棱DD1的中点，则直线AD1与BE所成角的余弦值为（　　）
A.
B.
C.
D.
7.已知复数，当a≥1时，不等式2|z|2-t|z|+6≥0恒成立，则实数t的最大值是（　　）
A. B. C. D.
8.如图，在△ABC中，，，P为CD上一点，且满足，，，则的值为（　　）
A. -3 B. 3 C. D.
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.下列说法正确的是（　　）
A. 所有面都是三角形的多面体一定是三棱锥
B. 棱柱的侧棱平行且相等
C. 圆台的母线长不一定相等
D. 半圆以它的直径所在直线为旋转轴，旋转一周形成的曲面为球面
10.在△ABC中，，BC=2AB.向量，满足，，则（　　）
A. B. ||=||
C. =0 D.
11.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a,b,c,则下列说法正确的是（　　）
A. 若ccosC=bcosB，则△ABC是等腰三角形
B. 若a＞b,则sinA＞sinB
C. 若asinA+bsinB＜csinC，则△ABC是钝角三角形
D. 若△ABC不是直角三角形，则tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知复数z满足i z=1+i,则= .
13.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a,b,c,若，则△ABC的面积为 .
14.如图，点P，A，B，C均在球O的表面上，PA=PC=BC=1，AB=2，，平面PAC⊥平面ABC，则球O的体积为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知，，，复数（i为虚数单位，m∈R）.
（1）若复数z为非零实数，求；
（2）若复数z为纯虚数，求在上的投影向量的坐标.
16.(本小题15分)
如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PDC⊥平面ABCD，四边形ABCD是梯形，AB∥CD，AB=2CD，PD⊥BC，E是棱PC上的一点，且PE=2EC.
（1）求证：PA∥平面BDE；
（2）若△PDC是锐角三角形，且DE⊥PB，求证：DE⊥平面PBC.
17.(本小题15分)
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a,b,c,且.
（1）求cosC；
（2）求△ABC内切圆的半径.
18.(本小题17分)
已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a,b,c,满足.
（1）求角A；
（2）若△ABC的外接圆的面积为，，求△ABC的面积.
19.(本小题17分)
如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°，PB=PD，，PC=3，点F为棱PC的中点.
（1）求证：AF⊥BD；
（2）求二面角B-PA-D的余弦值；
（3）求直线AF与平面PAB所成角的正弦值.
1.【答案】C
2.【答案】C
3.【答案】B
4.【答案】D
5.【答案】B
6.【答案】D
7.【答案】B
8.【答案】C
9.【答案】BD
10.【答案】ABD
11.【答案】BCD
12.【答案】1+i
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】120 （0，1）
16.【答案】连接AC，交BD于点F，连接EF，
因为AB∥CD，
所以△FDC～△FBA，
所以，
又PE=2EC，
所以，
所以EF∥PA，
又EF 平面BDE，PA 平面BDE，
所以PA∥平面BDE，得证；
在△PDC中，过点P作DC的垂线，垂足为O，
因为平面PDC⊥平面ABCD，平面PDC∩平面ABCD=CD，
PO⊥DC，PO 平面PDC，
所以PO⊥平面ABCD，
又BC 平面ABCD，
所以PO⊥BC，
又PD⊥BC，PO∩PD=P，PO，PD 平面PDC，
所以BC⊥平面PDC，
又DE 平面PDC，
所以BC⊥DE，
又DE⊥PB，PB∩BC=B，PB，BC 平面PBC，
所以DE⊥平面PBC，得证．
17.【答案】
18.【答案】解：
（1）因为，
所以，
所以，即，
由余弦定理，得：
，
因为，所以 .
（2）因为△ABC的外接圆的面积为，所以△ABC的外接圆半径为，
由正弦定理得，，
因为，所以由正弦定理得，
由（1）知，
所以，得，则，
所以△ABC的面积为.

19.【答案】证明见解析； ； ．
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