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2025-2026学年上海市杨浦区高一（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共4小题，共18分。
1.已知a＞b，则下列不等式一定成立的是（　　）
A. B. 2a＞2b C. a2＞b2 D. |a|＞|b|
2.下列函数中在区间（0，1）上是严格减函数的是（　　）
A. y=x0.5 B. y=0.5x C. y=log2x D. y=sinx
3.已知△ABC中，A＜B，则下列选项不一定成立的是（　　）
A. a＜b B. sinA＜sinB C. cosA＞cosB D. tanA＜tanB
4.定义在R上的函数y=f（x）满足：对任意x1，x2∈R，f（x1）-f（x2）=|f（x1）|-|f（x2）|恒成立.则下列说法正确的是（　　）
A. 函数y=f（x）一定是常值函数
B. 函数y=f（x）的函数值一定非负
C. 若函数y=f（x）是R上的严格增函数，则它一定不存在零点
D. 若函数y=f（x）存在零点，则一定存在x1、x2∈R，使得f（x1） f（x2）＜0
二、填空题：本题共12小题，共54分。
5.小于π的正整数的集合用列举法表示为 .
6.函数y=ln（x-1）的定义域为______．
7.若，则cos2α=______．
8.指数函数y=ax与y=3x的图像关于y轴对称，则a= .
9.函数y=tan2x+1的最小正周期为 .
10.若函数y=cos（x+φ）为奇函数，则sinφ= .
11.已知扇形的周长是6，面积是2，则扇形的圆心角的弧度数α是 .
12.幂函数y=xa在x＞1时的图像位于直线y=x的下方，则a的取值范围是 .
13.若关于x的不等式的解集为空集，则a的值为 .
14.若正实数a、b满足，则的最大值为 .
15.某底角θ=20°的斜面上有两根长为1米的垂直于水平面放置的杆子，与斜面的接触点分别为A，B，它们在阳光的照射下呈现出影子，阳光可视为平行光.其中一根杆子的影子在水平面上，长度为0.5米；另一根杆子的影子完全在斜面上，其影子长度为 米（sin20°≈0.3420，cos20°≈0.9397，结果精确到0.01米）.
16.将函数y=sinπx的图象向左平移m个单位（0＜m＜2）得到函数y=f（x）的图象.若这两个函数图象的相邻三个交点恰好形成正三角形，则m= .
三、解答题：本题共5小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题14分)
已知集合A={x|x2-ax+a2-1＜0}.
（1）若1∈A，求实数a的取值范围；
（2）若-1 A，求实数a的取值范围.
18.(本小题15分)
已知△ABC内角A，B，C的对边分别为a,b,c,且满足a2+b2-c2=-ab.
（1）求角C的大小；
（2）若，求△ABC面积的最大值.
19.(本小题15分)
设m为常数，且函数y=f（x）为奇函数.
（1）求m的值；
（2）判断函数y=f（x）的单调性，并给出证明；
（3）若f（x）+f（|x+1|）＜0，求x的取值范围.
20.(本小题17分)
已知，函数y=f（x）的部分图像如图所示.
（1）求函数y=f（x）的解析式；
（2）求函数y=f（x）的单调减区间；
（3）若关于x的方程f（x）+f（-x）+m=0在区间上有解，求实数m的取值范围.
21.(本小题17分)
已知函数y=f（x）的定义域为R，g（x）=f（x）-f（x-1）.
（1）若f（x）=sinπx,求函数y=g（x）的零点构成的集合；
（2）若g（x）=x,且当x∈（0，1]时f（x）=x2，求函数y=f（x）在[-1，0]上的最小值；
（3）已知|f（x）|≤2026对一切x∈R恒成立，
求证：“函数y=f（x）存在正整数周期”的充要条件是“函数g（x）存在正整数周期”.
1.【答案】B
2.【答案】B
3.【答案】D
4.【答案】C
5.【答案】{1，2，3}
6.【答案】（1，+∞）
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】±1
11.【答案】1或4
12.【答案】（-∞，1）
13.【答案】-2
14.【答案】
15.【答案】0.65
16.【答案】或
17.【答案】（0，1） （-∞，-1]∪[0，+∞）
18.【答案】
19.【答案】m=-2 函数f（x）在R上严格递增，
证明如下：设任意的实数x1、x2，满足x1＜x2，
则，
又因为x1＜x2，则，所以，，，
所以，
故函数f（x）在R上严格递增 （-∞，-）
20.【答案】
21.【答案】Z 若f（x）有正整数周期T，则f（x+T）=f（x），
于是g（x+T）=f（x+T）-f（x+T-1）=f（x）-f（x-1）=g（x），
所以g（x）也有正整数周期；若g（x）有正整数周期T，则g（x+T）=g（x），
即f（x+T）-f（x+T-1）=f（x）-f（x-1），
整理得（f（x+T）-f（x））-（f（x+T-1）-f（x-1））=0，
设h（x）=f（x+T）-f（x），则h（x）=h（x-1）（ x∈R），
所以h（x）对任意整数平移都不变．
设存在某个x0使h（x0）≠0，设h（x0）=c≠0，即f（x0+T）=f（x0）+c，
则f（x0+2T）=f（x0+T）+c=f（x0）+2c， ，
于是对任意正整数n，f（x0+nT）=f（x0）+nc，
当n→+∞时，|f（x0）+nc|→+∞，这与|f（x）|≤2026矛盾．
故假设不成立，即 x∈R，都有h（x）=0，故f（x+T）=f（x）（ x∈R），
所以f（x）也有正整数周期．
“f（x）有正整数周期”的充要条件是“函数g（x）存在正整数周期
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