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2025-2026学年北京市大兴区第一中学高一（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共10小题，共50分。
1.=（　　）
A. B. C. D.
2.在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a,b,c,已知a=2，b=，c=4，则cosB=（　　）
A. B. C. D.
3.已知复数z满足：（1+i） z=2i，则|z|=（　　）
A. 1 B. C. D. 2
4.已知向量=（3，4），=（-k,2），且∥，则实数k=（　　）
A. B. -5 C. -3 D. -1
5.已知正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AA1=2，则该正三棱柱的表面积为（　　）
A. B. C. 12 D.
6.已知，且，则的值为（　　）
A. B. C. D.
7.如图，在所有棱长均为4的正四棱锥P-ABCD中，以P为顶点的圆锥在此正四棱锥的内部（含表面），则该圆锥体积的最大值为（　　）
A.
B.
C.
D. 16π
8.设，是非零向量，则“| |＜||2”是“||＜||”的（　　）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不必要也不充分条件
9.在△ABC中，已知∠BAC=90°，∠B=45°，BC=4，点P在线段BC上运动，当取得最小值时，PC=（　　）
A. 2 B. C. D. 1
10.已知平面向量，满足||=2，与-的夹角为120°，记=t+（1-t）（t∈R），则||的取值范围为（　　）
A. [，+∞） B. [，+∞） C. [1，+∞） D. [，+∞）
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11.已知α是锐角，且，则α= .
12.若（1+i）n的计算结果是实数，则满足条件的一个n的值是 .
13.如图所示的几何体是从棱长为1的正方体中，截去以正方体的一个顶点为球心，半径为1的球面所围成的几何体后得到的剩余部分，则该几何体的体积为 .
14.在△ABC中，a=7，.
①若b=5，则c= ；
②若满足条件的△ABC有两个，则b的取值范围是 .
15.锐角△ABC中，B＞A、给出下列四个结论：
①sin（A+B）＜sinA+sinB；
②sinA+sinB＜cosA+cosB；
③tanAtanBtanC＞1；
④.
其中所有正确结论的序号是 .
三、解答题：本题共6小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题10分)
已知复数z=a+2i（a∈R）.i为虚数单位.
（1）若，求a的值；
（2）若为实数，求a的值；
（3）若z1=z（2-ai），z1在复平面上对应的点在第二象限，求a的取值范围.
17.(本小题12分)
已知，，.
（Ⅰ）求cos（β-α）的值；
（Ⅱ）求的值；
（Ⅲ）求tan（α+β）的值.
18.(本小题12分)
已知向量，满足||=2，||=，且与的夹角为.
（Ⅰ）求|2-|的值；
（Ⅱ）若向量m-与+m互相垂直、求实数m的值.
19.(本小题12分)
如图1，正三棱柱形容器ABC-A1B1C1中盛有水，侧棱AA1=8，底面边长，若侧面AA1B1B水平放置时，水面恰好经过AC，BC，B1C1，A1C1的中点E，F，G，H.
（Ⅰ）当底面ABC水平放置时（如图2所示），求水面的高度；
（Ⅱ）已知某三棱锥的底面与该三棱柱底面△ABC全等，若将这些水全部倒入此三棱锥形的容器中，则水恰好装满此三棱锥，求此三棱锥的高；
（Ⅲ）当底面ABC水平放置时（如图2所示），打开上底面A1B1C1的盖子，从上底面A1B1C1放入半径为1的小铁球，且沉入水中，当水从上底面A1B1C1溢出时，求放入的小铁球个数的最小值.（结论不要求证明）
20.(本小题14分)
在△ABC中，asin2B=bsinA.
（Ⅰ）求B的大小；
（Ⅱ）再从条件①、条件②、条件③这三组条件中选择一个作为已知，使得△ABC存在且唯一确定，求△ABC的面积.
条件①：a=4，b=3；
条件②：c-a=1，；
条件③：c=3，.
注：如果选择的条件不符合要求，第（Ⅱ）问得0分；如果选择多组符合要求的条件分别解答，按第一组解答给分.
21.(本小题15分)
已知集合M中至少有2个元素，且M N*，若存在整数k,使得 x,y∈N*，当x+y∈M时，xy-k∈M恒成立，则称集合M具有性质T（k）.
（Ⅰ）判断集合{1，2}是否具有性质T（0），{2，3}是否具有性质T（1）；（结论不要求证明）
（Ⅱ）若集合M={1，a}具有性质T（1），求a的值；
（Ⅲ）求证：不存在具有性质T（2）集合.
1.【答案】A
2.【答案】C
3.【答案】B
4.【答案】A
5.【答案】D
6.【答案】A
7.【答案】A
8.【答案】B
9.【答案】B
10.【答案】A
11.【答案】
12.【答案】4（答案不唯一）
13.【答案】
14.【答案】8
（7，）

15.【答案】①③④
16.【答案】 a=2 a∈（-2，0）
17.【答案】
18.【答案】
19.【答案】6 18 3
20.【答案】．
选①，不存在；
选②③
21.【答案】集合{1，2}具有性质T（0），{2，3}不具有性质T（1） a=3 证明：假设存在具有性质T（2）集合M．
因为集合M N*，所以设集合M中最小的元素为m，
若m＞1，则由于m=（m-1）+1，且m-1，1∈N*，
由T（2）可知（m-1） 1-2=m-3∈M，但m是M中最小的元素且M N*，而m-3＜m，
所以集合M不具有性质T（2），矛盾．所以m=1．
设集合M中除1以外的最小元素为n，则n＞1．
因为n=（n-1）+1，且n-1，1∈N*，（n-1） 1-2=n-3＜n，且n-3∈M，
集合M中比n小的元素只有1，所以n-3=1，解得n=4，
即集合M中除1以外的最小元素为4，
因为2+2=4，集合M具有性质T（2），所以2×2-2=2∈M，
这与集合M中除1以外的最小元素为4相矛盾，
综上，不存在具有性质T（2）集合
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