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2025-2026学年天津市第三中学高一（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共10小题，共30分。
1.=（　　）
A. B. C. D.
2.在复平面内，复数z=3i-4对应的点位于（　　）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3.已知，，且，则实数x=（　　）
A. B. C. D. 3
4.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a,b,c,若A=，c=2，则角C的大小是（　　）
A. B. C. D. 或
5.复数的共轭复数是（　　）
A. 2+i B. -2-i C. -2+i D. 2-i
6.已知正四面体的棱长都是2，则这个正四面体的表面积是（　　）
A. 2 B. C. D.
7.如图，已知=，=，=4，=3，则=（　　）

A. - B. - C. - D. -
8.设长方体的长、宽、高分别为2，1，1，其顶点都在一个球面上，则该球的体积为（　　）
A. 3π B. C. D.
9.在△ABC中，已知，则c=（　　）
A. B. C. 3 D.
10.在梯形ABCD中，已知AB=2CD，AD=CD=1，∠DAB=30°，点E、F分别在线段DC和BC上，且，，则=（　　）
A. B. C. D.
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
11.已知复数，则= .
12.若向量，满足，，且与的夹角是30°，则向量在向量上的投影向量是 .（用表示）
13.已知向量与的夹角为60°，，，则= .
14.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a,b,c.若2A=B+C，a2=bc,则△ABC的形状是 .
15.已知一个圆锥的底面半径为2，且它的侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则这个圆锥的体积是 .
16.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a,b,c,且，且，那么△ABC外接圆的半径为 .
17.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a,b,c,c=4，b=6，A=120°，则BC边的高线长 .
18.在△ABC中，AB=6，AC=5，M，N分别为边AB，AC的中点.若∠BAC=60°，点P为线段MN上的动点，则的最小值为 .
三、解答题：本题共5小题，共46分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题8分)
已知复数z=（m2-2m-3）+（m2-5m+6）i,i是虚数单位，根据下列条件求实数m的值.
（1）z是实数；
（2）z是纯虚数；
（3）z在复平面内对应的点在第三象限，求实数m的取值范围.
20.(本小题8分)
已知向量.
（1）若，求的值；
（2）若，求与夹角的余弦值.
21.(本小题10分)
已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a,b,c,且（2c-b）cosA=acosB.
（1）求角A；
（2）若△ABC的面积为，sinB=2sinC，求a.
22.(本小题10分)
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a,b,c,.
（1）求A；
（2）若c=3，b=2，求cosC.
23.(本小题10分)
已知△ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a,b,c,且a=2.
（Ⅰ）求角C的大小；
（Ⅱ）求sinA的值；
（Ⅲ）求的值.
1.【答案】D
2.【答案】B
3.【答案】A
4.【答案】B
5.【答案】C
6.【答案】B
7.【答案】B
8.【答案】B
9.【答案】B
10.【答案】A
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】等边三角形
15.【答案】
16.【答案】
17.【答案】
18.【答案】
19.【答案】2或3 -1 （2，3）
20.【答案】
21.【答案】 3
22.【答案】
23.【答案】解：（Ⅰ）在△ABC中，由a=2，b=5，c=，
根据余弦定理得cosC===，
又因为C∈（0，π），所以C=；
（Ⅱ）在△ABC中，由C=，a=2，c=，及正弦定理，
可得sinA===；
（Ⅲ）由a＜c,知角A为锐角，由sinA=，可得cosA==，
进而sin2A=2sinAcosA=，cos2A=2cos2A-1=，
所以sm（2A-）=sin2Acos-cos2Asin=×-×=．
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