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2025-2026学年上海市杨浦区复旦大学附属中学高一（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共4小题，共18分。
1.复数z=i （1+i）（i为虚数单位）在复平面上对应的点位于（　　）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2.设是平面向量的一组基底，那么“”是“是钝角”的（　　）
A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件
C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件
3.已知正六边形A1A2A3A4A5A6的边长为2，P是其边上的动点，则的取值范围是（　　）
A. [-2，6] B. [-6，2] C. [-2，2] D. [-6，6]
4.已知函数在区间[0，π]上有且仅有3个零点.给出下面两个说法：
①函数y=f（x）在区间上单调递增；
②将y=f（x）的图象向左平移个单位，得到函数y=g（x）的图象，则其在区间[0，π]上有且仅有2条对称轴.
下列判断正确的是（　　）
A. ①正确，②正确 B. ①正确，②错误 C. ①错误，②正确 D. ①错误，②错误
二、填空题：本题共12小题，共54分。
5.已知，若，则x= .
6.函数y=sin2x的最小正周期T= .
7.当函数y=1+cos2x取到最大值时，x的值为 .
8.若复数z满足2iz=1-i（i为虚数单位），则z的虚部为 .
9.函数y=的定义域是 .
10.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a=2，b=2．B=．则△ABC的面积为______．
11.已知复数z1和复数z2满足z1+z2=3+4i,=-2+i（i为虚数单位），则-|= .
12.在平面直角坐标系xOy中，点.将向量绕原点O顺时针旋转，得到向量，则在方向上的数量投影为 .
13.在△ABC中，AC=3，BC=4，∠C=90°.点P为△ABC所在平面上一动点，满足PC=2.若，则λ+μ的最大值为 .
14.在四边形ABCD中，若，则= .
15.已知函数，若f（π）=0，且函数y=f（x）在区间上恰有一个最大值点，无最小值点，则ω的值为 .
16.已知函数f（x）=cos（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的部分图象如图所示，过T（t,0）的直线交图象于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，若f（t）=-1且TA=AB，则y1= .
三、解答题：本题共5小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题14分)
在复平面内，复数（m∈R，i为虚数单位）对应的点为Z1.
（1）若z1为实数，求实数m的值；
（2）若m＞0，复数z2满足z1z2=2i,且|z2|=2，z2在复平面内对应的点为Z2，求.
18.(本小题15分)
平面向量，函数.
（1）若，求y=f（x）的值域；
（2）设函数.若y=g（x）是偶函数，求y=g（x）的单调增区间.
19.(本小题15分)
如图所示，某巡逻艇在A处发现北偏东30°相距3海里的B处有一艘走私船，正沿东南方向以2海里/小时的速度向我海岸行驶，巡逻艇立即以3海里/小时的速度沿着正东方向直线追去，1小时后，巡逻艇到达C处，走私船到达D处，此时走私船才发现了巡逻艇，立即改变航向，以3海里/小时的速度向正东方向逃窜，巡逻艇立即加速以4海里/小时的速度沿着直线追击.
（1）当走私船发现了巡逻艇时，两船相距多少海里？（结果精确到0.1海里）
（2）问巡逻艇应该沿什么方向去追，才能最快追上走私船？（结果精确到0.1°）
20.(本小题17分)
对任意两个非零向量，定义：.
（1）若向量，求的值，并求在方向上的投影；
（2）若单位向量，满足，求的值；
（3）在△ABC中，设，若，判断△ABC的形状并说明理由.
21.(本小题17分)
对于函数y=f（x）和y=g（x），若存在函数y=h（x），使得f（x）=g（x） h（x），则称y=f（x）是y=g（x）的“h（x）关联函数”.
（1）已知f（x）=sinx,g（x）=cosx,是否存在定义域为R的函数y=h（x），使得y=f（x）是y=g（x）的“h（x）关联函数”？并说明理由；
（2）已知y=g（x）是周期为2π的偶函数，且当x∈[0，π]时，g（x）=sinx.函数y=f（x）是y=g（x）的cosx关联函数”，若方程在[0，m]上至少有26个根，求m的最小值；
（3）已知函数y=f（x）和y=g（x）的定义域都为[1，+∞）.当x∈[n,n+1）（n∈N*）时，.若存在函数y=h1（x）及y=h2（x），使得y=f（x）是y=g（x）的“h1（x）关联函数”，且y=g（x）是y=f（x）的“h2（x）关联函数”，求方程g（x）=0的解.
1.【答案】B
2.【答案】C
3.【答案】D
4.【答案】D
5.【答案】-12
6.【答案】π
7.【答案】x=kπ，k∈Z
8.【答案】
9.【答案】（0，）∪（，2]
10.【答案】2
11.【答案】5
12.【答案】-1
13.【答案】
14.【答案】-4
15.【答案】
16.【答案】
17.【答案】
18.【答案】 ，k∈Z
19.【答案】1.2海里 巡逻艇应该沿北偏东44°的方向去追
20.【答案】，在方向上的投影为 等边三角形
21.【答案】不存在，理由如下：
假设存在定义域为R的函数h（x），使得y=f（x）是y=g（x）的“h（x）关联函数”．
由定义可得sinx=cosx h（x），
取，则，矛盾，
故不存在这样的函数h（x）
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