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2025-2026学年山东省济南市济阳区八年级（下）期中数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A. B. C. D.
2.下列等式中，从左到右因式分解正确的是（　　）
A. ax2+ay-a=a（x2+y） B. x2+2x+1=x（x+2）+1
C. x3-x=x（x+1）（x-1） D. （a+1）（a-1）=a2-1
3.若a＞b,则下列不等式中，正确的是（　　）
A. 3a＜3b B. 4a-3＜4b-3 C. D. ac2＞bc2
4.不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　）
A.
B.
C.
D.
5.如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（2，0），（0，1），将线段AB平移至A′B′，那么2a+b的值为（　　）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
6.如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=30°，AD⊥AB交BC于点D，AD=3，则BC的长是（　　）
A. 8 B. 9 C. 10 D. 11
7.老师设计了接力游戏，用合作的方式完成解不等式1．规则是：每人只能看到前一人的计算结果，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成计算．过程如图所示，接力中，自己负责的一步出现错误的是（　　）
A. 只有丙 B. 甲、乙、丙 C. 乙、丙、丁 D. 甲、乙、丁
8.如图，数轴上点A所表示的数为1，点B，C，D是4×4的正方形网格上的格点，以点A为圆心，AD长为半径画圆交数轴于点P，Q.点P表示的数记为m,点Q表示的数记为n,则mn的值为（　　）
A. -9 B. C. -10 D.
9.如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，按下列步骤作图：
①以点C为圆心，以适当长为半径画弧，交AC于点E，交BC于点F；
②分别以E，F为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧在△ABC的内部相交于点P；
③作射线CP交AB于点D；
④分别以点C和点D为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于M，N两点；
⑤作直线MN，分别交AC，BC于点G，H，连接DG.
若AC=8，BC=6，则线段DG的长为（　　）
A.
B.
C.
D.
10.如图，直线l上两点A，B，AB=3，点P是直线l外一动点，且PA=2，连接PB，将线段PB绕点B顺时针旋转60°，得到线段BM，连接PM，AM，当AM取得最大值时，线段PB的长度为（　　）
A. B. C. D. 5
二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分。
11.已知在实数范围内有意义，写出一个符合条件的实数a的值： .
12.因式分解：3m2-6m=______．
13.若二次三项式x2-mx-12可分解为（x-3）（x+n），则m+n的值为 .
14.若关于x的方程的解是负数，则m的取值范围是 .
15.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，将△ABC绕点A逆时针旋转α（0＜α＜90°）得到△APQ，点B，C的对应点分别为点P，Q，QP的延长线交BC于点M.当AQ∥BC时，△QMC的面积是 .
三、解答题：本题共10小题，共90分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题6分)
解不等式：3（2x-1）≤5x,并在数轴上表示解集.
17.(本小题8分)
将下列各式因式分解：
（1）x2-4x+4；
（2）9（m+n）2-（m-n）2.
18.(本小题7分)
解不等式组：，并写出它的所有整数解.
19.(本小题8分)
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，将△ABC绕着点B逆时旋转得到△FBE，点C，A的对应点分别为E，F.点E落在BA上，连接AF.
（1）若∠BAC=36°，求∠CBF的度数；
（2）若AC=12，BC=9，求AF的长.
20.(本小题8分)
如图，△ABC的三个顶点分别为A（-4，-1），B（-5，-4），C（-1，-3）.（每个方格的边长均为1个单位长度）
（1）平移△ABC得到△A1B1C1，使A1点的坐标为（2，3），画出平移后的△A1B1C1，并写出B1的坐标为______；
（2）将△ABC绕点A逆时针旋转90°，请画出旋转后的△AB2C2；
（3）若点D与点C关于原点对称，连接AD，CD，则△ACD的面积为______.
21.(本小题9分)
定义新运算，如：G（4，0）=0，G（2，2）=2，G（-3，-1）=-3.根据该定义运算完成下列问题：
（1）G（3，2）=______，当x≤2时，G（x,2）=______；
（2）若G（3x-1，-x+3）=3x-1，求x的取值范围；
（3）如图，已知直线y1=x+m与y2=kx-2相交于点P（-2，1），若G（x+m,kx-2）=kx-2，结合图象，请你写出x的取值范围是______.
22.(本小题10分)
市场调查
调查背景 济阳区九曲黄河万里情文旅街区是全国唯一的黄河主题夜经济街区，成为济阳区新晋网红打卡地.景区内包括沿黄九省非遗美食与文创商铺，集夜游、亲子游乐、民俗体验、美食购物于一体.
市场调查 其中某商铺销售奶茶和果汁，已知卖出3杯奶茶和2杯果汁共收入68元卖出2杯奶茶和5杯果汁共收入82元.
经营需求 该商铺计划销售奶茶和果汁共50杯，且奶茶的数量不超过果汁的2倍.
问题解决
任务1 请你计算奶茶和果汁的单价.
任务2 请问销售多少杯奶茶才能使总收入最高？并求出最高收入.
23.(本小题10分)
阅读材料：若m2-2mn+2n2-8n+16=0，求m,n的值.
解：∵m2-2mn+2n2-8n+16=0
∴（m2-2mn+n2）+（n2-8n+16）=0，
∴（m-n）2+（n-4）2=0，
∴（m-n）2=0，（n-4）2=0，
∴m=4，n=4.
根据你的观察，探究下面的问题：
（1）已知x2+4xy+5y2+2y+1=0，则2x+3y的值为______；
（2）已知△ABC的边长a,b,c是三个互不相等的正整数，且满足a2+b2-4a-6b+13=0，求c的值；（写出求解过程）
（3）已知m-n=6，mn+p2-10p+34=0，求m+n-p的值.
24.(本小题12分)
如图1，在平面直角坐标系xOy中，O是坐标原点，点A的坐标为（5，0），将AO向上平移4个单位长度，再向左平移3个单位长度得到对应线段BC，连接AB，OC.M，N分别是线段OA，BC上的动点，点M从点A出发向点O运动，点N从点C出发向点B运动，两点同时出发，速度均为每秒1个单位长度.
（1）请直接写出坐标：B（______，______），C（______，______）；
（2）MN能否平行于y轴？若能，请求出几秒后MN∥y轴；若不存在，请说明理由；
（3）点P是线段AB上一点，在点M，N运动过程中是否存在点P使△MPN成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请求出点P坐标，若不存在，请说明理由.
25.(本小题12分)
已知△ABC是等腰直角三角形，AB=AC，∠BAC=90°，点D为平面内一动点，连接AD，将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到线段AE，连接CE.
（1）如图1，当点D在斜边BC上时，线段BD与线段CE的数量关系是______，BD与CE的位置关系是______；
（2）如图2，当点D为△ABC的边AB下方一点时，延长CE，BD交于点M，（1）中结论是否仍然成立？若成立，请给予证明，若不成立，请说明理由；
（3）如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，点D位于△ABC上方，且∠ADC=45°，△BDC的面积为20，请求出CD的长度.
1.【答案】D
2.【答案】C
3.【答案】C
4.【答案】B
5.【答案】A
6.【答案】B
7.【答案】D
8.【答案】A
9.【答案】D
10.【答案】B
11.【答案】0（答案不唯一）
12.【答案】3m（m-2）
13.【答案】3
14.【答案】
15.【答案】6
16.【答案】x≤3，．
17.【答案】（x-2）2 4（2m+n）（m+2n）
18.【答案】-1≤x＜2，不等式组的整数解为-1，0，1．
19.【答案】∠CBF的度数是108° AF的长是6
20.【答案】如图，△A1B1C1即为所求，并写出B1的坐标为（1，0）； 如图，△AB2C2即为所求 11
21.【答案】2;x x≤1 x≥-2
22.【答案】任务1：奶茶单价16元，果汁单价10元；
任务2：销售33杯奶茶时总收入最高，最高收入698元．
23.【答案】1 4 -5
24.【答案】2;4;-3;4 第4秒时，MN∥y轴 当点P坐标为时，△MPN成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形
25.【答案】BD=CE;BD⊥CE 成立，证明如下：
根据题意得AD=AE，AB=AC，∠DAE=∠BAC=90°，
∴∠DAE-∠BAE=∠BAC-∠BAE，
∴∠DAB=∠EAC，
在△ABD和△ACE中，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD=CE，∠ABD=∠ACE，
∵∠ABC+∠BCE+∠ACE=90°，
∴∠ABC+∠BCE+∠ABD=90°，
∴∠BMC=90°，即BD⊥CE 2
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