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2025-2026学年山东省青岛实验初级中学八年级（下）期中数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下面四幅图中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）
A. B. C. D.
2.若x＜y,则下列不等式成立的是（　　）
A. x+2＞y+2 B. x-2＞y-2 C. 2x＞2y D.
3.用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于45°”时，首先应假设这个直角三角形中（ ）
A. 两个锐角都大于45° B. 两个锐角都小于45°
C. 两个锐角都不大于45° D. 两个锐角都等于45°
4.历来中国茶杯的各种造型从杯口形状，到杯身的样子，既是心思，也是美丽的几何.如图所示，南宋哥窑青釉八方杯最具代表性，杯口呈八边形.则八边形的内角和为（　　）
A. 1080°
B. 900°
C. 720°
D. 540°
5.若关于x的不等式组的解集是x＜6，则P（3-m,m+1）在（　　）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
6.若多项式x2-x+a因式分解的结果为（x+2）（x+b），则a+b的值为（　　）
A. -9 B. 9 C. -6 D. 6
7.某商店老板以每件80元购进一批哪吒主题的卫衣，出售时标价为110元，为了尽快减少库存，老板准备打折出售，但要使利润率不低于10%，若设该卫衣打x折销售，则可列式为（　　）
A. 110x-80≥80×10% B. 110x-80≥110×10%
C. D.
8.无人机编队表演，在空中先组成如图所示的四边形ABCD图案，然后整体向右平移5个单位，再绕点O逆时针旋转90°，此时点C的坐标C'的坐标为（　　）
A. （2，-4） B. （2，4） C. （4，2） D. （-4，-2）
9.如图，观察图象，可以得出不等式组的解集是（　　）
A. B. C. 0＜x＜2 D.
10.如图，△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，AD的垂直平分线交AC于点F，已知BD=5，BE=4，AB=10，则CF的长为（　　）
A. 2
B.
C. 3
D.
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
11.（-2）101+（-2）100= （用幂的形式表示）.
12.若x2+mx+36是完全平方式，则m的值为______．
13.如图，点A，D分别在BE，CE的垂直平分线上，A，E，D三点在同一条直线上，如果AD=5cm,BC=7cm,那么四边形ABCD的周长为 cm.
14.如图，在△ABC中，∠A=90°，BD平分∠ABC，E是BD的中点，若BC=4，AD=1，则S△DEC= .
15.已知边长为6的等边△ABC，点P是线段BC上一个动点，连接AP，把△ABP绕点A逆时针旋转，使点B与点C重合，得到△ACQ，连接PQ，则点P在从B到C的过程中，线段PQ的最小值是 .
16.如图，在△ABC中，∠A=70°，点D为BC中点，过点D作BC的垂线，交AB于点E，连接CE，作∠ACE的平分线，与DE的延长线交于点F，则∠F的度数为 .
17.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠ACB=30°；把Rt△ABC沿着AD的方向移动到点D处，得到△DEF，其中点D是Rt△ABC三个内角的平分线交点，DE、EF与BC边的交点分别为G、H，其中BG=2，则重叠部分△DGH的周长为 .
18.如图，∠ABM=60°，点C是边BM上一点，且BC=4，点O是∠B平分线和线段BC垂直平分线的交点，∠FOG=120°，绕点O旋转∠FOG，分别交BA、BC于点D、E，连接DE，给出下列四个结论：①OD'=OE；②BD+BE=4；③四边形ODBE的面积始终等于；④S△ODE=S△BDE.上述结论中正确的有 （写出序号）.
三、解答题：本题共8小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题4分)
请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹.
已知：如图△ABC.
求作：四边形ABCD，使点D到AB、BC边的距离相等，且CD⊥BC，垂足为C.
20.(本小题12分)
把下列各式因式分解：
（1）2x2+2y2-4xy；
（2）25（a+b）2-9（a-b）2；
（3）（x2+9）2-36x2.
21.(本小题6分)
解不等式组：.
22.(本小题4分)
如图，将一张长方形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为m的大正方形，两块是边长都为n的小正方形，五块是长为m,宽为n的全等小长方形，且m＞n.（以上长度单位：cm）
①观察图形，请用面积的不同表示方法，写出一个关于因式分解的恒等式为______；
②若每块小长方形的面积为10cm2，四个正方形的面积和为58cm2，则图中所有裁剪线（虚线部分）长之和为______cm.
23.(本小题10分)
随着线上经济的快速发展，某商户在线上投资销售A、B两种商品.两种商品的月利润获取方式不同，A种商品的月利润y1是该商品投资金额x（万元）的35%；B种商品的月利润y2（万元）与该商品的投资金额x（万元）满足函数关系式y2=kx+0.5，已知B商品投资金额为1万元时，盈利0.8万元.
（1）直接写出销售A、B两种商品的月利润y1，y2（万元）与对应商品的投资金额x（万元）的函数关系式y1=______，y2=______.
（2）若只选择其中一种商品投资销售，投资金额为多少时，投资B产品的月利润更高？
（3）若该商户共投资12万元同时销售A，B两种商品，其中投资B商品的金额不少于投资A商品金额的2倍，要获得月利润最大，应该怎样分配投资金额？并求出最大月总利润.
24.(本小题8分)
已知等腰△ABC，AB=AC，D是BC边的中点，BE⊥AC，交AD于点H，过H作HF⊥AB.点G为BE延长线上一点，且AH=AG，连接CG.
（1）求证：CE=BF；
（2）若∠BAC=80°，则∠ACG=______.
25.(本小题10分)
中国数学会第十四届全国数学文化论坛于2025年7月1日在河南省郑州市举行.中国数学会会徽以赵爽弦图为核心设计，既展现了中国古代数学的辉煌成就，又通过直观图形激发数学学习兴趣.
【模型呈现】
某兴趣小组从赵爽弦图（图1）中提炼出三角形全等的模型图（图2）.
如图2，已知∠BAD=90°，AB=AD，过点B作BC⊥AC于点C，过点D作DE⊥AC的延长线于点E.由∠1+∠2=∠2+∠D=90°，得∠1=∠D.又∠ACB=∠AED=90°，AB=AD，可以推理得到△ABC≌△DAE，我们把这个数学模型称为“一线三等角”模型.
【模型应用】
（1）如图3，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E.若AD=10，BE=6，则DE=______；
（2）当直线MN绕点C旋转到图4的位置时，请直接写出DE、AD、BE三条线段之间的数量关系______；
（3）如图5，AE⊥AB且AE=AB，BC⊥CD且BC=CD，按照图中所标注的数据，图中实线所围成的图形的面积为______；
【拓展迁移】
（4）如图6，在△ABC中，AB=AC，CB=12，S△ABC=48，以AC为腰向右侧作一个等腰Rt△ACD，连接BD，请直接写出△BCD的面积为______.
26.(本小题12分)
已知Rt△ACB与等腰Rt△DEF如图①摆放，A、B、D、E四点在同一直线上，点B与点D重合.∠ACB=∠DEF=90°，AC=8cm,∠A=60°，DE=EF=6cm,如图②，点P从点A出发沿着AC边向C点匀速运动，速度为1cm/s；△DEF从点B出发沿着BA向点A匀速运动，速度为2cm/s,当点P到达点C时，整个运动停止.在运动过程中，DF与BC的交点是M.设运动时间为t（s），解答下列问题：
（1）用含t的代数式表示BE=______（0＜t＜3）.
（2）当t为何值时，点A在PD的垂直平分线上？
（3）当t为何值时，△APD为直角三角形？
（4）当t为何值时，BF=DF？
1.【答案】B
2.【答案】D
3.【答案】A
4.【答案】A
5.【答案】B
6.【答案】A
7.【答案】C
8.【答案】C
9.【答案】D
10.【答案】B
11.【答案】-2100
12.【答案】±12
13.【答案】17
14.【答案】1
15.【答案】
16.【答案】35°
17.【答案】
18.【答案】①②③
19.【答案】如图，点D即为所求．

20.【答案】2（x-y）2 4（a+4b）（4a+b） （x+3）2（x-3）2
21.【答案】-2≤x＜2．
22.【答案】2m2+2n2+5mn=（2m+n）（m+2n） 42
23.【答案】0.35x;0.3x+0.5 投资金额为0＜x＜10万元时，投资B产品的月利润更高 投资4万元销售A商品，投资8万元销售B商品，月利润最大，最大月总利润为4.3万元
24.【答案】∵AB=AC，D是BC边的中点，
∴∠BAD=∠CAD，
∵BE⊥AC，HF⊥AB，
∴∠AEH=∠AFH=90°，
∵AH=AH，
∴△AEH≌△AFH（AAS），
∴AE=AF，
∵AB=AC，
∴CE=BF 10°
25.【答案】16 DE=AD-BE 50 36或84
26.【答案】（6-2t）cm t=4s或 t=6s
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