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2025-2026学年山东省济南市历城区七年级（下）期中数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列图案中是轴对称图形的是（　　）
A. B.
C. D.
2.“燕山雪花大如席，片片吹落轩辕台.”这是诗仙李白眼里的雪花，单片雪花的重量其实很轻，只有0.00003kg左右，则0.00003用科学记数法表示为（　　）
A. 3×10-4 B. 3×10-5 C. 0.3×10-4 D. 0.3×10-5
3.下列运算正确的是（　　）
A. a2+2a2=3a4 B. a6÷a2=a3 C. （a-b）2=a2-b2 D. （ab）3=a3b3
4.如图，下面是三位同学的折纸示意图，则AD依次是△ABC的（　　）
A. 中线、角平分线、高线 B. 高线、中线、角平分线
C. 角平分线、高线、中线 D. 角平分线、中线、高线
5.如图是某二维码示意图.在边长为5cm的正方形区域内，为了估计图中黑色部分的面积，在正方形区域内随机掷点.经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.6左右，据此可以估计黑色部分的总面积为（　　）
A. 2cm2 B. 3cm2 C. 12cm2 D. 15cm2
6.如图，将一张长方形纸条折叠，使得折叠后的部分与原长方形在同一平面内，若AB∥CD，则∠1与∠2一定满足的关系是（　　）
A. ∠1=2∠2 B. ∠1+∠2=90° C. ∠1-∠2=30° D. 2∠1-3∠2=30°
7.将一根长14厘米的铁棒截成三段，首尾相连焊接成一个等腰三角形，如图，如果第一次在4厘米处（剪刀处）截断，那么第二次截断处的位置应该是（　　）
A. ②或③ B. ④或⑤ C. ②，③或④ D. ③，④或⑤
8.正方形M的边长为（a-4），其面积记为SM，长方形N的长为（a-2），宽为（a-6），其面积记为SN，已知a＞6，则SM与SN的大小关系为（　　）
A. SM-SN=4 B. SM=SN C. SM=2SN D. SN-SM=4
9.小丽与爸妈在公园里荡秋千.如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，OA与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面1m高的B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她.若妈妈与爸爸到OA的水平距离BD，CE分别为1.3m和1.9m,∠BOC=90°，爸爸在C处接住小丽时，小丽距离地面的高度是（　　）
A. 1m B. 1.3m C. 1.6m D. 1.9m
10.如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=6，AC=8，BC=10，点P为BC边上一动点（不与端点重合），点P关于直线AB，AC的对称点分别为P1，P2，连接P1，P2.在点P的运动过程中，下列结论中正确的个数是（　　）
①△ABC≌△PP2P1；
②AP1=AP2；
③△P1PP2一定是直角三角形；
④线段P1P2长度的最小值是.
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分。
11.小丽书包里装有形状、大小完全相同的6本作业本，其中语文2本，数学2本，英语1本，物理1本.小丽从中任意抽取1本，它是数学作业本的概率是 .
12.如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，若CD=2，AB=6，则△ABD的面积为 .
13.有八个球编号是①至⑧，其中有六个球一样重，另外两个球都轻1克，为了找出这两个轻球，用天平称了三次，结果如下：第一次①+②比③+④重，第二次⑤+⑥比⑦+⑧轻，第三次①+③+⑤和②+④+⑧一样重．那么，两个轻球的编号是______．
14.空竹在我国有悠久的历史，抖空竹是靠四肢配合完成的运动项目，被誉为“中华传统体育文化的瑰宝”.在观察抖空竹时发现，可以从运动员某一时刻的姿势中抽象出数学问题：如图，AB∥CD，∠E=24°，∠ECD=104°，则∠A= 度.
15.如图，AC=AB=BD，∠ABD=90°，BC=6，则△BCD的面积为 .
三、解答题：本题共9小题，共90分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题16分)
计算：
（1）；
（2）（a+2）2-a（a-1）；
（3）6x3y2÷（-3xy）+（12x4y3-4x2y2）÷4x2y2；
（4）.
17.(本小题6分)
先化简，再求值：[（3x-2y）（3x+2y）-x（9x-2y）]÷y,其中x=3，y=-2.
18.(本小题8分)
如图，已知AB∥CD，连接BD，AD，BC，在BD上取一点E，使DE=AB，连接EC，若∠1=∠2.
（1）求证：△ABD≌△EDC；
（2）若AB=3，BE=5，求线段CD的长度.
19.(本小题10分)
如图，在△ABC中，EF是AB的垂直平分线，AD⊥BC，D为CE的中点.
（1）求证：BE=AC；
（2）若∠B=40°，求∠BAC的度数.
20.(本小题7分)
如图，在14×6的网格中，每个小正方形的边长都为1.网格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形.已知直线l及格点A，B，连接AB.
（1）画出线段AB关于直线l的轴对称线段A′B′；
（2）在直线l上是否存在一点P，使PA+PB的值最小.若存在，请画出点P；若不存在，请说明理由；
（3）在直线l的左侧存在格点C，使△ABC为等腰三角形，这样的格点C共有______个.
21.(本小题8分)
现有正面分别写有“最”“美”“济”“南”的卡片共20张，这些卡片的大小、形状、背面完全相同.已知写有“最”字的卡片有8张，“济”字卡片有4张，“南”字卡片有3张，其余卡片写有“美”字，混匀后，将卡片背面朝上放置在桌面上.
（1）事件“随机抽取4张，全是写有‘南’字的卡片”为______事件；（选填“随机”“必然”或“不可能”）
（2）随机抽取一张，求抽到写有“美”字卡片的概率；
（3）从这些卡片中取出m张写有“最”字的卡片，再放入m张写有“济”字的卡片，混匀后，随机抽取一张卡片，抽到写有“济”字卡片的概率为，求m的值.
22.(本小题11分)
如图1，将边长为a,b的两个正方形和两个宽和长分别为a,b（a＜b）的长方形拼凑成如图2所示的大正方形ABCD.记四边形AHOE，HDGO，OGCF，EOFB的面积分别为S1，S2，S3，S4.
（1）若S1=12，S2=36，则a+b=______；
（2）若a+b=10，S1=15，则S2+S4=______；
（3）如图3，连接EC，HC，HC交EG于点M.若四边形HMGD的面积与三角形EMC面积之差是S4的2倍，求S2：S4的值.
23.(本小题12分)
如图1，∠AOB=60°，作∠AOB的平分线OC，过射线OA上一点D作DE∥OB交射线OC于点E，点F是直线OD上一点，连接EF，作∠EFO的角平分线FG交OC于点G.
（1）如图2，当点F与点D重合时，则∠FGO=______度；
（2）如图3，当点F在线段OD上时，若∠DEF=10°，求∠FGO的度数；
（3）当点F在直线OD（F不与O，D重合）上时，∠DEF=α，直接写出∠FGO的度数（用含α的代数式表示）.
24.(本小题12分)
如图1，在等腰直角三角形ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，点D在BC边上，连接AD，AE⊥AD，AE=AD，连接CE，DE.
（1）求证：∠B=∠ACE；
（2）点A关于直线CE的对称点为M，连接CM，EM，
①请在图1中补全图形并证明∠EMC=∠BAD；
②利用备用图进行画图、试验、探究，找出当D，E，M三点恰好共线时点D的位置，请直接写出此时∠BAD的度数.
1.【答案】D
2.【答案】B
3.【答案】D
4.【答案】C
5.【答案】D
6.【答案】B
7.【答案】C
8.【答案】A
9.【答案】C
10.【答案】B
11.【答案】
12.【答案】6
13.【答案】④⑤
14.【答案】80
15.【答案】9
16.【答案】-2 5 a+4 x2y-1
17.【答案】14．
18.【答案】∵AB∥CD，
∴∠ABD=∠EDC，
在△ABD和△EDC中，
，
∴△ABD≌△EDC（AAS） 线段CD的长度是8
19.【答案】连接AE，
∵EF是AB的垂直平分线，
∴BE=AE（线段垂直平分线的性质），
∵AD⊥BC，D为CE的中点，
∴AD是EC的垂直平分线，
∴AE=AC，
∴BE=AC（等量代换） ∠ BAC=60°
20.【答案】，线段A′B′即为所求作；
，点P即为所求作；
5
21.【答案】不可能 4
22.【答案】8 70 5
23.【答案】90 85° 90°+或90°-或
24.【答案】证明：∵AE⊥AD，
∴∠DAE=90°=∠BAC，
∴∠BAD=∠CAE，
∵AB=AC，AE=AD，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠B=∠ACE ①补全图形如图1所示，
连接AM，
∵点A关于直线CE的对称点为M，
∴AE=ME，AC=MC，
∵CE=CE，
∴△ACE≌△MCE（SSS），
∴∠EMC=∠EAC，
由（1）知，△ABD≌△ACE，
∴∠BAD=∠EAC，
∴∠BAD=∠EMC；②如备用图，连接AM，
∠BAD=22.5°
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