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2025-2026学年北京市第171中学教育集团七年级（下）期中数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列各组图形中，能将其中一个图形经过平移变换得到另一个图形的是（　　）
A. B. C. D.
2.下列调查中，适宜采用全面调查方式的是（　　）
A. 调查北京市场上老酸奶的质量情况 B. 调查北京市中学生的视力情况
C. 调查某品牌电灯的使用寿命 D. 检查乘坐飞机的旅客携带违禁物品情况
3.在平面直角坐标系中，点（1，-2）所在的象限是（　　）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
4.如图，直线AB与直线CD相交于点O，EO⊥AB，∠EOD=25°，则∠AOC等于（　　）
A. 55°
B. 65°
C. 75°
D. 115°
5.一副三角板如图所示放置，AB∥DC，∠CAE的度数为（　　）
A. 45°
B. 30°
C. 15°
D. 10°
6.若m＞n,则下列不等式中一定成立的是（　　）
A. m+3＜n+3 B. 3m＜3n C. a-m＜a-n D. ma2＞na2
7.下列命题中，假命题是（　　）
A. 对顶角相等
B. 9的算术平方根是3
C. 两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补
D. 在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行
8.一个正数的两个不同的平方根是a+3和2a-6，则这个正数是()
A. 1 B. 4 C. 9 D. 16
9.《算法统宗》是中国古代数学名著，作者是明代数学家程大位.其中有一个关于“绳索量竿”的问题：“一支竿子一条索，索比竿子长一托，对折索子来量竿，却比竿子短一托，问索长几尺”.
译文：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对折后再去量竿，就比竿短5尺，问绳索长几尺？
设绳索长为x尺，竿长为y尺，则符合题意的方程组是（　　）
A. B. C. D.
10.小明、小聪参加了100m跑的5期集训，每期集训结束时进行测试，根据他们的集训时间、测试成绩绘制成如图两个统计图．
根据图中信息，有下面四个推断：
①这5期的集训共有56天；
②小明5次测试的平均成绩是11.68秒；
③从集训时间看，集训时间不是越多越好，集训时间过长，可能造成劳累，导致成绩下滑；
④从测试成绩看，两人的最好成绩都是在第4期出现，建议集训时间定为14天．
所有合理推断的序号是（　　）
A. ①③ B. ②④ C. ②③ D. ①④
二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。
11.4的平方根是 .
12.如图，点A、B、C、D在直线l上，点P在直线l外，PC⊥l于点C，在线段PA、PB、PC、PD、PE中，最短的一条线段是 ，理由是 .
13.若关于x的不等式x-m≥-1的解集如图所示，则m等于 ．
14.已知是二元一次方程ax-2y=5的一个解，则a的值是 .
15.若点P在第四象限，且点P到x轴的距离为2，到y轴的距离为1，则点P的坐标为 .
16.满足的整数共有 个.
17.如图，把一个长方形纸条ABCD沿AF折叠，已知∠ADB=26°，AE∥BD，则∠BAF=______．

18.定义运算：[x]表示求不超过x的最大整数.如[1.3]=1，[0.5]=0，[-1.2]=-2，若[-2.5] [2x-1]=-6，则x的取值范围是 .
三、计算题：本大题共1小题，共5分。
19.计算：.
四、解答题：本题共9小题，共49分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
20.(本小题5分)
解方程组：.
21.(本小题5分)
解不等式组：，并求出它的所有整数解.
22.(本小题5分)
完成下面的证明.
已知：如图，AD∥BC，∠D+∠F=180°.
求证：DC∥EF.
证明：∵AD∥BC，
∴∠D+______=______.（______①）（填推理依据）
∵∠D+∠F=180°，
∴∠C=______.
∴DC∥EF.（______②）（填推理依据）
23.(本小题5分)
为了解某长跑俱乐部成员的跑步成绩情况，某学校的长跑社团收集了该俱乐部2023年和2024年半程马拉松“大师赛”的比赛成绩，分为两个研究小组进行调查研究.
（1）第一个研究小组随机抽取了该俱乐部2023年一些成员的比赛成绩，部分统计结果如下：
成绩x（分钟） 频数（人） 频率
80＜x≤85 2 0.04
85＜x≤90 0.08
90＜x≤95 8
95＜x≤100 17 0.34
100＜x≤105 10 0.20
105＜x≤110 3 0.06
110＜x≤115 5 0.10
115＜x≤120 1 0.02
合计 1
①请把上面的频数分布直方图补充完整；
②在2023年，该俱乐部共有300名成员，根据上面的统计结果估计该年俱乐部中成绩x满足90＜x≤95的人数为______；
（2）第二个研究小组从该俱乐部2023年和2024年均参加了半程马拉松“大师赛”的选手中抽取了30名选手的跑步成绩，绘制了统计图（如图所示）.
请根据以上信息解答下面的问题：
①小赵2024年的比赛用时比2023年的比赛用时______（填“多”，“少”）；
②将这30名选手中2024年成绩优于2023年成绩的人数记为m,其余选手人数记为n,则m______n（填“＞”，“=”，“＜”）.
24.(本小题5分)
如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，格点△ABC （顶点是网格线的交点的三角形）的顶点B，C的坐标分别是（-1，1），（0，3）.
（1）请在如图所示的网格内画出平面直角坐标系；
（2）把△ABC先向右平移4个单位，再向下平移2个单位得到△A1B1C1，请在图中画出△A1B1C1，并写出A1，B1，C1的坐标；
（3）求△A1B1C1的面积.
25.(本小题6分)
2026年春季学期某校初一年级计划开展各类体育赛事，拟采购A型和B型两种型号的奖品用于奖励获奖同学.已知采购5个A型奖品和9个B型奖品共需付费120元；采购10个A型奖品和8个B型奖品共需付费140元.
（1）求A型奖品和B型奖品的单价；
（2）根据学生获奖情况，需要一次性购买奖品200个，其中A型奖品不超过101个，共需付费不超过1600元.请列出所有的购买方案，并求出最小的购买资金.
26.(本小题5分)
定义：给定两个不等式组P和Q，若不等式组P的任意一个解，都是不等式组Q的一个解，则称不等式组P为不等式组Q的“子集”.
例如：不等式组：M：是N：的子集.
（1）若不等式组：A：，B：，则其中不等式组______是不等式组M：的“子集”（填A或B）；
（2）若关于x的不等式组是不等式组的“子集”，则a的取值范围是______.
27.(本小题6分)
如图，已知l1∥l2，射线MN分别与直线l1，l2交于点A，B，射线ME分别与直线l1，l2交于点C，D，点P在射线MN上运动（P点与A，B，M三点不重合），
设∠PDB=α，∠PCA=β，∠CPD=γ．
（1）若点P在A，B两点之间运动时，若a=25°，β=40°，那么γ=______；
（2）若点P在A，B两点之间运动时，探究α，β，γ之间的数量关系，请说明理由；
（3）若点P在A，B两点之外运动时，α，β，γ之间有何数量关系？（只需写出结论）
28.(本小题7分)
在平面直角坐标系xOy中，对于任意一点A（x,y），定义点A的“离心值”p（A）：
P（A）=
例如对于点A（-6，3），因为|-6|＞|3|，所以p（A）=|-6|=6
（1）已知B（0，5），C（-3，3），D（-，-1），将p（B）、p（C）、p（D）按从小到大的顺序排列（用“＜”连接）______.
（2）如图1，点P（-1，3），E（-1，-3），线段PE上的点M（x,y），
①若p（M）=1.5，写出M的坐标.
②在图中画出满足p（M）=1的点M组成的图形.
（3）如图2，直线l过点（0，-3）和（3，0），将直线l向上平移m（m＞0）个单位得到直线l'，若l'上恰好有两个点的离心值为1，直接写出m的取值范围.
1.【答案】A
2.【答案】D
3.【答案】D
4.【答案】B
5.【答案】C
6.【答案】C
7.【答案】C
8.【答案】D
9.【答案】B
10.【答案】A
11.【答案】±2
12.【答案】PC
垂线段最短

13.【答案】3
14.【答案】1
15.【答案】（1，-2）
16.【答案】3
17.【答案】58°
18.【答案】≤x＜2
19.【答案】解：
=3+2--4
=1-．
20.【答案】解：，
由①得：y=2x-4③，
把③代入②得：x+2（2x-4）=-3，
解得：x=1，
把x=1代入③得：y=2-4=-2，
则方程组的解为．
21.【答案】不等式组的解集为-2≤x≤1，所有整数解为：-2，-1，0，1
22.【答案】∠C 180° 两直线平行，同旁内角互补 ∠ F 内错角相等，两直线平行
23.【答案】①补全统计图如下：
；②48 少;＞
24.【答案】建立平面直角坐标系如下：
作图如下：
A1（0，3） △A1B1C1的面积为5
25.【答案】A型奖品和B型奖品的单价分别为6元，10元 购买方案一：购买A型奖品和B型奖品各100个；购买方案二：购买A型奖品101个，B型奖品99个；最小购买资金是1596元
26.【答案】A a≥2
27.【答案】解：（1）65°；
（2）∠γ=∠α+∠β，
理由：过点P作PF∥l1（如图1），

∵l1∥l2，
∴PF∥l2，
∴∠α=∠DPF，∠β=∠CPF，
∴∠γ=∠DPF+∠CPF=∠α+∠β；
（3）当点P在MB上运动时（如图2），
∵l1∥l2，
∴∠β=∠CFD，
∵∠CFD是△DFP的外角，
∴∠CFD=∠α+∠γ
∴∠β=∠γ+∠α；
当点P在AN上运动时，同理可得∠α=∠γ+∠β．
28.【答案】p（D）＜p（C）＜p（B）；
①点M的坐标为（-1，1.5）或（-1，-1.5）；②答案见解答过程；
1＜m＜5
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