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2025-2026学年北京市第十九中学七年级（下）期中数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在平面直角坐标系xOy中，点（-2，3）在（　　）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2.若是关于x和y的二元一次方程ax+y=1的解，则a的值为（　　）
A. 3 B. 1 C. -1 D. -3
3.下列各数中，无理数是（　　）
A. 3.4285 B. C. D. π-3.14
4.如图，直线BC，DE相交于点O，AO⊥BC于点O．OM平分∠BOD，如果∠AOE=50°，那么∠BOM的度数（　　）
A. 20°
B. 25°
C. 40°
D. 50°
5.不等式x-3＜0的解集在数轴上可以表示为（　　）
A. B.
C. D.
6.小明在学习与垂直相关的知识时，得到了以下结论：
甲：两条直线相交所得的四个角中，有三个角相等，则这两条直线互相垂直；
乙：平面内，如果AB⊥l,BC⊥l,则点A，B，C一定在同一条直线上.
关于这两个结论，以下判断正确的是（　　）
A. 甲对乙错 B. 甲错乙对 C. 甲乙都对 D. 甲乙都错
7.下列图中所示的球、圆柱、正方体的重量分别都相等，三个天平分别都保持平衡，那么第三个天平中，右侧秤盘上所放正方体的个数应为（　　）
A. 6 B. 5 C. 4 D. 3
8.在平面内有A，B，C，D，E五个点，满足∠ABC=∠BCD=∠CDE=120°，给出下列三个结论：①CD可能与AB平行；②DE可能与AB平行；③A，C，E三点可能在同一条直线上.所有正确结论的序号是（　　）
A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③
二、填空题：本题共9小题，每小题2分，共18分。
9.16的平方根是 .
10.如图，点A，B，C，D，E在直线上，点P在直线外，PC⊥于点C，在线段PA，PB，PC，PD，PE中，最短的一条线段是 ，理由是 .
11.关于x,y的方程3x|a|-1+（2-a）y=1是二元一次方程，则a的值为 .
12.若m＞3，则-2m的取值范围是 ，你推理的依据是 .
13.如图，正方形ABCD的面积为5，点A与数轴上表示1的点重合，数轴上的点E在点A左侧，且AE=AD，则点E表示的数为 .
14.在平面直角坐标系xOy中，若点A（a-3，2a+1）到x轴的距离为3，则点A到y轴的距离为 .
15.若实数x,y满足，则xy= .
16.已知在平面直角坐标系xOy中，点A（x-2，y+1），B（x,y-3）都不在坐标轴上，将线段AB平移，使点A，B平移后的对应点分别同时落在两条坐标轴上，则点A平移后的对应点的坐标为 .
17.将-3，-2，-1，0，1，2，3，4这8个数分别填入如图中“幻圆”的八个“圆圈”中，每个数只用一次，使大圆上、小圆上以及大圆的两条直径上的四个数的和都相等，其中-1，1，4已填入图中所示的位置.
（1）图中a与b表示的这两个数的和为 .
（2）图中c表示的数的所有可能值为 .
三、计算题：本大题共1小题，共8分。
18.解下列方程组：
（1）
（2）．
四、解答题：本题共10小题，共58分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题8分)
计算或解方程：
（1）计算：；
（2）解方程：.
20.(本小题4分)
一个正数x的两个平方根分别是m+1和1-2m,求m和x的值.
21.(本小题4分)
如图，直线AD，BC被直线CD所截，AC平分∠BAD，∠1+∠BCD=180°.
求证：∠BCA=∠BAC.
下面是小军的解答过程，请补充完整.
证明：∵直线AD与CD相交于点D，
∴∠1=∠ADC（①______）（填推理的依据）.
∵∠1+∠BCD=180°，
∴∠ADC+∠BCD=180°.
∴AD∥BC（②______）（填推理的依据）.
∴∠BCA=∠DAC（③______）（填推理的依据）.
∵AC平分∠BAD，
∴∠BAC=∠DAC（④______）（填推理的依据）.
∴∠BCA=∠BAC（等量代换）.
22.(本小题5分)
已知关于x,y的二元一次方程组的解x,y满足x+2y=-1，求k的值.
23.(本小题5分)
如图，点E在四边形ABCD内部，AE的延长线交CD于点F，∠AEB=∠1，∠C=∠2.
（1）求证：AB∥CD；
（2）若∠D=∠DAE+5°，∠C=35°，求∠D的度数.
24.(本小题6分)
利用方程（组）的知识解决问题：
如图，学校规划在一块长22m、宽18m的长方形场地ABCD上，分别设计与AD，AB平行的横向和纵向通道，其余部分铺上草皮.其中横向和纵向通道的宽度均相等，六块草坪的形状、大小完全相同，其中一块草坪的两边AM：AN=3：4.如果考虑到铺设草坪需要额外准备5%面积的草皮作为损耗更换用，那么所需准备草皮的总面积是多少？
25.(本小题6分)
在如图所示的正方形网格中，有三个格点A，B，C，平面直角坐标系xOy的坐标轴与网格线垂直，在此坐标系中，点A，C的坐标分别为（1，3）和（5，-2）.
（1）依题意画出平面直角坐标系xOy,并写出B点的坐标；
（2）同时平移A，B，C三点，使得点A的对应点为原点O，点B，C的对应点分别为点D，E，在图中画出点D，E，并写出一种符合题意的平移过程；
（3）顺次用线段连接点A-B-D-O-E-C-A，得到封闭图形W，画出图形W，并直接写出图形W的面积.
26.(本小题6分)
在平面直角坐标系xOy中，对于不在坐标轴上的点P（a,b），我们将关于x,y的二元一次方程ax+by=1称为点P的“特征方程”.例如点P（1，-3）的“特征方程”为x-3y=1.
（1）若点A（3，t）的“特征方程”的一个解是，求t的值；
（2）已知是点P（a,b）的“特征方程”的一个解，将点P向右平移m（m＞0）个单位长度，再向下平移n（n＞0）个单位长度后得到点Q，若是点Q的特征方程的一个解，求m+n的最小整数值，并写出此时m和n的值.
27.(本小题7分)
如图，已知AB∥CD，E为∠ADC内一点，使得AE⊥DE，AD平分∠BAE.
（1）如图1，若DE平分∠ADC，则=______，∠BAD的度数为______；
（2）如图2，当45°＜∠BAD＜90°时，DM平分∠CDE，点P为射线DM上的动点，点N与点P在直线AD异侧，且满足∠DAN=∠DAP，直线AN与直线DM交于点Q（不与点P重合）.画出图形，用等式表示∠APD和∠AQD之间的数量关系，并证明.
28.(本小题7分)
在平面直角坐标系xOy中，对于图形G和点P，给出如下定义：过点P作直线l1⊥x轴，直线l2⊥y轴，如果图形G上存在不重合的两个点M，N，使得点M到直线l1的距离与点N到直线l2的距离相等，就称图形G是点P的“关联图形”.
（1）如图1，已知点A（3，2），B（2，0），C（m,0），
①当m=-1时，判断：线段BC______（填“是”或“不是”）点A的“关联图形”；
②若线段BC是点A的“关联图形”，直接写出m的取值范围；
（2）如图2，已知点M（-5，3），N（-2，5），E（n,0），F（n,n），若在线段MN上存在点P，使得线段EF是点P的“关联图形”，直接写出n的取值范围.
1.【答案】B
2.【答案】A
3.【答案】D
4.【答案】A
5.【答案】B
6.【答案】C
7.【答案】B
8.【答案】D
9.【答案】±4
10.【答案】PC
垂线段最短

11.【答案】-2
12.【答案】小于-6
在不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数时，一定要改变不等号的方向

13.【答案】
14.【答案】2或5
15.【答案】-6
16.【答案】（0，4）或（-2，0）
17.【答案】-3
-2或3

18.【答案】解：（1）
由①得，y=x-3③，
把③代入②得，3x-8（x-3）=14，
解得，x=2，
把x=2代入③得，y=2-3=-1，
所以，方程组的解是；
（2）
①×3+②×2得：19x=114，
所以x=6．
代入①得：18+4y=16，
所以y=．
所以原方程组的解为.

19.【答案】 或
20.【答案】m=3，x=9．
21.【答案】对顶角相等 同旁内角互补，两直线平行 两直线平行，内错角相等 角平分线的定义
22.【答案】k=-．
23.【答案】∵∠AEB=∠1，
∴AF∥BC，
∴∠C+∠AFC=180°，
又∵∠C=∠2，
∴∠2+∠AFC=180°，
∴AB∥CD ∠ D=75°
24.【答案】302.4平方米．
25.【答案】，B（-2，1） 点D，E如上图所示，
平移方式为：向下平移3个单位长度，再向左平移1个单位长度（答案不唯一） 图形W如上图所示，图W的面积为24
26.【答案】t=-2 m+n的最小整数值为3，此时，n=
27.【答案】2;60° 当点Q在射线DM的反向延长线上时，∠APD-∠AQD=90°；当点Q在射线DM上时，∠APD与∠AQD的数量关系为：∠APD+∠AQD=90°．
分两种情况分析：当点Q在射线DM的反向延长线上时，
∠APD-∠AQD=90°，
分别过点E、P、Q作EF∥AB，PG∥AB，QH∥AB，
∵AD平分∠BAE，
∴∠BAD=∠DAE，
设∠BAD=∠DAE=α，
则∠BAE=2α，
，
∵DM平分∠CDE，
∴∠CDM=∠EDM，
设∠CDM=∠EDM=β，
则∠CDE=2β，
∵EF∥AB，AB∥DC，
∴EF∥AB∥CD，
∴∠AEF=180°-∠BAE=180°-2α，
∠DEF=∠CDE=2β，
∴∠AED=∠AEF+∠DEF=180°-2（α-β），
∵AE⊥DE，
∴∠AED=90°，
∴α-β=45°，
同理得PG∥AB∥CD，
∴∠BAP+∠APG=180°，
∠CDP=∠DPG=β．
同理：QB∥AB∥CD，
∴∠NDC=∠DQH=β．
设∠DAP=∠DAN=γ，
∴∠BAP=∠DAP+∠DAB=α+γ，
∠BAQ=∠DAB-∠DAN=α-γ，
∴∠APG=180°-α-γ，
∠AQE=α-γ，
∴∠APD=∠APG+∠DPG=180°-α+β-γ=135°-γ，
∠AQD=∠AQH-∠DQH=α-y-β=45°-γ，
∴∠APD-∠AQD=90°；当点Q在射线DM上时，
∠APD与∠AQD的数量关系为：∠APD+∠AQD=90°；点Q在点P左侧时，
如图：分别过点E，P，Q作EF∥AB，PG∥AB，QH∥AB，
，
同情况1：
设∠BAD=∠DAE=α，∠CDM=∠EDM=β，
得α-β=45°，
∵PG∥AB，AB∥CD，
∴PG∥AB∥CD，
∠BAP+∠APG=180°，
∠CDP+∠DPG=β，
同理：QH∥AB∥CD，
∴∠AQH=∠BAN，
∠CDO=∠DOH=β，
设∠DAP=∠DAN=γ，
∴∠BAP=∠DAP+∠DAB=α+γ，
∠BAN=∠DAN-∠DAB=γ-α，
∴∠APG=180°-α-γ，
∠AQH=γ-α，
∴∠APD=∠APG+∠DPG=180°-α+β-γ=135°-γ，
∠AQD=∠AOH+∠DQH=y-α+β=γ-45°，
∴∠APD+∠AQD=90°；当点Q在射线DM上时，且点Q在点P右侧时，
如图：
，
同理得：∠APD+∠AQD=90°
28.【答案】①是；②m≤1或m≥5．
n≤-7或-2≤n＜0或0＜n＜3
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