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2025-2026学年广东省河源市紫金县敬梓中学等校八年级（下）期中数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.如所示图形中，既是轴对称图形但又是中心对称图形的是（　　）
A. B.
C. D.
2.下列命题的逆命题是假命题的是（　　）
A. 全等三角形的对应角相等
B. 等腰三角形的两底角相等
C. 三个角都相等的三角形是等边三角形
D. 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等
3.如图①是小明设计的一款凳子，其侧面示意图如图②所示，点B，D，C，E在同一条直线上，且BD=EC，AC=FD，AC∥FD.若∠A=30°，∠ACE=75°，则∠E的度数为（　　）
A. 30° B. 45° C. 55° D. 65°
4.如图，已知∠AOB.小明按如下步骤作图：
（1）以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点D，交OB于点E.
（2）分别以D，E为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C，画射线OC.
根据上述作图过程，下列结论错误的是（　　）
A. OD=OE B. 线段DE垂直平分线段OC
C. 点D和点E关于射线OC对称 D. ∠AOB=2∠AOC
5.如图，△AEB≌△DFC，AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分别为点E，F，∠B=30°，则∠D等于（　　）
A. 60°
B. 15°
C. 45°
D. 30°
6.关于x的不等式组，其解集在数轴上表示正确的是（　　）
A. B.
C. D.
7.如图，在△ABC中，∠A=60°，△ABC的两条角平分线BE和CD相交于点P，连接AP，下列结论：①∠BPC=120°；②AP平分∠BAC；③点P到边AB，AC，BC的距离相等；④BD+CE=BC.错误的结论个数是（　　）
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
8.如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，AE平分∠BAC交BC于点E，若∠DAE=12°，∠B=45°，则∠C的度数为（　　）
A. 66° B. 67° C. 68° D. 69°
9.如图，AE是△ABC的角平分线，AD⊥BC于点D，若∠BAC=120°，∠C=40°，则∠DAE的度数是（　　）
A. 20° B. 25° C. 10° D. 15°
10.已知一次函数y1=kx与y2=ax+b的图象如图所示，下列结论错误的是（　　）
A. abk＜0
B. 关于x的方程kx=ax+b的解是x=2
C. 当x＞2时，y1＞y2
D. 若（3，m）和（4，n）在y2=ax+b的图象上，则m＜n
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.若a＞b,则-4a -4b.
12.在平面直角坐标系中，点A坐标为（-5，-3），则点A关于原点中心对称的坐标是 .
13.一次函数y1=kx+b与y2=x+a的图象如图所示，当x＞3时，y1______y2．（填“＞”或“＜”）
14.如图，在△ABC中，∠B=72°，∠C=36°，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交AC的两侧于点M，N，连接MN，交BC于点D，连接AD，则∠BAD的度数为 .
15.如图，△ABC是等边三角形，BD平分∠ABC，点E在BC的延长线上，且CE=2，∠E=30°，则AB的长为 .
三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题7分)
解不等式组，并在数轴上表示它的解集.
17.(本小题7分)
如图，在平面直角坐标系中，A（3，4），B（4，2），C（1，1）.
（1）画出△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1；
（2）画出△A1B1C1沿y轴向下平移4个单位长度后得到的△A2B2C2.
18.(本小题7分)
围棋起源于中国，古代称为“弈”，是棋类鼻祖，围棋距今已有4000多年的历史，中国象棋也是中华民族的文化瑰宝，它源远流长，趣味浓厚，基本规则简明易懂.某学校为活跃学生课余生活，欲购买一批象棋和围棋，已知购买3副象棋和1副围棋共需125元，购买2副象棋和3副围棋共需165元.
（1）求每副象棋和围棋的价格；
（2）若学校准备购买象棋和围棋总共100副，且总费用不超过3200元，则最多能购买多少副围棋？
19.(本小题9分)
如图，在直角△ABC中，∠C=90°.
（1）尺规作图：作∠B的平分线，交AC于点D，在AB上截取BE=BC，连接DE（只保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在（1）的条件下，若∠A=30°，，求AC的长.
20.(本小题9分)
学校开展大课间活，需要购买A、B两种跳绳.已知购进10根A跳绳和5根B种跳绳共需175元；购进15根A种跳绳和10根B种跳绳共需300元.
（1）购进一根A种跳绳和一根B种跳绳各需多少元？
（2）若班级计划购买A、B两种跳绳其45根，所花费用不少于548元且不多于560元，那么哪种购买方案需要的总费用最少？最少费用是多少元？
21.(本小题9分)
如图，在等边三角形ABC中，AD⊥BC于点D，以AD为一边向右作等边三角形ADE，DE与AC交于点F.
（1）试判断DF与EF的数量关系，并给出证明.
（2）若CF的长为4cm,试求等边三角形ABC的边长.
22.(本小题13分)
综合与实践
【模型感知】
手拉手模型是初中数学里三角形全等知识点考查的重要模型.两个有公共顶点且顶角相等的等腰三角形组成的图形叫手拉手模型.
（1）如图1，已知△ABC和△ADE都是等边三角形，连接BE，CD.求证：BE=CD；
【模型应用】
（2）如图2，已知△ABC和△ADE都是等边三角形，将△ADE绕点A旋转一定的角度.当点D在CB的延长线上时，求证：AB+BD=BE；
【类比探究】
（3）如图3，已知△ABC和△ADE都是等边三角形.当点D在射线BC上时，过点E作EF⊥AB于点F.直接写出线段AB，BF与BD之间存在的数量关系为______.
23.(本小题14分)
（1）如图1，△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB，点D在CA上，点E在CB上，且CD=CE，则易证得AD与BE的数量关系是______；
（2）如图2，若把△DCE绕点C顺时针旋转一定角度，连接AD、BE，判断AD与BE是否相等？若相等请证明，若不相等，说明理由；
（3）如图3，若把△ACB和△CDE都改为一般等腰三角形，且∠ACB=∠DCE，则AD=BE还成立吗？若成立，请给出证明过程；若不成立，请说明理由.
1.【答案】C
2.【答案】A
3.【答案】B
4.【答案】B
5.【答案】A
6.【答案】A
7.【答案】A
8.【答案】D
9.【答案】C
10.【答案】D
11.【答案】＜
12.【答案】（5，3）
13.【答案】＜
14.【答案】36°
15.【答案】4
16.【答案】-2＜x≤5，数轴表示见解析．
17.【答案】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求．
（2）如图，△A2B2C2即为所求．

18.【答案】解：（1）设每副象棋的价格为x元，每副围棋的价格为y元．
依题意得，
解得．
答：每副象棋的价格为30元，每副围棋的价格为35元．
（2）设购买m副围棋，则购买（100-m）副象棋．
依题意得：30（100-m）+35m≤3200，
解得m≤40．
答：最多能购买40副围棋．
19.【答案】作图如图所示：
2
20.【答案】解：（1）设购进一根A种跳绳需x元，购进一根B种跳绳需y元．
根据题意，得，
解得，
答：购进一根A种跳绳需10元，购进一根B种跳绳需15元．
（2）∵该班级计划购买A，B两种跳绳共45根，且购买A种跳绳m根，
∴购买B种跳绳（45-m）根．
根据题意，得，
解得23≤m≤25.4．
又∵m为整数，
∴m可以取23，24，25，
∴共有3种购买方案．
方案1：购买23根A种跳绳，22根B种跳绳；
方案2：购买24根A种跳绳，21根B种跳绳；
方案3：购买25根A种跳绳，20根B种跳绳．
设购买跳绳所需总费用为w元，则w=10m+15（45-m）=-5m+675．
∵-5＜0，
∴w随m的增大而减小，
∴当m=25时，w取得最小值，最小值为-5×25+675=550（元）．
答：购买25根A种跳绳，20根B种跳绳总费用最少，最少费用是550元．
21.【答案】DF=EF，证明如下：
∵△ABC和△ADE均是等边三角形，
∴∠BAC=∠DAE=60°，AD=AE，
∵AD⊥BC，
∴BD=DC，，
∴∠CAE=60°-30°=30°，
∴∠DAC=∠CAE，即AF平分∠DAE，
又∵AD=AE，
∴DF=EF；
16 cm
22.【答案】AB=BD+2BF
23.【答案】AD=BE AD=BE，如图2，
∵∠ACD=∠ACB-∠DCB，∠ACB=∠DCE=90°，
∴∠ACD=∠DCE-∠DCB
∵∠BCE=∠DCE-∠DCB，
∴∠ACD=∠BCE，
在△ACD 和△BCE中，
，
∴△ACD≌△BCE．
∴AD=BE AD=BE还成立．
如图3，
∵∠ACD=∠ACB-∠DCB，∠ACB=∠DCE，
∴∠ACD=∠DCE-∠DCB
∵∠BCE=∠DCE-∠DCB，
∴∠ACD=∠BCE
在△ACD 和△BCE中，
，
∴△ACD≌△BCE．
∴AD=BE
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