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2025-2026学年山东省济南市天桥区八年级（下）期中数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下面是4个AI“神器”的图标，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A. B.
C. D.
2.下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（　　）
A. m（a-2）=am-2m B. 4x2-1=（2x+1）（2x-1）
C. x2+3x-5=x（x+3）-5 D.
3.下列分式是最简分式的是（　　）
A. B. C. D.
4.如果a＜b,那么下列不等式中一定成立的是（　　）
A. a+5＞b+5 B. C. -3a＞-3b D. a-b＞0
5.将点P（-2，3）向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到的点的坐标为（　　）
A. （1，1） B. （-5，1） C. （1，5） D. （-5，5）
6.如图，将Rt△ABC绕点A逆时针旋转一定角度，得到△ADE，点D恰好在BC上.若∠CAE=54°，则∠ADE的度数为（　　）
A. 45°
B. 54°
C. 60°
D. 63°
7.某新能源汽车生产车间，现在平均每天比原计划多组装30辆新能源汽车，现在组装900辆新能源汽车所需时间与原计划组装600辆新能源汽车所需时间相同.设现在平均每天组装x辆新能源汽车，根据题意，下面所列方程正确的是（　　）
A. B. C. D.
8.如图，直线y=ax+b和直线y=mx+n交于点（1，2），则关于x的不等式（a-m）x＞n-b的解集为（　　）
A. x＞2
B. x＜2
C. x＞1
D. x＜1
9.关于x的分式方程+=3的解为正实数，则实数m的取值范围是（　　）
A. m＜-6且m≠2 B. m＞6且m≠2 C. m＜6且m≠-2 D. m＜6且m≠2
10.如图，在平面直角坐标系中，将正方形OABC绕点O逆时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1.依此方式，将正方形OABC绕点O连续旋转2026次得到正方形OA2026B2026C2026，如果点A的坐标为（1，0），那么点B2026的坐标为（　　）
A. （1，1）
B.
C.
D. （-1，1）
二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分。
11.因式分解：x2+5x= .
12.若分式的值为0，则x的值为 .
13.若关于x的不等式（m-1）x＞m-1的解集为x＜1，则m的取值范围是 .
14.如图，两个大小一样的直角三角形重叠在一起，将其中一个三角形沿着BC的方向平移13cm到达三角形DEF的位置，若AB=5cm,BC=10cm,则阴影部分的面积为 cm2.
15.如图，△ABC是边长为6的等边三角形，点E为高BD上的动点.连接CE，将CE绕点C顺时针旋转60°得到CF.连接AF，EF，DF，则△CDF周长的最小值是 .
三、解答题：本题共10小题，共90分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题8分)
因式分解：
（1）3ax2+6axy+3ay2；
（2）x2（x-y）+y2（y-x）.
17.(本小题6分)
计算：
（1）；
（2）.
18.(本小题6分)
解方程：.
19.(本小题6分)
解不等式组，并写出其整数解.
20.(本小题8分)
先化简，再求值：，其中x=-1.
21.(本小题10分)
如图，在平面直角坐标系中，正方形网格的边长为1，△ABC的三个顶点分别是A（1，3），B（4，4），C（2，1）.
（1）把△ABC向左平移5个单位后得到对应的△A1B1C1，请画出平移后的△A1B1C1；
（2）把△ABC绕原点O旋转180°后得到对应的△A2B2C2，请画出旋转后的△A2B2C2；
（3）观察图形可知，△A1B1C1与△A2B2C2关于点（______，______）中心对称.
22.(本小题12分)
根据以下素材，探究完成任务.
背景 2026年3月14日是第七个国际数学日，为了传扬数学文化，某校开展了相关竞赛活动，林老师提前在线上平台购买了玩偶与徽章等文创品作为奖品.
素材一 线上平台无促销活动时，若买10个玩偶和20个徽章共需390元；若买15个玩偶和15个徽章共需405元.
素材二 2025年线上平台促销活动信息如下：
方式一：购买48元会员卡后所有商品打8折；
方式二：非会员所有商品打9折.
解决问题
任务一 线上平台在无促销活动时，求玩偶和徽章的销售单价各是多少元？
任务二 林老师计划在促销期间购买玩偶和徽章共35个，其中购买玩偶m个（0＜m＜35）.
若林老师按方式一购买，共需______元；
若林老师按方式二购买，共需______元.
（均用含m的代数式表示）
任务三 请你帮林老师算一算，在任务二的条件下，购买玩偶的数量在什么范围内时，选择方式一更划算？
23.(本小题10分)
宋代是茶文化发展的第二个高峰，宋代的饮茶主要以点茶为主，煎茶为辅，在点茶的基础上升华为斗茶、分茶和茶百戏.某网店销售两种点茶器具套装，已知甲种点茶器具套装的单价比乙种点茶器具套装的单价少30元，花2220元购进甲种点茶器具套装的数量是花1780元购进乙种点茶器具套装数量的1.5倍.
（1）求甲、乙两种点茶器具套装的单价；
（2）某学校社团开展茶文化学习活动，打算从该网店购进甲、乙两种点茶器具共30套，且经费预算不超过5000元，则学校最多可以购进乙种点茶器具套装多少套？
24.(本小题12分)
【定义新知】
给定两个不等式P和Q，若不等式P的任意一个解，都是不等式Q的一个解，则称不等式P为不等式Q的“子集”.
例如：不等式P：x＞4是Q：x＞2的子集.
同理，给定两个不等式组M和N，若不等式组M的任意一个解，都是不等式组N的一个解，则称不等式组M为不等式组N的“子集”.
例如：不等式组M：是不等式组N：的子集.
【新知应用】
（1）请写出不等式x＜2的一个子集______；
（2）若不等式组A：，不等式组B：，则其中不等式组______是不等式组M：的“子集”（填：A或B）；
（3）若关于x的不等式组是不等式组的“子集”，则a的取值范围是______；
（4）若a,b,c,d为互不相等的整数，a＜b,c＜d,下列三个不等式组D：a≤x≤b,E：c≤x≤d,F：4＜x＜9，满足：D是E的“子集”且E是F的“子集”，则a（b+c+d）的值为______；
（5）已知不等式组G：有解，且不等式组H：1＜x≤3是不等式组G的“子集”，且m,n为正整数，则的最大值为______.
25.(本小题12分)
阅读下面材料，并解决问题：
（1）如图①等边△ABC内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别为3，4，5，求∠APB的度数．
为了解决本题，我们可以将△ABP绕顶点A旋转到△ACP′处，此时△ACP′≌△ABP，这样就可以利用旋转变换，将三条线段PA、PB、PC转化到一个三角形中，从而求出∠APB=______；
（2）基本运用
请你利用第（1）题的解答思想方法，解答下面问题：
如图②，△ABC中，∠CAB=90°，AB=AC，E、F为BC上的点且∠EAF=45°，求证：EF2=BE2+FC2；
（3）能力提升
如图③，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=1，∠ABC=30°，点O为Rt△ABC内一点，连接AO，BO，CO，且∠AOC=∠COB=∠BOA=120°，求OA+OB+OC的值．
1.【答案】B
2.【答案】B
3.【答案】B
4.【答案】C
5.【答案】A
6.【答案】D
7.【答案】B
8.【答案】C
9.【答案】D
10.【答案】D
11.【答案】x（x+5）
12.【答案】-2
13.【答案】m＜1
14.【答案】40
15.【答案】3+3
16.【答案】3a（x+y）2 （x+y）（x-y）2
17.【答案】2
18.【答案】．
19.【答案】4＜x≤6，整数解为5，6．
20.【答案】，．
21.【答案】△A1B1C1即为所求； △A2B2C2即为所求 -;0
22.【答案】（384+2.4m） （378+2.7m）
23.【答案】解：（1）设甲种点茶器具套装的单价是x元，则乙种点茶器具套装的单价是（x+30）元，
根据题意得：=×1.5，
解得：x=148，
经检验，x=148是所列方程的解，且符合题意，
∴x+30=178，
答：甲种点茶器具套装的单价是148元，乙种点茶器具套装的单价是178元；
（2）设学校购进乙种点茶器具套装m套，则购进甲种点茶器具套装（30-m）套，
根据题意得：148（30-m）+178m≤5000，
解得：m≤18，
∴m的最大值为18，
答：学校最多可以购进乙种点茶器具套装18套．
24.【答案】x＜1（答案不唯一） A a≥2 120
25.【答案】解：（1）∵△ACP′≌△ABP，
∴AP′=AP=3，CP′=BP=4，∠AP′C=∠APB，
由题意知旋转角∠PA P′=60°，
∴△AP P′为等边三角形，
PP′=AP=3，∠AP′P=60°，
易证△PP′C为直角三角形，且∠PP′C=90°，
∴∠APB=∠AP′C=∠AP′P+∠PP′C=60°+90°=150°；
故答案为：150°；
(2)如图2，把△ABE绕点A逆时针旋转90°得到△ACE′，
由旋转的性质得，AE′=AE，CE′=BE，∠CAE′=∠BAE，∠ACE′=∠B，∠EAE′=90°，
∵∠EAF=45°，
∴∠E′AF=∠CAE′+∠CAF=∠BAE+∠CAF=∠BAC-∠EAF=90°-45°=45°，
∴∠EAF=∠E′AF，
在△EAF和△E′AF中，
∴△EAF≌△E′AF（SAS），
∴E′F=EF，
∵∠CAB=90°，AB=AC，
∴∠B=∠ACB=45°，
∴∠E′CF=45°+45°=90°，
由勾股定理得，E′F2=CE′2+FC2，
即EF2=BE2+FC2．
（3）如图3，将△AOB绕点B顺时针旋转60°至△A′O′B处，连接OO′，
∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=1，∠ABC=30°，
∴AB=2，
∴BC=，
∵△AOB绕点B顺时针方向旋转60°，
∴△A′O′B如图所示；
∠A′BC=∠ABC+60°=30°+60°=90°，
∵△AOB绕点B顺时针方向旋转60°，得到△A′O′B，
∴A′B=AB=2，BO=BO′，A′O′=AO，
∴△BOO′是等边三角形，
∴BO=OO′，∠BOO′=∠BO′O=60°，
∵∠AOC=∠COB=∠BOA=120°，
∴∠COB+∠BOO′=∠BO′A′+∠BO′O=120°+60°=180°，
∴C、O、O′、A'四点共线，
在Rt△A′BC中，A′C=，
∴OA+OB+OC=A′O′+OO′+OC=A′C=．
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