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2025-2026学年福建省泉州第五中学八年级（下）期中数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.要使分式有意义，x需满足的条件是（　　）
A. x=1 B. x≠1 C. x＞1 D. x＜1
2.华为Mate70搭载的是华为自主研发的麒麟9100芯片，该款芯片采用等效7纳米工艺，1纳米=0.000000001米，0.000000007用科学记数法表示为（　　）
A. 0.7×108 B. 7×109 C. 0.7×10-8 D. 7×10-9
3.下列方程是一元二次方程的是（　　）
A. x-3=0 B. x2=4 C. D. 2x+5=8
4.如图，四边形ABCD是正方形，△CBE是等边三角形，∠CDE的度数为（　　）
A. 75°
B. 60°
C. 45°
D. 30°
5.已知m、n是关于x的一元二次方程x2+3x+c=0的两个实数根，若m+n=3mn,则c的值是（　　）
A. -1 B. -2 C. 2 D. 3
6.如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若AB=2，∠AOD=120°，则BC 的长度为（　　）
A. 4 B. 3 C. D.
7.若三角形两边长分别为5和4，第三边的长是方程x2-7x=9（x-7）的根，则此三角形的周长为（　　）
A. 16 B. 18 C. 15或17 D. 16或18
8.如图，在 ABCD中，BE⊥AB交对角线AC于点E.若∠1=35°，则∠2的度数为（　　）
A. 105° B. 115° C. 125° D. 135°
9.如图，在菱形ABCD中，P是对角线AC上一动点，过点P作PE⊥BC于点E，PF⊥AB于点F.若菱形ABCD的周长为20，面积为24，则PE+PF的值为（　　）
A. 4
B.
C. 6
D.
10.若关于x的一元一次不等式组有且仅有3个整数解，且关于x的分式方程+=1有正数解，则所有满足条件的整数a的和为（　　）
A. 12 B. 13 C. 14 D. 15
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11.若xm+1+6x-7=0是关于x的一元二次方程，则m的值是 .
12.若平行四边形的周长为28，相邻两边的差为4，则较短边的长为 .
13.如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且AC+BD=32，△AOB的周长为27，则CD= .
14.若关于x的分式方程有增根，则k= .
15.若a是方程x2+x-1=0的根，则代数式的值是 .
16.如图，菱形ABCD中，∠DAB=60°，点E在边BC上，点F在边CD上，且BE=EC=2，若∠DFA=2∠EAB，则CF= .
三、计算题：本大题共2小题，共16分。
17.计算：|2-1|+--.
18.解方程：x2+4x+3=0．
四、解答题：本题共7小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题8分)
先化简，再求值：，其中x=3.
20.(本小题8分)
如图，点E，F分别是 ABCD的边AB，CD上的一点，连接DE，BF，若∠1=∠2，求证：四边形是DEBF是平行四边形．
21.(本小题8分)
已知关于x的一元二次方程x2-4x+m=0.
（1）若方程有两个实数根，求m的取值范围；
（2）若方程的两个实数根为x1，x2，且，求m的值.
22.(本小题10分)
为了缓解茶叶采摘中的劳动力短缺及降低生产成本，茶叶园引进智能采摘机器人.已知一台智能采摘机器人平均每天采摘量是一个工人平均每天采摘量的5倍，用一台智能采摘机器人采摘200千克茶叶比4个工人采摘这些茶叶要少用1天.设一个工人平均每天可采摘x千克茶叶.
（1）用含x的式子填空：一台智能采摘机器人平均每天可采摘______千克茶叶；一台智能采摘机器人采摘200千克茶叶需要______天；
（2）求一台智能采摘机器人平均每天可采摘茶叶多少千克.
23.(本小题10分)
我们知道可以用配方法、因式分解法、公式法等求解一元二次方程.在数学史上，我国及其他国家的数学家还研究过一元二次方程的几何解法.
例：用几何解法求方程x2+2x-3=0即x（x+2）=3的正根.
方法（Ⅰ）：三国时期数学家赵爽用4个以x和x+2为邻边的矩形，用“拼”的方式构造边长为x+x+2的大正方形（如图1）；
根据图1的构造，用不同的方式表示大正方形面积，可以得到新的方程：（x+x+2）2=3×4+22，解得正根______；
方法（Ⅱ）：阿拉伯数学家以x和x+2为邻边构造一个矩形（如图2），利用“割”、“拼”、“补”的方式构造边长为x+1的正方形（如图3、4）；
（1）根据图4的构造，用不同的方式表示大正方形面积，可以得到新的方程：______，解得正根______；
（2）实际上，对关于x的方程x（x+m）=n,可以用方法（Ⅰ）、（Ⅱ）求出方程的正根.若图1是由四个面积为5的相同矩形构成，中间围成的小正方形面积为16，那么，此方程中的n=______，求得方程的正根为______；
（3）类比图1、图4，请选择一种方法求方程2x2+5x=3的正根.
①在图5的正方形中设计构图，并在图上标出相应的线段长度；
②根据①中的构图，写出新的方程，并解出其正根.
24.(本小题12分)
我们定义：如果两个分式A与B的差为常数，且这个常数为正数，则称A是B的“雅中式”，这个常数称为A关于B的“雅中值”.如分式，，，则A是B的“雅中式”，A关于B的“雅中值”为2.
（1）已知分式，，判断C是否为D的“雅中式”，若不是，请说明理由；若是，请证明并求出C关于D的“雅中值”；
（2）已知分式，，P是Q的“雅中式”，且P关于Q的“雅中值”是2，x为整数，且“雅中式”P的值也为整数，求E所代表的代数式及所有符合条件的x的值之和；
（3）已知分式，（a,b,c为整数），M是N的“雅中式”，且M关于N的“雅中值”是1，求a-b+c的值.
25.(本小题14分)
已知，如图点M为△ABC的边BC中点，点D为直线AM上一个动点（不与点A重合），DE∥AB，CE∥AM，连接AE.
（1）如图1，当点D与M重合时，求证：四边形ABDE是平行四边形；
（2）如图2，当∠BDE=90°时，求证：四边形ABDE是矩形；
（3）如图3，延长BD交边AC于点H，过点D作DF⊥AE于点F，若BH⊥AC，且，求证：四边形AFDH是正方形.
1.【答案】B
2.【答案】D
3.【答案】B
4.【答案】A
5.【答案】A
6.【答案】C
7.【答案】A
8.【答案】C
9.【答案】D
10.【答案】B
11.【答案】1
12.【答案】5
13.【答案】11
14.【答案】2
15.【答案】2026
16.【答案】
17.【答案】解：原式==．
18.【答案】解：分解因式得：（x+1）（x+3）=0，
可得x+1=0或x+3=0，
解得：x1=-1，x2=-3．
19.【答案】；2．
20.【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠EDC=∠1，
∵∠1=∠2，
∴∠EDC=∠2，
∴DE∥BF，
∵DF∥EB，
∴四边形DEBF是平行四边形．
21.【答案】m≤4；
m=-5．
22.【答案】5x; 50千克
23.【答案】x=1;（x+1）2=3+1 x=1;5 ①
②（2x+）2=4×+（）2，
24.【答案】（1）C是D的“雅中式”，C关于D的“雅中值”为1；理由：
∵，，
∴，
∴C是D的“雅中式”，C关于D的“雅中值”为1 （2）E=2+2x，5 （3）7或1
25.【答案】∵DE∥AB，
∴∠EDC=∠ABM，
∵CE∥AM，
∴∠ECD=∠ADB，
∵点M为BC中点，且D与M重合，
∴BD=DC，
在△ABD和△EDC中，
，
∴△ABD≌△EDC（ASA），
∴AB=ED，
∵AB∥ED，
∴四边形ABDE是平行四边形 如图2，过点M作MG∥DE交CE延长线于点G，
∵CE∥AM，
∴四边形DMGE是平行四边形，
∴ED=GM，
∵ED∥GM，AB∥ED，
∴AB∥MG，
由（1）同理可证：△ABM≌△GMC，
∴AB=GM，
∴AB=DE，
又∵AB∥ED，
∴四边形ABDE是平行四边形，
∵∠BDE=90°，
∴四边形ABDE是矩形 如图3，取线段CH的中点I，连接MI，过点M作MG∥DE交CE于点G，
∵CE∥AM，
∴四边形DMGE是平行四边形，
∴ED=GM，
∵ED∥GM，AB∥ED，
∴AB∥MG，
由（1）同理可证：△ABM≌△GMC，
∴AB=GM，
∴AB=DE，
又∵AB∥ED，
∴四边形ABDE是平行四边形，
∴AE∥BD，即EF∥BH，
∵DF⊥AE，即DF⊥EF，
∴DF⊥BH，∠F=90°，
∴∠FDH=90°，
又∵BH⊥AC，
∴∠BHA=90°，
∴四边形AFDH是矩形；∵BM=MC，
∴MI是△BHC的中位线，
∴MI∥BH，，
∵BH⊥AC，且，
∴，MI⊥AC，
∴∠AIM=90°，
在Rt△AMI中，由勾股定理得：AM2=MI2+AI2，
∴，
∴，
∴AI=MI，
∴△AMI是等腰直角三角形，
∴∠MAI=45°，
∴△AHD是等腰直角三角形，
∴AH=DH，
∴四边形AFDH是正方形
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