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2025-2026学年山东省济南市章丘区八年级（下）期中数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A. B.
C. D.
2.下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（　　）
A. a（x-y）=ax-ay B. x2+2x+1=x（x+2）+1
C. （x+1）（x+3）=x2+4x+3 D. x3-x=x（x+1）（x-1）
3.若a＞b,下列不等式一定成立的是（　　）
A. a-3＜b-3 B. -2a＞-2b C. 3a＞3b D.
4.若分式的值为0，则x的值为（　　）
A. 0 B. 1 C. -1 D. ±1
5.如图，在 ABCD中，对角线AC，BD交于点O，下列结论一定成立的是（　　）
A. AC⊥BD
B. AC=BD
C. OB=OD
D. ∠ABC=∠BAC
6.化简的结果是（　　）
A. B. -2 C. D. 2
7.若关于x的分式方程的解为正数，则m的取值范围是（　　）
A. m＞10，且m≠13 B. m≥10，且m≠13 C. m＜10，且m≠7 D. m≤10，且m≠7
8.如图，△ABC中，∠A=36°，AB=AC，将△ABC绕着点B逆时针旋转n°得到△A′C′B，点A，C的对应点分别为A′，C′，点C′恰好落在边AC上，则下列结论不正确的是（　　）
A. n=72
B. BC′平分∠ABC
C. BC′=BC
D. A′B∥AC
9.如图，在△ABC中，AB=5，AC=3，S△ABC=7.2.按如下步骤作图：
①以点A为圆心，以适当长为半径画弧，交AB于点G，交AC于点H；再分别以点G，H为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧在∠BAC的内部相交于点E，作射线AE交BC边于点D；
②分别以点A，D为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，N；作直线MN交AD于点F.
则△BDF的面积为（　　）
A. 2.25 B. 2 C. 1.8 D. 1.35
10.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=，∠B=30°，AC= ，P是BC边上一动点，连接AP，把线段AP绕点A逆时针旋转60°到线段AQ，连接CQ，则线段CQ的最小值为（　　）
A. 1 B. 2 C. 3 D.
二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分。
11.若一个正多边形的内角和等于外角和的两倍，则该正多边形的边数是 .
12.如图，已知A，B两点的坐标分别为A（-3，1），B（-1，3），将线段AB平移得到线段CD.若点A的对应点是C（1，2），则点B的对应点D的坐标是 .
13.如图，已知等腰梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=60°，AD=2，BC=8，则此等腰梯形的周长为 .
14.如图，函数y=2x和y=ax+4的图象相交于点A（m,3），则不等式2x＜ax+4的解集为 .
15.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，将△ABC绕点A顺时针旋转得到△AB′C′，点B，C的对应点分别为B′，C′，B′C′的延长线与边BC相交于点D，连接CC′.若AC=4，CD=3，则线段CC′的长为 .
三、解答题：本题共10小题，共90分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题7分)
因式分解：
（1）ax2-2axy+ay2；
（2）9m2（x-y）+n2（y-x）.
17.(本小题7分)
解不等式组：，并求它的所有整数解.
18.(本小题7分)
如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点O的直线EF分别交AD、CB的延长线于点E，F.求证：OE=OF.
19.(本小题8分)
先化简，再求值：，其中-3＜a＜2且a为整数，请你选一个合适的整数a并求值.
20.(本小题8分)
解分式方程：（1）；
（2）.
21.(本小题9分)
如图，在平面直角坐标系中，已知点A（-2，2），B（-1，4），C（-4，5），请解答下列问题：
（1）将△ABC右平移5个单位，再向下平移5个单位，得到△A1B1C1，画出平移后的△A1B1C1并写出三个顶点的坐标；
（2）将△ABC绕点O按顺时针方向旋转90°得到△A2B2C2，作出△A2B2C2；
（3）若将△A1B1C1绕某一点旋转可得到△A2B2C2，直接写出旋转中心的坐标.
22.(本小题10分)
综合与实践
背景 2025年春节，随着电影《哪吒2》的爆火，某超市计划购进“哪吒”和“敖丙”两款手办进行销售.
素材一 某超市计划购进这两种手办共400个，经了解每个“哪吒”手办的进价比每个“敖丙”手办的进价多10元.
素材二 用810元购进“哪吒”手办的个数与用630元购进“敖丙”手办的个数相同.
素材三 其中“哪吒”手办的个数不低于“敖丙”手办个数的一半.
素材四 “哪吒”手办、“敖丙”手办的售价分别为60元/个、55元/个.
问题一 单个“哪吒”手办和单个“敖丙”手办的进价分别是多少元？
问题二 超市应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少元？
23.(本小题10分)
【阅读思考】
材料1：整式乘法与因式分解是相反的变形，如（x+p）（x+q）=x2+（p+q）x+pq是整式乘法，反过来为x2+（p+q）x+pq=（x+p）（x+q），恰好是因式分解.基于上述原理，将式子x2-x-6分解因式如下：
一次项-x=x （-3）+x 2，
①分解二次项和常数项；
②交叉相乘再相加验证一次项x 2+x （-3）=-x；
③横向写出两因式：x2-x-6=（x+2）（x-3）.
材料2：分解因式：（x+y）2+2（x+y）+1
解：将“x+y”看成一个整体，令x+y=K，则原式=K2+2K+1=（K+1）2，再将“K”还原，
得：原式=（x+y+1）2.
请仔细阅读材料，回答下列问题：
【迁移运用】
（1）利用上述的十字相乘法，将下列多项式分解因式：
x2-9x+20=______.
（2）结合材料1和材料2，完成下面小题：
①分解因式：（x-y）2+4（x-y）+3；
②分解因式：m（m+2）（m2+2m-2）-3.
24.(本小题12分)
在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC.
【问题发现】
（1）如图1，点D是BC边上一动点（点D不与点B、C重合），连接AD，将线段AD绕点A按顺时针方向旋转90°得到线段AE，连接DE、BE、则线段CD与BE的数量关系：______，位置关系：______.
【探究证明】
（2）如图2，点D是射线BC上一动点，连接AD，将线段AD绕点A按顺时针方向旋转90°得到线段AE，连接DE、BE.请判断线段CD与BE的数量关系与位置关系，并说明理由.
【拓展延伸】
（3）如图3，点D是△ABC外一点，连接AD、BD、CD，当AD=4，且∠BDC=90°时，请求出四边形ABDC的面积.
25.(本小题12分)
如图，直线l1：y=x+a与x轴交于点A（-3，0），与y轴交于点B，点C在x轴上点A的右边，AC=6，经过点C的直线l2与正比例函数的图象平行，直线l1与直线l2相交于点D.
（1）求直线l2解析式和点D坐标；
（2）点P为射线DA上一动点，y轴上有一动点M，连接PC，PM，DM，当S△PDC=9时，请求出点P的坐标和DM+PM的最小值；
（3）若点N是x轴上一动点，请直接写出使△ADN是等腰三角形的点N的坐标.
1.【答案】B
2.【答案】D
3.【答案】C
4.【答案】B
5.【答案】C
6.【答案】D
7.【答案】C
8.【答案】A
9.【答案】A
10.【答案】D
11.【答案】6
12.【答案】（3，4）
13.【答案】22
14.【答案】x＜1.5
15.【答案】4.8
16.【答案】a（x-y）2 （x-y）（3m+n）（3m-n）
17.【答案】-2≤x＜3，不等式组的整数解为-2、-1、0、1、2．
18.【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴得AO=CO，AD∥BC，
∴∠EAO=∠FCO，
在△AOE和△COF中，
，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴OE=OF．
19.【答案】a-2，当a=-1时，原式=-3；当a=0时，原式=-2．（选一个即可）．
20.【答案】x=2 x=2.5
21.【答案】，A1（3，-3），B1（4，-1），C1（1，0） （5，0）
22.【答案】问题一：单个“哪吒”手办的进价为45元，单个“敖丙”手办的进价为35元；
问题二：购进“哪吒”手办134个，“敖丙”手办266个时，可获得最大利润，最大利润为7330元．
23.【答案】（x-4）（x-5） ①（x-y+1）（x-y+3）；②（m+1）2（m+3）（m-1）
24.【答案】CD=BE，CD⊥BE；
CD=BE，CD⊥BE，理由见解答；
8．
25.【答案】直线l2的解析式为，D（-1，2）；
P（-4，-1），；
或或（1，0）或（-1，0）
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