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山东泰安市泰山区2025-2026学年第二学期期中学情检测七年级数学样题
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列语句中不是命题的是（）
A. 垂线段最短 B. 对顶角相等 C. 画直线 D. 直角都相等
2.下列成语描述的事件中，发生的可能性最小的是（）
A. 瓜熟蒂落 B. 大海捞针 C. 水中捞月 D. 百发百中
3.如图是小华过直线外一点画这条直线的平行线的方法，其中判定直线的理由是（ ）
A. 两直线平行，同位角相等 B. 两直线平行，内错角相等
C. 同位角相等，两直线平行 D. 内错角相等，两直线平行
4.下列各组数值中，是方程的解的是（ ）
A. B. C. D.
5.在解关于的二元一次方程组时，如果可直接消去未知数，那么和满足的条件是（ ）
A. B. C. D.
6.在一个不透明的箱子里装有白球、红球和黄球共30个，这些球除颜色外完全相同．若每次从箱子中摸出一个球，记录下颜色后再放回，经过多次重复试验，发现摸到白球的频率稳定在0.7左右，则箱子中白球的个数约是（）
A. 15 B. 18 C. 21 D. 23
7.如果是方程组的解，则一次函数的图象不经过（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
8.下列命题：①不相交的两条直线平行；②内错角相等；③平面内垂直于同一条直线的两直线互相垂直；④平行于同一条直线的两条直线平行．其中真命题有（）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
9.将一直角三角尺与纸条按如图方式放置，下列条件：；；；．其中能说明纸条上下两边平行的个数是（ ）
A. 2个 B. 1个 C. 4个 D. 3个
10.已知关于、的二元一次方程组，给出下列结论：①当这个方程组的解的值相等时，；②若用表示，则；③无论取什么实数，的值始终不变；④当时，方程组的解也是方程的解．其中结论正确的序号是（ ）
A. ①②③ B. ①③④ C. ①④ D. ③④
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.“据今晚的天气预报，泰山区明天的最高气温是28摄氏度”这一事件是 ．（填随机事件、必然事件或不可能事件）
12.若是关于的二元一次方程，则的值为 ．
13.“泰山国际登山节”的赛事共有两项，“专业竞技组”和“全民健身组”．小军参加了志愿者服务工作，为估算“全民健身组”的人数，对部分参赛选手做了调查：请估算本次赛事参加“全民健身组”人数的概率为 ．（精确到）
调查人数 20 50 100 200 500 1000
参加人数 15 39 81 171 426 852
频率 0.810 0.855 0.852 0.852
14.《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，成书大约在一千五百年前，其中一道题，原文是：“今三人共车，两车空；二人共车，九人步.问人与车各几何？”意思是：现有若干人和车，若每辆车乘坐3人，则空余两辆车；若每辆车乘坐2人，则有9人步行.问人与车各多少？设有x人，y辆车，可列方程组为 .
15.若关于的二元一次方程组和有相同的解，则的值为 ．
16.如图，，为上一点，，且平分，过点作于点，且，则下列结论：①；②；③平分；④．其中正确结论的序号是 ．
三、计算题：本大题共1小题，共9分。
17.解方程
(1) ；
(2) ．
四、解答题：本题共7小题，共63分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.(本小题9分)
把一副扑克牌中的13张从到的红桃牌正面朝下，洗匀后，从中任意抽取1张．下列事件中，哪些是必然事件？哪些是不可能事件？哪些是随机事件？并写出这些事件发生的可能性的大小．
(1) 抽到的牌上的数是偶数；
(2) 抽到的牌上的数不小于6；
(3) 抽到的牌是梅花；
(4) 抽到的牌是红桃．
19.(本小题9分)
某班共有40名同学，其中参加音乐社团和美术社团的情况统计如下表（单位：人）．例如，表中数据6表示同时参加两个社团的同学有6人．
参加美术社团 未参加美术社团
参加音乐社团 6 7
未参加音乐社团 3 24
(1) 从该班随机选1名同学，求该同学两个社团都未参加的概率；
(2) 在同时参加两个社团的6名同学中，有4名男同学、、、，2名女同学，现从中随机选取男、女同学各1人，求未被选中但被选中的概率．
20.(本小题9分)
如图，点、分别在线段、上，连接、、，过点作分别交、于点、，．
(1) 求证：；
(2) 若平分，，求的度数．
21.(本小题9分)
换元法是把一个比较复杂的代数式的一部分看成一个整体，用另一个字母代替这整体（即换元）的方法，好处是能使式子得到简化，便于解决问题，充分体现数学的整体思想．如：解方程组时，把和分别看成一个整体，即设，则原方程组可化为关于的方程组，解得；这样可得，，从而得到原方程组的解为．请用换元法解方程：
22.(本小题9分)
如图，在三角形中，点，在边上，点在边上，点在边上，连接，，，延长与交于点，，．
(1) 与平行吗？为什么？
(2) 若，且，求的度数．
23.(本小题9分)
某校组织科技节活动，计划投入4000元购进两种型号展板共80块，其中型展板至少40块．已知购进1块型展板和3块型展板共需220元，购进3块型展板和4块型展板共需360元．为了满足基本需求，请判断该校计划投入的资金是否够用，并说明理由．
24.(本小题9分)
“一带一路”让中国和世界更紧密，“中欧铁路”为了安全起见在某段铁路两旁安置了两座可旋转探照灯．假定主道路是平行的，即．如图所示，灯射线从开始顺时针旋转至便立即回转，灯射线从开始顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯转动的速度是每秒3度，灯转动的速度是每秒1度．
(1) 若灯射线先转动30秒，灯射线才开始转动，在灯射线到达之前，灯转动多少秒时，两灯的光束互相平行？
(2) 如图2，若，两灯同时转动，在灯射线已转过但未到达时．若两灯射出的光束交于点，过作交于点，直接写出在转动过程中，的比值．
1.【答案】C
2.【答案】C
3.【答案】C
4.【答案】D
5.【答案】A
6.【答案】C
7.【答案】B
8.【答案】A
9.【答案】D
10.【答案】A
11.【答案】随机事件
12.【答案】-2
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】-27
16.【答案】①②
17.【答案】【小题1】
解：
得：，
解得：，
把代入①得，
解得
原方程组的解为；
【小题2】
解：
得，，
解得，
把代入①得，
解得，
原方程组的解为．

18.【答案】【小题1】
解：抽到的牌上的数是偶数的可能性为，是随机事件；
【小题2】
解：抽到的牌上的数不小于6的可能性为，是随机事件；
【小题3】
解：抽到的牌是梅花，是不可能事件，发生的可能性为0；
【小题4】
解：抽到的牌是红桃，是必然事件，发生的可能性为1.

19.【答案】【小题1】
解：共有40种等可能结果，其中两个社团都未参加的等可能结果有24种，
（该同学两个社团都未参加）；
【小题2】
解：列表如下：
各选取1人情况：、、、、、、、；共有8种等可能结果，其中未被选中但被选中的等可能结果有3种，
未被选中但被选中）．

20.【答案】【小题1】
证明：，
，
，
，
；
【小题2】
解：，
，，
平分，
，
．

21.【答案】解：设，
则原方程组可化为关于的方程组
由①＋②×2得，解得，
把代入②，得，
，整理得，
两式子相加得，，
把代入，解得，
原方程组的解为

22.【答案】【小题1】
解：与平行，理由如下：
，
，
，
，
，
；
【小题2】
解：由（1）得，，
，
，
，
，
，
两式相加得，，
．

23.【答案】解：该校计划投入的资金够用，理由如下：
设型展板的单价为元，型展板的单价为元，
由题意得：，
解得：，
即型展板的单价为40元，型展板的单价为60元．
设购进型展板块，则购进型展板块，总费用为元，
由题意得：，
随的增大而减小，
当时，有最大值，
该校计划投入的4000元资金够用．

24.【答案】【小题1】
解：设灯转动秒，两灯的光束互相平行，
①当时，如图1－1，
，
，
，
，
，
，
解得；
②当时，如图1－2，
，
，
，
，
，
，
解得；
③当时，如图1－1，同理可得：，
解得（不合题意），
综上所述，当秒或秒时，两灯的光束互相平行；
【小题2】
解：；
设灯转动时间为秒，则，
，
，
，
，
，
，
．

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