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山东省烟台栖霞市（五四制）2025-2026学年九年级下学期期中数学试题
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列各组数中，互为相反数的一组是（　　）
A. （-6）2和-62 B. （-7）5和-75 C. -|8|和-8 D. -（-9）和|-9|
2.下面的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A. B.
C. D.
3.北宋沈括在《梦溪笔谈》中记载了一种名为“累棋成塔”的堆叠游戏，用完全相同的长方体、圆柱体的棋子逐层堆叠，形成稳定的塔形结构，以训练学童的空间布局能力．下图就是其中两个棋子摆放而成的几何体，其左视图正确的是（）
A. B.
C. D.
4.下列计算正确的是（）
A. B.
C. D.
5.随着人们对环境的日益重视，骑行单车这种“低碳”出行方式已融入人们的日常生活，如图3是某单车车架的示意图，线段分别为前叉、下管和立管(点E在上)，为后下叉．已知，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
6.“五·一”节假日，小亮和爸爸计划乘动车外出旅游．在网上购票时，小亮选定的车厢只剩一排有余座．若由系统随机分配，则小亮和爸爸相邻而坐的概率是（）
A. B. C. D.
7.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？意思是一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有（　　）灯.
A. 1盏 B. 3盏 C. 5盏 D. 9盏
8.如图，反比例函数在第一象限内的图象与矩形OABC的两边相交于D，E两点，CE=2AD=6.若矩形OABC的面积为8，则k的值是（　　）
A. 6
B. 8
C. 10
D. 12
9.如图，的直径和是它的两条切线，切点分别为切于E，交于，交于C，设，则与的函数图象是（ ）
A. B.
C. D.
10.如图，二次函数的图象与轴交于点，与轴的交点在与之间（不包括这两点），对称轴为直线，下列结论：
①；②；③；④若且时，则．
正确的有几个（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.若有意义，则x的取值范围为 .
12.计算 ．
13.若关于的一元二次方程有两个实数根，则实数的取值范围是 ．
14.如图，在菱形中,，点O是对角线的中点，以点O为圆心,长为半径作圆心角为的扇形，点D在扇形内，则图中阴影部分的面积为 ．
15.如图，蜂巢的横截面由边长都相等的正六边形组成，为顶点，则的值为 ．
16.如图，，，，，在上，，动点在线段上，以为直径作，为弧中点则的最小值为 ．
三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题3分)
已知：x2＋x-4＝0，求代数式的值．
18.(本小题10分)
如图，在平行四边形中，点是的中点．
(1) 尺规作图：作的中点（保留作图痕迹，不写作法）；
(2) 在（1）的条件下，连接、．求证：线段和线段互相平分．
19.(本小题9分)
年国庆黄金周期间，岳阳旅游景点热闹非凡．市文旅局为了进一步提升旅游服务质量，对本次国庆期间到过岳阳游玩的部分游客通过在线调查的方式评选出“您最推荐的景点”，对岳阳市各景点包括：岳阳楼、圣安寺、君山岛、洞庭南路（以下分别用、、、表示，只能选择一类）的情况进行了抽样调查，并将调查结果绘制如图所示不完整的两幅统计图．
(1) 补全这两幅统计图；
(2) 若国庆期间岳阳市累计接待了游客约万人，根据抽样调查的结果估计最推荐岳阳楼的游客有多少万人？
(3) 某游客准备到岳阳旅游，随机选择、、、四个景点中的两个去游玩，请用画树状图或列表的方法，求该游客恰好选择岳阳楼和洞庭南路这两个景点的概率．
20.(本小题9分)
某电商助农平台为推广地方特色农产品，计划购进“A县有机小米（甲商品）”和“B县特产红枣（乙商品）”两种产品．已知A县有机小米的单价比B县特产红枣的单价少20元，用3000元购进有机小米的数量与用4000元购进特产红枣的数量相同．平台将有机小米定价为每件100元，特产红枣定价为每件130元．
(1) 求有机小米、特产红枣的购进单价各是多少元？
(2) 平台计划购进两种商品共150件，其中有机小米的数量不低于特产红枣数量的2倍，且全部售出后总利润不低于6480元，问平台有几种进货方案？
(3) 在（2）的条件下，平台决定对有机小米进行促销价格调整，每件变动元（可正可负），特产红枣售价不变．若要使所有可行的进货方案获利都相同，请直接写出的值．
21.(本小题10分)
综合实践
主题 校园文化建筑测绘实践
实验背景 某学校面对校门的孔子雕像是该校校园的一项重要的文化景观．为了解雕像的高度和周围环境的设计特点，该校九年级的数学兴趣小组的四名同学利用测角仪等测量仪器开展了实地测量．
实地测量 甲同学站在雕像前，自处测得雕像顶的仰角为，乙同学站在雕像前方某处台阶上，自处测得雕像顶A的仰角为，丙同学测得甲乙两人的水平距离为，丁同学测得雕像前的台阶斜坡的坡比为．
注意事项 测量过程中确保雕像底端、点、以及台阶坡脚点在同一水平线上，且、、三点共线，点在台阶斜坡顶端．
解决问题：参考数据：，，
(1) 计算台阶的高度．
(2) 求出孔子雕像的高度．
22.(本小题10分)
如图，已知是的直径，是上一点，过作直线与的延长线交于点，过点作于点，连接、，且．
(1) 求证：直线是的切线；
(2) 若，，求与的长度．
23.(本小题9分)
【问题提出】
已知：正方形和正方形有公共顶点，把正方形绕点顺时针旋转一定的度数，连接，探究的长．
(1) 【问题探究】已知正方形的边长为，正方形的边长为．如图，若正方形的边落在正方形的边上，求的长．
(2) 已知正方形的边长为，正方形的边长为，如图，将正方形由图中的位置绕点顺时针旋转，求的长．
(3) 【拓展应用】如图，已知矩形和矩形全等，把矩形绕点顺时针旋转，使所在的直线恰好过的中点，当，时，求的长．
24.(本小题12分)
如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且，P是第一象限内抛物线上一动点．
(1) 求抛物线的解析式；
(2) 若点P关于直线的对称点恰好落在直线上，求点P的坐标；
(3) 动点M，N在直线上，其横坐标分别为m，，设的面积为S，若，设点P的横坐标为t，求t的取值范围．
1.【答案】A
2.【答案】C
3.【答案】D
4.【答案】C
5.【答案】C
6.【答案】B
7.【答案】B
8.【答案】D
9.【答案】B
10.【答案】B
11.【答案】x≥-7且x≠3
12.【答案】
13.【答案】且
14.【答案】 /
15.【答案】
/
16.【答案】
17.【答案】解:原式=
=
=.
+x-4=0,
+x=4，
原式=.

18.【答案】【小题1】
解：如图，的垂直平分线交于点F，点F即为所求；
【小题2】
解：证明：四边形是平行四边形，
，，
，
点E是的中点，点F是的中点
，，
，
四边形是平行四边形，
和互相平分．

19.【答案】【小题1】
解：（人），
A：（人），
B：（人），，
D：，
补全统计图为：
【小题2】
解：（万人），
答：最推荐岳阳楼的游客有万人
【小题3】
解：画树状图为：
如上图所示共种等可能结果，其中游客恰好选择岳阳楼和洞庭南路这两个景点的结果共有种
∴．
答：该游客恰好选择岳阳楼和洞庭南路这两个景点的概率为．

20.【答案】【小题1】
解：特产红枣的单价为元，则有机小米的单价为元，
根据题意得，，
解得，
经检验是方程的解，
则，
答：有机小米的单价是60元，特产红枣的单价是80元；
【小题2】
解：购买特产红枣件，则有机小米件，
根据题意得，，
解得，
为正整数，
或或，
则方案一购买特产红枣48件，则有机小米102件；
方案二购买特产红枣49件，则有机小米101件；
方案三购买特产红枣50件，则有机小米100件；
故商品共有三种购买方案；
【小题3】
解：设商品总获利为元，
，
所有进货方案获利都相同，
的取值与无关，则的系数为0，
，
即答案为：

21.【答案】【小题1】
解：台阶斜坡的坡比为，为，
，
即台阶的高度为；
【小题2】
解：如图所示，作于，
由题意得，四边形是矩形，
，，
设，则，
在中，，
∴
，
，
，
即，
解得，
经检验，是原方程的解．
答：孔子雕像的高度约．

22.【答案】【小题1】
证明：连接，
则，
∴，
∵，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴，
∴直线是的切线；
【小题2】
解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
解得（舍去）或.

23.【答案】【小题1】
解：正方形的边长为，正方形的边长为，
，，，
∴，
∴E、A、B在同一直线上，
，
在中，，
；
【小题2】
解：连接，如图所示：
四边形是正方形，
，
由旋转可知，，
点、、三点共线，
正方形的边长为，
，
正方形的边长为，
，，
在中，；
【小题3】
解：延长，过点作于点M，如图所示：
∴，
，
四边形是矩形，
，
，
，
又，
，
，
四边形是矩形，
，，，
由旋转可知，，
在中，，
，
，，
在中，．

24.【答案】【小题1】
解：∵抛物线的对称轴为，，
∴点，，
将点代入得：
，解得：，
∴抛物线的解析式为
【小题2】
解：将沿直线翻折，得到，则直线与第一象限内抛物线的交点即为P．
当时，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
设直线的解析式为，
把点，代入得：
，解得：，
∴直线，
联立，
解得，，
∴点；
【小题3】
解：过点P作轴，交于点E．
设直线的解析式为，
把点，代入得：
，解得：，
∴直线的解析式为，
∵设，则，
∴，
∵点M，N的横坐标分别为m，，
∴，
∴，
当时，，解得或；
当时，，解得或．
∴当时，t的取值范围是或．

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