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山东省烟台栖霞市（五四制）20205-2026学年七年级下学期期中数学试题
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列事件中（1）守株待兔；（2）拔苗助长；（3）海枯石烂；（4）日出东方；（5）心想事成；（6）水中捞月．是随机事件的个数为（）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
2.如图，平行于主光轴的光线和经过凸透镜折射后，折射光线，交于主光轴上一点，若，则的度数是（　　）
A. B. C. D.
3.用代入法解方程组，下列变形中最简单的是（　　）
A. 由①，得 B. 由①，得
C. 由②，得 D. 由②，得y=2x-5
4.在一次心理健康教育活动中,张老师随机抽取了40名学生进行了心理健康测试, 并将测试结果按“健康、亚健康、不健康”绘制成下列表格,其中测试结果为“健康”的频率是（ ）
类型 健康 亚健康 不健康
数据（人） 32 7 1
A. 32 B. 7 C. D.
5.如图，直线和直线相交于点，观察其图象可知方程的解为（ ）
A. B. C. D.
6.欢欢将自己的微信付款码打印在面积为的正方形纸上，如图所示，为了估计图中黑色部分的面积，他在纸内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.6左右，据此可以估计黑色部分的面积约为（ ）
A. B. C. D.
7.小红同学从作业本上撕下一条上、下边线分别为，的纸条，为了判断线段，是否平行，她采取了以下四种不同的折叠方式，折痕均为，通过测量相关角度来判断，则不一定能判断线段的是（ ）
A. 如图1，展开后测得 B. 如图2，测得
C. 如图3，展开后测得 D. 如图4，展开后测得
8.利用加减消元法解方程组，下列做法正确的是（　　）
A. 要消去y,可以将①×5+②×2 B. 要消去y,可以将①×5+②
C. 要消去y,可以将①×5+②×3 D. 要消去x,可以将①×（-5）+②×2
9.下列是真命题的个数有（）①过一点，有且只有一条直线与已知直线平行；②一条直线有且只有一条垂线；③不相交的两条直线叫做平行线；④直线外一点到这条直线的垂线段叫做这点到这条直线的距离；⑤两条直线被第三条直线所截，同位角相等．
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
10.勤俭节约是中华民族的传统美德，开学前夕，千惠同学用自己平时积攒的30元零花钱去乐福超市购买单价为3元的笔和单价为2元的本两种学习用品，则千惠同学的购买方案有（）
A. 3 种 B. 4种 C. 5种 D. 6种
二、填空题：本题共7小题，每小题3分，共21分。
11.将命题“同角的余角相等”改写成“如果……，那么……”的形式： ．
12.赋能数学课堂是指将人工智能技术融入数学教学过程，提升教学效果和学生学习体验．为了解学生对赋能数学课堂的喜爱程度，在全校进行了随机抽测，结果如下表，根据抽测结果，估计学生喜爱赋能数学课堂的概率约为 ．（结果精确到）
累计抽测的学生数n 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000
喜欢赋能数学课堂的学生数与n的比值
13.若与互为相反数，则的值是 ．
14.如图，能画出的是 ．（填写序号即可）
15.今有井不知深，先将绳折作三条入井汲水，绳长四尺，后将绳折作四条入井，亦长一尺．问井深及绳长各若干．（选自《算法统宗》）题目大意：用绳子测量井的深度，先将绳子折成三等份放入井中，一份绳长比井深多4尺；再将绳子折成四等份放入井中，一份绳长比井深多1尺．绳长、井深各是多少尺？若设绳长尺，井深尺，则可列方程组为 ．
16.全球首届机器人马拉松比赛在北京举行．如图，其中图1为比赛中某款机器人跑步姿态，图2为其某一瞬间的平面结构示意图，其中，，．若，于点，则 ．
17.如图，直线上有两点，直线上有一点三点共线，点在直线和直线之间，连接，求证：．
证明：（已知）
（ ）
（ ）
（已知）
______ ____（ ）
（ ）
三、计算题：本大题共1小题，共10分。
18.解方程组
(1)
(2)
四、解答题：本题共6小题，共59分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题9分)
儿童节期间，某游乐场为了吸引顾客，举行了一场游戏活动．游戏规则是：在一个不透明的盒子中装有红、白两种颜色的球共60个，每个球除颜色外完全相同，游戏者依次从中任意摸出一个球（每人摸完后都把球放回盒子中），如果摸到红球就可以得到一个小熊玩具，如果摸到白球就可以得到一个创意气球．已知参加该活动的游戏者共3000人，游乐场共发放小熊玩具200个．
(1) 参加此游戏得到小熊玩具的频率是 ；
(2) 请估计从该盒子中任意摸出一个球，摸到红球的概率是 ；
(3) 求该盒子中大约有多少个白球．
20.(本小题10分)
如图，直线和直线相交于点，连接，点、、分别在、、上，连接、，是上一点，已知
(1) 求证：；
(2) 若平分，，求的度数．
21.(本小题10分)
如图，，且和的度数满足方程组.
(1) 求和的度数；
(2) 求证：.
22.(本小题9分)
春季假期间，刘叔叔领着小明和小刚兄弟俩去商场购物，发现该商场正在进行转盘抽奖活动．规则是：如图1是一个可以自由转动的转盘（转盘被等分成10个扇形），一次购物满500元的顾客可获得一次转转盘抽奖的机会．转动转盘停止后，根据指针指向参照下表获得奖券（指向分界线时重转，直到指向某一扇形为止）．
规则表
颜色 红 蓝 黑
奖券金额（元） 20 50 80
(1) 转动一次转盘，若指针落在扇形区域，分别求出获得20元和80元奖券的概率；
(2) 为加大活动力度，现商场想调整获得20元奖券的概率为，其余奖券获奖概率不变，则需要将多少个黄色区域改为红色？
(3) 刘叔叔购买了520元的商品获得了一次转转盘的机会，俩兄弟都想抽奖，于是刘叔叔制作了如图2所示一个可自由转动的转盘，被平均分成5等份，分别涂上红、黄、绿三种颜色，请你帮刘叔叔设计一个公平的游戏规则，使俩兄弟获胜一方参与抽奖．
23.(本小题11分)
项目化学习：探究“新能源汽车采购”问题
项目主题 探究“新能源汽车采购”方案问题
素材1 某品牌新能源汽车店计划购进A，B两种型号的新能源汽车．市场部提供了两条模糊信息：①购进2辆A种型号的新能源汽车比购进1辆B种型号的新能源汽车多25万元；②购进1辆A种型号和2辆B种型号的新能源汽车共50万元．
素材2 该品牌新能源汽车店计划用一笔固定资金购进A，B两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），且恰好花光所有资金．已知这笔资金总额为200万元．
素材3 市场调研显示，A型车（经济型）预计每辆可获利3万元，B型车（豪华型）预计每辆可获利5万元．店长希望在资金恰好用完的前提下，尽可能让总利润最大化．
解决问题
(1) 求A，B这两种型号的新能源汽车每辆的进价分别是多少万元？
(2) 该品牌新能源汽车店购进A，B两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），费用恰好为200万元．请问该品牌新能源汽车店有几种购进方案？并写出所有可行的方案．
(3) 在资金恰好用完的前提下，选择哪一种购进方案能使预计总利润最高？最高利润是多少万元？
24.(本小题10分)
如图，直线分别与x轴，y轴相交于点和点，与直线相交于点C．
(1) 求k，b的值和点C的坐标；
(2) 在直线上是否存在点M，使得的面积是面积的2倍？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
1.【答案】B
2.【答案】A
3.【答案】D
4.【答案】D
5.【答案】C
6.【答案】A
7.【答案】D
8.【答案】C
9.【答案】A
10.【答案】B
11.【答案】如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等
12.【答案】
13.【答案】10
14.【答案】①②③④
15.【答案】
16.【答案】150
17.【答案】
内错角相等，两直线平行
两直线平行，同位角相等
等量代换
同旁内角互补，两直线平行

18.【答案】【小题1】
解：
由得，，
将代入得，，
解得，
将代入得，，
所以该方程组的解为；
【小题2】
解：原方程组整理得
，得，
解得，
将代入得，，
解得，
所以该方程组的解为．

19.【答案】【小题1】
【小题2】
【小题3】
由题意知，摸出白球的概率约为，
所以盒子中白球的个数约为，
则该盒子中大约有56个白球．

20.【答案】【小题1】
证明：∵（邻补角定义），（已知）
∴（同角的补角相等）
∴（同位角相等，两直线平行）
∴（两直线平行，同位角相等）
【小题2】
解：由（1）知，
∴（两直线平行，内错角相等）
∴（邻补角定义）
∵平分，
∴（角平分线定义）
又∵（已知），
∴

21.【答案】【小题1】
解：由题意知，，
由②式得：，
将③式代入①式得：，
解得：，
∴．
【小题2】
证明：由（1）知，，
∴，
又∵，
∴．

22.【答案】【小题1】
解：由题意可知，每转动一次转盘，共有10种等可能的结果，其中红色的有2种，黑色的有1种，
指针指向红色的概率为，指针指向黑色的概率为，
他获得20元和80元奖券的概率分别为，；
【小题2】
设需要将个黄色区域改为红色
则由题意得，
解得：
需要将3个黄色区域改为红色；
【小题3】
将转盘2个扇形涂成红色、2个扇形涂成绿色、1个扇形涂成黄色，转动转盘停止后，若指针指向红色区域，则小明胜；若指针指向绿色区域，则小刚胜；若指向分界线或黄色扇形时重转，直到指向红色或绿色扇形为止．

23.【答案】【小题1】
解：设种型号的新能源汽车每辆的进价为万元，种型号的新能源汽车每辆的进价为万元，
根据题意可得，
解得，
答：A种型号的新能源汽车每辆的进价为20万元，B种型号的新能源汽车每辆的进价为15万元．
【小题2】
解：设购进种型号的新能源汽车辆，购进种型号的新能源汽车辆，
根据题意可得，且、均为正整数，
由，得，
∵、均为正整数，
∴或或，
∴共有3种购进方案：方案1为购进A种型号7辆和B种型号4辆；方案2为购进A种型号4辆和B种型号8辆；方案3为购进A种型号1辆和B种型号12辆．
【小题3】
解：方案1：万元；
方案2：万元；
方案3：万元；
所以购进A种型号1辆和B种型号12辆总利润最高，最高利润是63万元．

24.【答案】【小题1】
解：由题意得，，
解得，
∴直线的解析式为，
联立，
解得，
∴；
【小题2】
解：存在；
∵，
∴，
∴，
设，
当M在x轴下方时，
∵的面积是面积的2倍，
∴的面积等于的面积，
∴，
解得：，
∵点在直线上，
∴，
解得：，
∴；
当M在x轴上方时，
∵的面积是面积的2倍，
∴的面积等于的面积的3倍，
∴，
∴，
∵点在直线上，
∴，
解得：，
∴；
综上所述，点M的坐标为或．

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