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第一章 §1 周期变化 课时同步练习
卷首导学
本卷定位：本卷是“周期变化”的课时同步训练，分为A、B两卷.A卷为基础巩固，重在概念辨析、公式直接应用和基本运算，适用于所有学生，建议用时25-30分钟，满分100分.B卷为能力提升，重在知识点综合、易错辨析和思维拓展，适用于中等及以上水平学生，建议用时30-35分钟，满分100分.两卷合计满分200分，建议总用时约60分钟.
核心易错点：
1. 混淆奇偶性在周期性求值中的作用——在利用周期性将自变量转化到已知区间时，若函数同时具有奇偶性，常因忽略或错误使用 或 而导致符号错误.
2. 周期函数“图象重复出现”的误判——并非所有“看似重复”的函数都是周期函数，必须满足 对定义域内任意 都成立，仅凭局部图象相似性判断容易出错.
3. 由抽象关系式推导周期时忽略多步递推——如由 推导周期，需连续代换两步才能得到 ，常见错误是止步于第一步推断.
4. 周期函数与物理学周期概念的混淆——数学中“周期”是无单位、无方向的纯数值，而物理题目（如筒车问题）中需注意时间周期与角度、弧长的换算.
训练目标：
1. 能够准确辨析周期现象与周期函数，并利用定义判断具体函数是否为周期函数.
2. 能够利用周期性、奇偶性、对称性中的两者推导出周期，并灵活用于求抽象函数值.
3. 能够由 、 等常见关系式，通过递推推导出函数的周期.
4. 能够在数形结合中运用周期性，通过图象信息获取周期参数或解决方程根的问题.
第 2 页，共 2 页
A卷　基础巩固（100分）
一、周期现象与周期函数定义
1.（单选）（5分）
下列现象不是周期现象的是（ 　　）
A. “春去春又回”
B. 钟表的分针每小时转一圈
C. “哈雷彗星”的运行时间
D. 某同学每天上数学课的时间
2.（单选）（5分）
下列是定义在 上的四个函数图象的一部分，其中不是周期函数的是（ 　　）
A.
B.
C.
D.
二、利用周期性求值
3.（单选）（5分）
已知 在 上是奇函数，且 ，当 时，，则 （ 　　）
A.
B.
C.
D.
4.（单选）（5分）
设 是定义在 上且周期为2的偶函数，当 时，，则 （ 　　）
A.
B.
C.
D.
5.（单选）（5分）
在数列 中，已知 ，，则 （ 　　）
A.
B.
C.
D.
6.（填空）（5分）
已知函数 的定义域为 ，满足 ，当 时，，则 ____.
7.（填空）（5分）
已知 是以4为周期的偶函数，且当 时，，则 ____.
8.（解答）（15分）
是周期为4的奇函数，且 .
（1）（7分）求 的值；
（2）（8分）若当 时，，求 的值.
三、由函数关系推周期性
9.（单选）（5分）
若函数 对于任意的 都有 ，且 ，则 （ 　　）
A.
B.
C.
D.
10.（解答）（20分）
已知函数 是定义在 上的奇函数，且它的图象关于直线 对称.
（1）（8分）求 的值；
（2）（12分）证明：函数 是周期函数，并求出它的一个周期.
11.（解答）（25分）
已知定义在 上的函数 满足 ，如图表示该函数在区间 上的图象.
（1）（12分）求 的值；
（2）（13分）若 时，，求 在 上的解析式.
B卷　能力提升（100分）
一、由函数关系推周期性
1.（单选）（5分）
函数 满足 ，则下列结论正确的是（ 　　）
A. 是周期函数，且4是它的一个周期
B. 是周期函数，且2是它的一个周期
C. 不是周期函数
D. 无法判断 是否为周期函数
2.（填空）（5分）
设函数 的定义域为 ， 是偶函数， 是奇函数，且当 时，，若 ，则 ____， ____.
二、求周期函数的参数
3.（单选）（5分）
定义在 上的函数 是周期为6的奇函数，若 ，，则 的取值范围是（ 　　）
A.
B. 且
C.
D. 或
三、利用周期性求值
4.（单选）（5分）
定义在 上的函数 满足 ，当 时，，当 时，.则 （ 　　）
A.
B.
C.
D.
5.（填空）（5分）
已知定义在 上的函数 的图象关于点 对称，且满足 ，又 ，，则 ____.
6.（解答）（10分）
已知函数 是定义在 上的奇函数，且它的图象关于直线 对称.
（1）（5分）求 的值；
（2）（5分）求 的值.
四、周期性与单调性综合
7.（单选）（5分）
定义在 上的奇函数 满足 ，且在区间 上是增函数，则（ 　　）
A.
B.
C.
D.
8.（单选）（5分）
已知函数 对 都有 ，若 的图象关于直线 对称，且对 ，当 时，都有 ，则下列结论正确的是（ 　　）
A.
B. 是奇函数
C. 是周期为4的周期函数
D.
五、周期性、奇偶性、对称性综合
9.（多选）（5分）
已知函数 的定义域为 ， 为奇函数， 为偶函数，且当 时，，则（ 　　）
A.
B. 的图象关于点 成中心对称
C. 当 时，
D. 方程 的解为 ，
六、周期性在多性质综合问题中的应用
10.（多选）（5分）
已知定义在 上的函数 在区间 上单调递增，且满足 ，，则（ 　　）
A.
B.
C.
D.
11.（解答）（15分）
已知 是定义在 上的且以2为周期的偶函数，当 时，.
（1）（7分）画出函数 在 上的图象；
（2）（8分）如果直线 与曲线 恰有两个交点，求实数 的值.
七、周期性与图象综合
12.（填空）（5分）
已知 为奇函数， 恒成立，且当 时，，设 .则当 时， 的解析式为 ____.
13.（解答）（10分）
筒车是一种以水流作动力，取水灌田的工具.如图，已知某个半径为 的筒车按逆时针方向每分钟匀速旋转2圈，筒车轴心 距水面 ，设筒车上某个盛水筒 ，以 刚浮出水面时开始计算时间，则盛水筒 出水后第一次到达最高点的时间（单位：）为多少？
八、周期性的综合证明与探究
14.（解答）（10分）
已知函数 是定义在 上的奇函数，且它的图象关于直线 对称.
（1）（5分）求证：函数 是周期函数，并求出它的一个周期；
（2）（5分）若当 时，，求 的值.
参考答案与详解
A卷：基础巩固
题号 1 2 3 4 5 6
答案 D D A A A 0.5
题号 7 8 9 10 11
答案 0 (1) (2) B (1) (2) 周期为4 (1) (2) ，
B卷：能力提升
题号 1 2 3 4 5 6
答案 A ， C B 1 (1) (2)
题号 7 8 9 10 11 12
答案 D D ACD BCD (1) 图略 (2) 或 ，
题号 13 14
答案 10秒 (1) 周期为4 (2)
A卷　基础巩固
一、周期现象与周期函数定义
1.（5分）
【答案速览】D
【深度解析】
■ 思路分析：
本题要求判断哪个现象不是周期现象.周期现象的核心特征是“每隔一段固定时间，现象会完全重复出现”.逐一审查四个选项，看它们是否满足“固定间隔重复”这一核心条件.
■ 推导过程：
选项A“春去春又回”：春天每经过一年重复出现一次，时间间隔固定，是周期现象.
选项B“钟表的分针每小时转一圈”：分针每60分钟完成一次圆周运动并回到起点，是典型的周期现象.
选项C“哈雷彗星的运行时间”：哈雷彗星每约76年回归一次，运行规律具有严格的周期性.
选项D“某同学每天上数学课的时间”：虽然课程表可能规定每天同一时间上课，但调课、换课、放假等因素导致时间间隔并不严格固定，不符合周期现象的数学定义.
【规律总结】
判断一个现象是否为周期现象，要紧扣定义中的两个关键词：“固定的时间间隔”和“重复出现”.日历、钟表、天体运行是典型的周期现象模型.
2.（5分）
【答案速览】D
【深度解析】
■ 思路分析：
周期函数的图象特征是在等长的区间上形状完全重复出现.观察四个选项的图象，检查各段等长区间上图象形状是否一致.
■ 推导过程：
选项A、B、C的图象均在等长的横坐标间隔上呈现出完全相同的波形或曲线形状，符合周期函数图象特征.
选项D的图象在 区间内是某一种曲线形状，但在其他区间内形状完全不同，没有出现等间隔的重复.
【易错警示】
常见错误是将“有规律的波动”等同于“周期函数”.判断周期函数的唯一标准是：存在 使 恒成立，仅凭肉眼感觉“有规律”容易误判.
二、利用周期性求值
3.（5分）
【答案速览】A
【深度解析】
■ 思路分析：
题目给出三个条件：奇函数、周期为4、部分区间解析式.要求 ，先用周期性将7转化到已知区间附近，再用奇函数性质将自变量折入已知区间 内.
■ 推导过程：
由 知周期 .利用周期性转化：.
利用奇函数性质 ：.
因为 ，代入已知解析式：.
回代得 .
【规律总结】
同时给出奇偶性和周期性的求值问题，通用策略是“周期拉回，奇偶折入”：先用周期性将自变量化到已知区间附近，再用奇偶性将其折入已知区间内部.
4.（5分）
【答案速览】A
【深度解析】
■ 思路分析：
已知 是周期为2的偶函数，已知区间 上的解析式.要求 ，需先利用偶函数性质将负自变量变为正，再利用周期性将自变量平移到已知区间内.
■ 推导过程：
利用偶函数性质 ：.
利用周期性 ，将 向已知区间 移动：.
验证 ，代入解析式：.
【易错警示】
由 知自变量加2函数值不变.当自变量 不在已知区间时，应加周期2使其进入 ，而不是减周期.口诀：自变量太小，就加周期；自变量太大，就减周期.
5.（5分）
【答案速览】A
【深度解析】
■ 思路分析：
数列由递推关系式 和首项 定义.该递推形式暗示数列可能具有周期性.列前几项观察规律，找出周期后利用周期性求指定项.
■ 推导过程：
由 得 .
当 时：.
当 时：.
当 时：.
观察发现数列在1和2之间交替出现，周期为2.
求 ：，余数为1，故 .
【规律总结】
对于递推关系为 型的数列，通常周期为2.解法口诀：“形式相减必有周期，列举三项即见端倪”.
6.（5分）
【答案速览】0.5
【深度解析】
■ 思路分析：
条件 是推导周期的典型形式.连续两次操作——先代 ，再代原条件——负负得正后即可发现周期.结合已知区间解析式求解.
■ 推导过程：
由 ，用 替换 ：.
将已知 代入：.周期 .
将 转化到已知区间 ：.
因为 ，代入 得 .
【规律总结】
由 推导周期的标准操作：令 得 ，故 .这是一个可模式化记忆的推导过程.
7.（5分）
【答案速览】0
【深度解析】
■ 思路分析：
是周期为4的偶函数，先用偶函数性质去负号，再用周期性将大数值向已知区间 转化.
■ 推导过程：
利用偶函数性质：.
利用周期性：，故 .
因为 ，代入解析式：.
8.（15分）
【答案速览】（1）（2）
【深度解析】
■ 思路分析：
两小问均是利用周期性和奇函数性质进行函数值转化.第（1）问直接代值，第（2）问需先周期平移，再用奇函数性质连接已知解析式.
■ 推导过程：
（1）.由奇函数性质 .已知 ，代入得 .【7分】
（2）先利用周期性：.由奇函数性质 .因为 ，代入已知解析式得 .回代得 .【8分】
三、由函数关系推周期性
9.（5分）
【答案速览】B
【深度解析】
■ 思路分析：
条件 给出的是相隔2的函数值关系.通过变量替换可化为 的标准形式，进而递推得周期 .再利用周期求值.
■ 推导过程：
在 中，令 ，得 ，即 .
由 ，替换 为 ：.周期 .
取 代入 得 .
求 ：，故 .
计算 ，.
最终 .
10.（20分）
【答案速览】（1）（2）证明：函数 是周期函数，周期为4.
【深度解析】
■ 思路分析：
本题给出奇函数（中心对称）和轴对称两个条件.将这两个对称条件分别写成函数方程，联立消去中间项即可推出周期性.
■ 推导过程：
（1）由奇函数定义 ，令 得 ，故 .【8分】
（2）由图象关于直线 对称，得 .将 替换为 ：.
利用奇函数性质 ：.
再将 替换为 ：.
将 代入：.因此 是周期函数，4是它的一个周期.【12分】
【规律总结】
若函数同时具有中心对称性和轴对称性，则往往可推导出周期性，且周期 （对称轴到对称中心的距离）.这是重要的二级结论.
11.（25分）
【答案速览】（1）（2），
【深度解析】
■ 思路分析：
第（1）问：已知周期为3和部分图象，利用周期性将目标自变量化到已知区间内，从图象直接读取函数值.第（2）问：要求 上的解析式，需通过周期平移将该区间转化到已知解析式的区间 上.
■ 推导过程：
（1）由 知周期为3.，.由图象读出 ，.故 .【12分】
（2）当 时，.由周期性 .代入已知解析式 ：.故 ，.【13分】
【易错警示】
第（2）问中，学生易错为直接将 上的 代入 ，忽略该解析式只在 成立.正确做法是先周期平移再代入.
B卷　能力提升
一、由函数关系推周期性
1.（5分）
【答案速览】A
【深度解析】
■ 思路分析：
条件 不能一步看出周期，需用“代两步”的方法.先将 替换为 ，再将原条件代入化简，即可得 与 的关系.
■ 推导过程：
已知 .将 替换为 ：.
将已知 代入：.
得到 恒成立，故4是函数的一个周期.
【规律总结】
由 型条件推导周期的通用操作是“代两步”：用 换 ，再将原条件代入化简，通常可得周期 .
2.（5分）
【答案速览】，
【深度解析】
■ 思路分析：
是偶函数和 是奇函数这两个条件分别给出对称轴和对称中心的信息.将其写出函数方程，联立可推出周期 .再结合周期关系和附加条件建立方程组解出参数.
■ 推导过程：
是偶函数：，整理得 .
是奇函数：，整理得 .令 得 .
联立两式：由 ，令 得 .
递推：，故周期 .
由周期得 ，结合 得 .
由 是奇函数，令 ：，故 .
当 时 ，故 .
又 ，由 得 .结合 得 ，.
由 ，且 ，故 ，即 .
解方程组 得 ，.
二、求周期函数的参数
3.（5分）
【答案速览】C
【深度解析】
■ 思路分析：
利用周期性和奇函数性质将 转化为与 相关的表达式，再结合已知不等式 建立关于 的分式不等式求解.
■ 推导过程：
由周期性 ：.
由奇函数性质：.故 .
由 得 .
代入题设 ：.
解分式不等式：移项 ，通分 .
分子分母异号，解得 .该区间是选项C 的子集.
【易错警示】
解分式不等式 时，不能直接去分母乘以 ，因为 的符号未知.正确操作是移项、通分、化为整式不等式.
三、利用周期性求值
4.（5分）
【答案速览】B
【深度解析】
■ 思路分析：
由 推导出周期 .先算出一个周期内各项的值与和，再将2013项按完整周期分组求和，最后加上余项.
■ 推导过程：
由 ，代 得 ，周期 .
计算一个周期内各项的值：，，，，，.
一个周期和：.
，有335个完整周期和余3项.
总和 = .
5.（5分）
【答案速览】1
【深度解析】
■ 思路分析：
条件给出中心对称和 两种关系.先由后者推导周期 ，再结合对称条件判断函数为偶函数，进而确定关键函数值，最后分组求和.
■ 推导过程：
由 ，代换得 ，周期 .
利用周期求值：，.
由对称条件 结合 ，得 ，可导出 为偶函数.故 .
一周期内和：.
，670个完整周期和为0，剩余一项 .故总和为1.
6.（10分）
【答案速览】（1）
（2）
【深度解析】
■ 思路分析：
同A卷第10题思路，由奇偶性和对称性推导周期为4.第（2）问运用周期转化求具体函数值.
■ 推导过程：
（1）由奇函数定义，令 得 .【5分】
（2）由对称条件得 ，结合奇函数可递推得 ，周期 .
.
.
由 时 得 ，故 .
和 .【5分】
四、周期性与单调性综合
7.（5分）
【答案速览】D
【深度解析】
■ 思路分析：
条件 变形递推可得周期 .将 、 通过周期和奇偶性转化到区间 内，利用该区间上的单调性比较大小.
■ 推导过程：
由 ，用 替换 得 ，再递推得 ，周期 .
转化各值：（奇函数性质）.
.
由奇函数及 上为增函数，可知 在 上为增函数.故 .
即 .
8.（5分）
【答案速览】D
【深度解析】
■ 思路分析：
通过图象平移判断偶函数，赋值求出 从而得到周期 ，结合单调性条件比较转化后的函数值，逐项验证.
■ 推导过程：
关于 对称，即向左平移2个单位后的函数关于 对称，意味着原函数关于 对称，故 是偶函数.B错误.
在 中令 ，得 .由偶函数 ，故 .代回得 ，周期 .C错误.
由条件 知 在 上为减函数.又 ，故 .A错误.
，.由在 上递减得 ，即 .D正确.
五、周期性、奇偶性、对称性综合
9.（5分）
【答案速览】A，C，D
【深度解析】
■ 思路分析：
通过 为奇函数得出中心对称条件，结合 为偶函数建立函数方程，递推得周期 ，并求出关键点函数值和分段解析式.
■ 推导过程：
由 为奇函数得 ，表明图象关于点 中心对称.
由 为偶函数得 .
联立得 ，即 .
递推得 ，周期 .
由 时 得 ，.
，，.
一周期和 = .A正确.
对称中心为 及 ，不是 .B错误.
当 时， 上解析式由 得 .故 .由周期性 .C正确.
由周期性和对称性检验方程 的解，得 .D正确.
六、周期性在多性质综合问题中的应用
10.（5分）
【答案速览】B，C，D
【深度解析】
■ 思路分析：
为轴对称， 为中心对称.两者组合可推出周期 且 为偶函数.根据对称性和单调性作出图象草图，再对各选项逐一验证.
■ 推导过程：
由 知对称轴 .由 知对称中心 .
两式联立可推出 ，周期 ，且 为偶函数.
验证A：由对称性可得 .前十项和为两周期和加 .A错误.
验证B：由中心对称得 .由图象知 ，故 .B正确.
验证C：.由函数图象在 部分的单调性可得 .C正确.
验证D：，，均在 内.由图象在该区间单调性得 .D正确.
11.（15分）
【答案速览】（1）
（2） 或 ，
【深度解析】
■ 思路分析：
本题是数形结合思想在周期函数中的典型应用.先作图象，再通过动态直线 与图象的交点情况，分析相切和过两顶点等临界位置，建立方程求参数.
■ 推导过程：
（1）先画出 段 （开口向上的抛物线弧）.由偶函数对称画出 段.再以周期2向左右延拓得到完整图象.【7分】
（2）直线 斜率为1，截距 决定其上下位置.
临界情况一：直线过两相邻顶点.当同时过 和 时，代入得 .由周期性，（）时均满足.
临界情况二：直线与抛物线弧相切.在 段，联立 得 .相切条件 ，得 .由周期性， 均成立.【8分】
七、周期性与图象综合
12.（5分）
【答案速览】
【深度解析】
■ 思路分析：
由奇函数和 可导出周期 及分段解析式.当 时，分别求 和 所属区间，代入对应的解析式再求和.
■ 推导过程：
由 为奇函数且 ，可导得周期 .
由已知可延拓解析式： 时 ；由对称性 时 .
当 时：，故 .
，故 .
求和：.
13.（10分）
【答案速览】10秒
【深度解析】
■ 思路分析：
盛水筒随筒车做匀速圆周运动，其高度位置呈周期性变化.解题关键是确定盛水筒刚出水面时与竖直方向的夹角，以及转到最高点需转过多少角度.转过的角度占整圈的比例乘以旋转一圈的时间即为所求.
■ 推导过程：
半径 ，轴心到水面距离 .
盛水筒刚浮出水面时，过 作 垂直水面，在 中，，，，故 .
设最高点为 ，则盛水筒 出水后第一次到达最高点需转过的角度 .（因为 在右半圆浮出，最高点在正上方）
筒车每分钟转2圈，故一圈（一个周期）耗时 秒.
转过的角度占整圈的比例为 .
所求时间 秒.
八、周期性的综合证明与探究
14.（10分）
【答案速览】（1）证明： 是以4为周期的周期函数.（2）
【深度解析】
■ 思路分析：
第（1）问是周期性的标准证明题，将奇偶性与对称性写成函数方程后递推.第（2）问综合运用所证周期和奇偶性，将目标自变量逐步转化到已知解析式的区间.
■ 推导过程：
（1）奇函数：.对称：.
递推：.故4是一个周期.【5分】
（2）（奇函数）.
（周期性）.
（对称性）.
（代入已知解析式）.
故 .【5分】
第 2 页，共 17 页第一章 §1 周期变化 课时同步练习（教师版）
卷首导学
本卷定位：本卷是“周期变化”的课时同步训练，分为A、B两卷.A卷为基础巩固，重在概念辨析、公式直接应用和基本运算，适用于所有学生，建议用时25-30分钟，满分100分.B卷为能力提升，重在知识点综合、易错辨析和思维拓展，适用于中等及以上水平学生，建议用时30-35分钟，满分100分.两卷合计满分200分，建议总用时约60分钟.
核心易错点：
1. 混淆奇偶性在周期性求值中的作用——在利用周期性将自变量转化到已知区间时，若函数同时具有奇偶性，常因忽略或错误使用 或 而导致符号错误.
2. 周期函数“图象重复出现”的误判——并非所有“看似重复”的函数都是周期函数，必须满足 对定义域内任意 都成立，仅凭局部图象相似性判断容易出错.
3. 由抽象关系式推导周期时忽略多步递推——如由 推导周期，需连续代换两步才能得到 ，常见错误是止步于第一步推断.
4. 周期函数与物理学周期概念的混淆——数学中“周期”是无单位、无方向的纯数值，而物理题目（如筒车问题）中需注意时间周期与角度、弧长的换算.
训练目标：
1. 能够准确辨析周期现象与周期函数，并利用定义判断具体函数是否为周期函数.
2. 能够利用周期性、奇偶性、对称性中的两者推导出周期，并灵活用于求抽象函数值.
3. 能够由 、 等常见关系式，通过递推推导出函数的周期.
4. 能够在数形结合中运用周期性，通过图象信息获取周期参数或解决方程根的问题.
第 2 页，共 2 页
A卷　基础巩固（100分）
题号 1 2 3 4 5 6
答案 D D A A A 0.5
题号 7 8 9 10 11
答案 0 (1) (2) B (1) (2) 周期为4 (1) (2) ，
一、周期现象与周期函数定义
1.（5分）
下列现象不是周期现象的是（ 　　）
A. “春去春又回”
B. 钟表的分针每小时转一圈
C. “哈雷彗星”的运行时间
D. 某同学每天上数学课的时间
【答案速览】D
【深度解析】
■ 思路分析：
本题要求判断哪个现象不是周期现象.周期现象的核心特征是“每隔一段固定时间，现象会完全重复出现”.逐一审查四个选项，看它们是否满足“固定间隔重复”这一核心条件.
■ 推导过程：
选项A“春去春又回”：春天每经过一年重复出现一次，时间间隔固定，是周期现象.
选项B“钟表的分针每小时转一圈”：分针每60分钟完成一次圆周运动并回到起点，是典型的周期现象.
选项C“哈雷彗星的运行时间”：哈雷彗星每约76年回归一次，运行规律具有严格的周期性.
选项D“某同学每天上数学课的时间”：虽然课程表可能规定每天同一时间上课，但调课、换课、放假等因素导致时间间隔并不严格固定，不符合周期现象的数学定义.
【规律总结】
判断一个现象是否为周期现象，要紧扣定义中的两个关键词：“固定的时间间隔”和“重复出现”.日历、钟表、天体运行是典型的周期现象模型.
2.（5分）
下列是定义在 上的四个函数图象的一部分，其中不是周期函数的是（ 　　）
A.
B.
C.
D.
【答案速览】D
【深度解析】
■ 思路分析：
周期函数的图象特征是在等长的区间上形状完全重复出现.观察四个选项的图象，检查各段等长区间上图象形状是否一致.
■ 推导过程：
选项A、B、C的图象均在等长的横坐标间隔上呈现出完全相同的波形或曲线形状，符合周期函数图象特征.
选项D的图象在 区间内是某一种曲线形状，但在其他区间内形状完全不同，没有出现等间隔的重复.
【易错警示】
常见错误是将“有规律的波动”等同于“周期函数”.判断周期函数的唯一标准是：存在 使 恒成立，仅凭肉眼感觉“有规律”容易误判.
二、利用周期性求值
3.（5分）
已知 在 上是奇函数，且 ，当 时，，则 （ 　　）
A.
B.
C.
D.
【答案速览】A
【深度解析】
■ 思路分析：
题目给出三个条件：奇函数、周期为4、部分区间解析式.要求 ，先用周期性将7转化到已知区间附近，再用奇函数性质将自变量折入已知区间 内.
■ 推导过程：
由 知周期 .利用周期性转化：.
利用奇函数性质 ：.
因为 ，代入已知解析式：.
回代得 .
【规律总结】
同时给出奇偶性和周期性的求值问题，通用策略是“周期拉回，奇偶折入”：先用周期性将自变量化到已知区间附近，再用奇偶性将其折入已知区间内部.
4.（5分）
设 是定义在 上且周期为2的偶函数，当 时，，则 （ 　　）
A.
B.
C.
D.
【答案速览】A
【深度解析】
■ 思路分析：
已知 是周期为2的偶函数，已知区间 上的解析式.要求 ，需先利用偶函数性质将负自变量变为正，再利用周期性将自变量平移到已知区间内.
■ 推导过程：
利用偶函数性质 ：.
利用周期性 ，将 向已知区间 移动：.
验证 ，代入解析式：.
【易错警示】
由 知自变量加2函数值不变.当自变量 不在已知区间时，应加周期2使其进入 ，而不是减周期.口诀：自变量太小，就加周期；自变量太大，就减周期.
5.（5分）
在数列 中，已知 ，，则 （ 　　）
A.
B.
C.
D.
【答案速览】A
【深度解析】
■ 思路分析：
数列由递推关系式 和首项 定义.该递推形式暗示数列可能具有周期性.列前几项观察规律，找出周期后利用周期性求指定项.
■ 推导过程：
由 得 .
当 时：.
当 时：.
当 时：.
观察发现数列在1和2之间交替出现，周期为2.
求 ：，余数为1，故 .
【规律总结】
对于递推关系为 型的数列，通常周期为2.解法口诀：“形式相减必有周期，列举三项即见端倪”.
6.（5分）
已知函数 的定义域为 ，满足 ，当 时，，则 ____.
【答案速览】0.5
【深度解析】
■ 思路分析：
条件 是推导周期的典型形式.连续两次操作——先代 ，再代原条件——负负得正后即可发现周期.结合已知区间解析式求解.
■ 推导过程：
由 ，用 替换 ：.
将已知 代入：.周期 .
将 转化到已知区间 ：.
因为 ，代入 得 .
【规律总结】
由 推导周期的标准操作：令 得 ，故 .这是一个可模式化记忆的推导过程.
7.（5分）
已知 是以4为周期的偶函数，且当 时，，则 ____.
【答案速览】0
【深度解析】
■ 思路分析：
是周期为4的偶函数，先用偶函数性质去负号，再用周期性将大数值向已知区间 转化.
■ 推导过程：
利用偶函数性质：.
利用周期性：，故 .
因为 ，代入解析式：.
8.（15分）
是周期为4的奇函数，且 .
（1）（7分）求 的值；
（2）（8分）若当 时，，求 的值.
【答案速览】（1）
（2）
【深度解析】
■ 思路分析：
两小问均是利用周期性和奇函数性质进行函数值转化.第（1）问直接代值，第（2）问需先周期平移，再用奇函数性质连接已知解析式.
■ 推导过程：
（1）.由奇函数性质 .已知 ，代入得 .【7分】
（2）先利用周期性：.由奇函数性质 .因为 ，代入已知解析式得 .回代得 .【8分】
三、由函数关系推周期性
9.（5分）
若函数 对于任意的 都有 ，且 ，则 （ 　　）
A.
B.
C.
D.
【答案速览】B
【深度解析】
■ 思路分析：
条件 给出的是相隔2的函数值关系.通过变量替换可化为 的标准形式，进而递推得周期 .再利用周期求值.
■ 推导过程：
在 中，令 ，得 ，即 .
由 ，替换 为 ：.周期 .
取 代入 得 .
求 ：，故 .
计算 ，.
最终 .
10.（20分）
已知函数 是定义在 上的奇函数，且它的图象关于直线 对称.
（1）（8分）求 的值；
（2）（12分）证明：函数 是周期函数，并求出它的一个周期.
【答案速览】（1）（2）证明：函数 是周期函数，周期为4.
【深度解析】
■ 思路分析：
本题给出奇函数（中心对称）和轴对称两个条件.将这两个对称条件分别写成函数方程，联立消去中间项即可推出周期性.
■ 推导过程：
（1）由奇函数定义 ，令 得 ，故 .【8分】
（2）由图象关于直线 对称，得 .将 替换为 ：.
利用奇函数性质 ：.
再将 替换为 ：.
将 代入：.因此 是周期函数，4是它的一个周期.【12分】
【规律总结】
若函数同时具有中心对称性和轴对称性，则往往可推导出周期性，且周期 （对称轴到对称中心的距离）.这是重要的二级结论.
11.（25分）
已知定义在 上的函数 满足 ，如图表示该函数在区间 上的图象.
（1）（12分）求 的值；
（2）（13分）若 时，，求 在 上的解析式.
【答案速览】（1）（2），
【深度解析】
■ 思路分析：
第（1）问：已知周期为3和部分图象，利用周期性将目标自变量化到已知区间内，从图象直接读取函数值.第（2）问：要求 上的解析式，需通过周期平移将该区间转化到已知解析式的区间 上.
■ 推导过程：
（1）由 知周期为3.，.由图象读出 ，.故 .【12分】
（2）当 时，.由周期性 .代入已知解析式 ：.故 ，.【13分】
【易错警示】
第（2）问中，学生易错为直接将 上的 代入 ，忽略该解析式只在 成立.正确做法是先周期平移再代入.
B卷　能力提升
题号 1 2 3 4 5 6
答案 A ， C B 1 (1) (2)
题号 7 8 9 10 11 12
答案 D D ACD BCD (1) 图略 (2) 或 ，
题号 13 14
答案 10秒 (1) 周期为4 (2)
一、由函数关系推周期性
1.（5分）
函数 满足 ，则下列结论正确的是（ 　　）
A. 是周期函数，且4是它的一个周期
B. 是周期函数，且2是它的一个周期
C. 不是周期函数
D. 无法判断 是否为周期函数
【答案速览】A
【深度解析】
■ 思路分析：
条件 不能一步看出周期，需用“代两步”的方法.先将 替换为 ，再将原条件代入化简，即可得 与 的关系.
■ 推导过程：
已知 .将 替换为 ：.
将已知 代入：.
得到 恒成立，故4是函数的一个周期.
【规律总结】
由 型条件推导周期的通用操作是“代两步”：用 换 ，再将原条件代入化简，通常可得周期 .
2.（5分）
设函数 的定义域为 ， 是偶函数， 是奇函数，且当 时，，若 ，则 ____， ____.
【答案速览】，
【深度解析】
■ 思路分析：
是偶函数和 是奇函数这两个条件分别给出对称轴和对称中心的信息.将其写出函数方程，联立可推出周期 .再结合周期关系和附加条件建立方程组解出参数.
■ 推导过程：
是偶函数：，整理得 .
是奇函数：，整理得 .令 得 .
联立两式：由 ，令 得 .
递推：，故周期 .
由周期得 ，结合 得 .
由 是奇函数，令 ：，故 .
当 时 ，故 .
又 ，由 得 .结合 得 ，.
由 ，且 ，故 ，即 .
解方程组 得 ，.
二、求周期函数的参数
3.（5分）
定义在 上的函数 是周期为6的奇函数，若 ，，则 的取值范围是（ 　　）
A.
B. 且
C.
D. 或
【答案速览】C
【深度解析】
■ 思路分析：
利用周期性和奇函数性质将 转化为与 相关的表达式，再结合已知不等式 建立关于 的分式不等式求解.
■ 推导过程：
由周期性 ：.
由奇函数性质：.故 .
由 得 .
代入题设 ：.
解分式不等式：移项 ，通分 .
分子分母异号，解得 .该区间是选项C 的子集.
【易错警示】
解分式不等式 时，不能直接去分母乘以 ，因为 的符号未知.正确操作是移项、通分、化为整式不等式.
三、利用周期性求值
4.（5分）
定义在 上的函数 满足 ，当 时，，当 时，.则 （ 　　）
A.
B.
C.
D.
【答案速览】B
【深度解析】
■ 思路分析：
由 推导出周期 .先算出一个周期内各项的值与和，再将2013项按完整周期分组求和，最后加上余项.
■ 推导过程：
由 ，代 得 ，周期 .
计算一个周期内各项的值：，，，，，.
一个周期和：.
，有335个完整周期和余3项.
总和 = .
5.（5分）
已知定义在 上的函数 的图象关于点 对称，且满足 ，又 ，，则 ____.
【答案速览】1
【深度解析】
■ 思路分析：
条件给出中心对称和 两种关系.先由后者推导周期 ，再结合对称条件判断函数为偶函数，进而确定关键函数值，最后分组求和.
■ 推导过程：
由 ，代换得 ，周期 .
利用周期求值：，.
由对称条件 结合 ，得 ，可导出 为偶函数.故 .
一周期内和：.
，670个完整周期和为0，剩余一项 .故总和为1.
6.（10分）
已知函数 是定义在 上的奇函数，且它的图象关于直线 对称.
（1）（5分）求 的值；
（2）（5分）求 的值.
【答案速览】（1）
（2）
【深度解析】
■ 思路分析：
同A卷第10题思路，由奇偶性和对称性推导周期为4.第（2）问运用周期转化求具体函数值.
■ 推导过程：
（1）由奇函数定义，令 得 .【5分】
（2）由对称条件得 ，结合奇函数可递推得 ，周期 .
.
.
由 时 得 ，故 .
和 .【5分】
四、周期性与单调性综合
7.（5分）
定义在 上的奇函数 满足 ，且在区间 上是增函数，则（ 　　）
A.
B.
C.
D.
【答案速览】D
【深度解析】
■ 思路分析：
条件 变形递推可得周期 .将 、 通过周期和奇偶性转化到区间 内，利用该区间上的单调性比较大小.
■ 推导过程：
由 ，用 替换 得 ，再递推得 ，周期 .
转化各值：（奇函数性质）.
.
由奇函数及 上为增函数，可知 在 上为增函数.故 .
即 .
8.（5分）
已知函数 对 都有 ，若 的图象关于直线 对称，且对 ，当 时，都有 ，则下列结论正确的是（ 　　）
A.
B. 是奇函数
C. 是周期为4的周期函数
D.
【答案速览】D
【深度解析】
■ 思路分析：
通过图象平移判断偶函数，赋值求出 从而得到周期 ，结合单调性条件比较转化后的函数值，逐项验证.
■ 推导过程：
关于 对称，即向左平移2个单位后的函数关于 对称，意味着原函数关于 对称，故 是偶函数.B错误.
在 中令 ，得 .由偶函数 ，故 .代回得 ，周期 .C错误.
由条件 知 在 上为减函数.又 ，故 .A错误.
，.由在 上递减得 ，即 .D正确.
五、周期性、奇偶性、对称性综合
9.（5分）
已知函数 的定义域为 ， 为奇函数， 为偶函数，且当 时，，则（ 　　）
A.
B. 的图象关于点 成中心对称
C. 当 时，
D. 方程 的解为 ，
【答案速览】A，C，D
【深度解析】
■ 思路分析：
通过 为奇函数得出中心对称条件，结合 为偶函数建立函数方程，递推得周期 ，并求出关键点函数值和分段解析式.
■ 推导过程：
由 为奇函数得 ，表明图象关于点 中心对称.
由 为偶函数得 .
联立得 ，即 .
递推得 ，周期 .
由 时 得 ，.
，，.
一周期和 = .A正确.
对称中心为 及 ，不是 .B错误.
当 时， 上解析式由 得 .故 .由周期性 .C正确.
由周期性和对称性检验方程 的解，得 .D正确.
六、周期性在多性质综合问题中的应用
10.（5分）
已知定义在 上的函数 在区间 上单调递增，且满足 ，，则（ 　　）
A.
B.
C.
D.
【答案速览】B，C，D
【深度解析】
■ 思路分析：
为轴对称， 为中心对称.两者组合可推出周期 且 为偶函数.根据对称性和单调性作出图象草图，再对各选项逐一验证.
■ 推导过程：
由 知对称轴 .由 知对称中心 .
两式联立可推出 ，周期 ，且 为偶函数.
验证A：由对称性可得 .前十项和为两周期和加 .A错误.
验证B：由中心对称得 .由图象知 ，故 .B正确.
验证C：.由函数图象在 部分的单调性可得 .C正确.
验证D：，，均在 内.由图象在该区间单调性得 .D正确.
11.（15分）
已知 是定义在 上的且以2为周期的偶函数，当 时，.
（1）（7分）画出函数 在 上的图象；
（2）（8分）如果直线 与曲线 恰有两个交点，求实数 的值.
【答案速览】（1）
（2） 或 ，
【深度解析】
■ 思路分析：
本题是数形结合思想在周期函数中的典型应用.先作图象，再通过动态直线 与图象的交点情况，分析相切和过两顶点等临界位置，建立方程求参数.
■ 推导过程：
（1）先画出 段 （开口向上的抛物线弧）.由偶函数对称画出 段.再以周期2向左右延拓得到完整图象.【7分】
（2）直线 斜率为1，截距 决定其上下位置.
临界情况一：直线过两相邻顶点.当同时过 和 时，代入得 .由周期性，（）时均满足.
临界情况二：直线与抛物线弧相切.在 段，联立 得 .相切条件 ，得 .由周期性， 均成立.【8分】
七、周期性与图象综合
12.（5分）
已知 为奇函数， 恒成立，且当 时，，设 .则当 时， 的解析式为 ____.
【答案速览】
【深度解析】
■ 思路分析：
由奇函数和 可导出周期 及分段解析式.当 时，分别求 和 所属区间，代入对应的解析式再求和.
■ 推导过程：
由 为奇函数且 ，可导得周期 .
由已知可延拓解析式： 时 ；由对称性 时 .
当 时：，故 .
，故 .
求和：.
13.（10分）
筒车是一种以水流作动力，取水灌田的工具.如图，已知某个半径为 的筒车按逆时针方向每分钟匀速旋转2圈，筒车轴心 距水面 ，设筒车上某个盛水筒 ，以 刚浮出水面时开始计算时间，则盛水筒 出水后第一次到达最高点的时间（单位：）为多少？
【答案速览】10秒
【深度解析】
■ 思路分析：
盛水筒随筒车做匀速圆周运动，其高度位置呈周期性变化.解题关键是确定盛水筒刚出水面时与竖直方向的夹角，以及转到最高点需转过多少角度.转过的角度占整圈的比例乘以旋转一圈的时间即为所求.
■ 推导过程：
半径 ，轴心到水面距离 .
盛水筒刚浮出水面时，半径与竖直向上方向的夹角 满足 ，解得 .
转到最高点需转过的角度 .
筒车每分钟转2圈，即1圈（一个周期）耗时 秒.
所求时间为 ？复核：转 对应 周期，用时应为 秒.但这是从浮出水面到竖直向上正中间的夹角？不对，最高点是竖直向上时，筒的半径竖直向上时 .浮出水面时 ，意思是要转 角度到最高点.所以占比 ，用时 .
深探究：筒车半径6，轴心距水面3，则浮出水面时的向径与竖直方向夹角为 .因此从出水到最高点转过角度为 .一圈角度为 ，转一圈需30秒，故用时 秒.
经重新核算，原答案应有异议.原始解析中“旋转 即为 个周期……用时 秒”是基于盛水筒起始位置处于最低点（水面下对称位置）.实际条件为“刚浮出水面时”，，到最高点 不，题目中最高点与当前出水位置与垂直方向夹角计算可按原解析：“过O做OQ垂直水面，P为刚出水面点，P1为最高点，OQ=3, OP=6， cos∠POQ=1/2，∠POQ=π/3.所以∠POP1=2π/3.盛水筒P出水后第一次到达最高点要旋转2π/3.” 因此占 周期，故为10秒.符合原解.最终答案为10秒.
八、周期性的综合证明与探究
14.（10分）
已知函数 是定义在 上的奇函数，且它的图象关于直线 对称.
（1）（5分）求证：函数 是周期函数，并求出它的一个周期；
（2）（5分）若当 时，，求 的值.
【答案速览】（1）证明： 是以4为周期的周期函数.
（2）
【深度解析】
■ 思路分析：
第（1）问是周期性的标准证明题，将奇偶性与对称性写成函数方程后递推.第（2）问综合运用所证周期和奇偶性，将目标自变量逐步转化到已知解析式的区间.
■ 推导过程：
（1）奇函数：.对称：.
递推：.故4是一个周期.【5分】
（2）（奇函数）.
（周期性）.
（对称性）.
（代入已知解析式）.
故 .【5分】

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