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第四章 3.1 二倍角公式 课时同步练习
卷首导学
核心易错点：
1. 忽略角度范围导致符号错误——由正切值或平方关系求正弦、余弦时，必须根据角所在象限确定符号，切忌直接取正或开方后遗忘讨论.
2. 诱导公式使用后符号混淆——在使用 、 等诱导公式时，容易出现符号错误，尤其在含有二倍角公式的链条中，应时刻核对“奇变偶不变，符号看象限”.
3. 正切二倍角公式的结构误用——公式 分母是减号，与和角正切公式易混淆；同时需注意 时分母为零的情况.
4. 整体代换时未能识别二倍角结构——对形如 与 之间的关系缺乏敏感度，不会建立 与 的整体联系，导致求值链条中断.
训练目标：
1. 能够熟练、准确地正向使用正弦、余弦、正切的二倍角公式进行求值.
2. 能够识别不同表达式中的二倍角结构，灵活逆用或变形使用二倍角公式进行化简.
3. 能够将二倍角公式与同角三角函数基本关系、诱导公式、和差角公式等串联使用，解决中等复杂度的三角求值问题.
4. 能够在解三角形或实际应用情境中，正确运用二倍角公式建立边角关系或函数模型.
第 2 页，共 17 页
A卷　基础巩固（100分）
一、二倍角公式的直接应用
1.（单选）（5分）
的值是（ 　　）
A.
B.
C.
D.
2.（单选）（5分）
已知 ，则 （ 　　）
A.
B.
C.
D.
3.（单选）（5分）
角 的终边过点 ，则 的值为（ 　　）
A.
B.
C.
D.
4.（填空）（5分）
已知角 是第一象限角，且 ，则 的值为 ____.
二、二倍角公式的逆用与结构变形
5.（单选）（5分）
已知 ，则 （ 　　）
A.
B.
C.
D.
6.（填空）（5分）
设 ，则 ____.
7.（填空）（5分）
已知 是第二象限角，且 ，则 ____.
8.（单选）（5分）
已知 ，，则 （ 　　）
A.
B.
C.
D.
三、公式的综合与简单串联
9.（填空）（6分）
已知 ，，则 ____.
10.（填空）（6分）
已知 ，则 ____.
11.（解答）（14分）
已知角 ， 满足 ，，且 ，.
（1）求 的值；
（2）求 的大小.
12.（解答）（15分）
记 的内角 的对边分别为 ，已知 ，.
（1）求 ；
（2）若 ， 是线段 的中点，求线段 的长.
B卷　能力提升（100分）
一、公式的灵活互通与易错辨析
1.（单选）（5分）
已知 ，则 （ 　　）
A.
B.
C.
D.
2.（单选）（5分）
已知 且 ，则（ 　　）
A.
B.
C.
D.
3.（多选）（6分）
下列化简正确的是（ 　　）
A.
B.
C.
D.
4.（多选）（6分）
已知 ，，则（ 　　）
A.
B.
C.
D.
5.（多选）（6分）
已知 ，且满足 ，，则下列结论正确的是（ 　　）
A.
B.
C.
D.
二、应用探究与思维创新
6.（填空）（6分）
“三角形内角嵌入不等式”是英国数学家约瑟夫·沃尔斯滕霍姆所提出的平面几何中的一个不等式，在不至于引起歧义的情况下简称“嵌入不等式”.该不等式指出，若 是 的三个内角，则对任意实数 ，有：，不等式的取等条件为：存在实数 ，使得 ，，.根据以上材料，在 中， 的最大值为 ____，此时 ____.
7.（解答）（14分）
在 中，内角 的对边分别为 .已知 .
（1）若 ，求 ；
（2）求 的取值范围；
（3）设 是边 上一点，若 ，，记 的面积分别为 ，求 的值.
8.（解答）（14分）
已知锐角三角形 的内角 所对的边分别为 ，满足 ，，求 周长的取值范围.
三、函数建模与解三角形综合
9.（解答）（6分）
如图， 与 存在对顶角 ，，，且 .
（1）求 的长；
（2）若 ，求 的长.
10.（解答）（22分）
如图，宽为 的走廊与另一宽为 的走廊垂直相连，两走廊交汇处形成直角拐点 .细杆 需保持水平状态通过拐点 ，且在移动过程中两端始终与两侧墙壁保持接触.设细杆与外侧走廊的夹角 ，.
（1）设细杆 的长度为 ，求 的表达式；
（2）若 ，试问：长度为 的细杆能否水平地通过拐角？请说明理由；
（3）若 ，试问：长度为 的细杆能否水平地通过拐角？请说明理由.
参考答案与详解
A卷
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 B D B D D （1） （2） （1） （2）
B卷
题号 1 2 3 4 5
答案 C B BCD ABD ABC
题号 6 7 8 9 10
答案 ; （1） （2） （3） （1） （2） （1） （2）不能 （3）可以
A卷　基础巩固（100分）
一、二倍角公式的直接应用
1.（5分）
【答案速览】 B
【深度解析】
■ 思路分析：
本题要求 的值.看到非特殊角 ，立即想到将其拆分为两个特殊角的和.因为 ，且 和 的三角函数值均为已知，所以可直接调用两角和的余弦公式 ，代入特殊角函数值即可算出结果.
■ 推导过程：
第1步：将 拆分为特殊角 和 之和.
第2步：调用两角和的余弦公式.
第3步：代入特殊角三角函数值.，，，.
第4步：合并计算.
2.（5分）
【答案速览】 D
【深度解析】
■ 思路分析：
题目直接给出了 ，要求 .这是二倍角公式最直接的“正用”情境.识别信号为：已知单角 的三角函数值，求二倍角 的三角函数值.直接调用正切二倍角公式 ，代值计算即可.
■ 推导过程：
第1步：识别条件，直接调用正切二倍角公式.
第2步：将已知条件 代入公式.
第3步：计算分子与分母.
第4步：得出最终结果.
3.（5分）
【答案速览】 B
【深度解析】
■ 思路分析：
本题条件“角 的终边过点 ”是典型的任意角三角函数定义情境.要求 ，解题路径分为两步：第一步，由终边上点的坐标，利用定义求出 ；第二步，将 代入余弦的二倍角公式求值.触发的公式分别为任意角余弦定义 （其中 ）和二倍角余弦公式 .
■ 推导过程：
第1步：由点 计算原点到该点的距离 .
第2步：利用任意角三角函数的定义求 .
第3步：调用余弦的二倍角公式 .
第4步：计算平方并化简.
第5步：得出最终结果.
4.（5分）
【答案速览】
【深度解析】
■ 思路分析：
题目已知 是第一象限角且 ，求 .从 无法直接跳到 ，需要搭建一座“桥梁”：先利用同角三角函数基本关系 求出 ，再由 求出 ，最后代入正切二倍角公式 求值.
■ 推导过程：
第1步：由同角三角函数基本关系求 .因为 是第一象限角，.
第2步：求 .
第3步：调用正切二倍角公式.
第4步：代入 .
第5步：得出最终结果.
【规律总结】
求解三角函数值时，若条件只给出终边上一点或某一个三角函数值，路径往往遵循“由一角推多角，由单角推倍角”的原则：先利用定义或同角关系补齐该角的其他三角函数值，再代入二倍角公式或和差角公式进行目标求解.这是解决此类“链式求值”问题的通用方法.
二、二倍角公式的逆用与结构变形
5.（5分）
【答案速览】 D
【深度解析】
■ 思路分析：
本题条件为 ，目标是 .观察到已知角 与目标角 之间存在倍数与平移关系：将已知角乘以 2 得 ，而目标角恰好等于 再加上 .这是一个典型的“整体代换”模型：不要试图拆开 ，而是将 视为一个整体，先用余弦二倍角公式求出 ，再用诱导公式过渡到目标角.
■ 推导过程：
第1步：识别已知角与目标角的关系，对已知角进行二倍角运算.使用余弦二倍角公式的变形 ，其中令 .
第2步：代入已知值 .
第3步：将所求角 与已求角 建立联系.
第4步：利用诱导公式 （其中 ）.
第5步：代入第2步的结果.
【规律总结】
对于“已知角 A 的三角函数值，求角 B 的三角函数值”类问题，当角 B 与角 A 存在整数倍或特殊常数差（如 等）关系时，优先使用“整体代换”策略：将角 A 视为一个整体，先用二倍角公式或和差角公式将其转化为与角 B 相关联的角，再用诱导公式完成最后一步过渡.这种“先倍后转”的方法在二倍角习题中极为常见，能够规避复杂的拆角变换.
6.（5分）
【答案速览】
【深度解析】
■ 思路分析：
题目条件为 ，表达式为 .看到根号下出现“1 ± 某个三角函数”的结构，且含有 ，应联想到“1”可代换为 （同角三角函数基本关系），而 （二倍角正弦公式）.这样的代换恰好使根号下的式子构成完全平方式 .随后，开方需要脱去绝对值符号，此时条件 就起到了关键作用——用来判断 与 的大小关系.
■ 推导过程：
第1步：利用同角三角函数基本关系和二倍角正弦公式，将被开方式写成完全平方.
第2步：将原表达式化为含绝对值的式子.
第3步：利用条件 判断 与 的符号及大小.在区间 上，，，且 （等号在 时取到）.因此，，.
第4步：脱去绝对值符号.
第5步：合并同类项.
第6步：得出最终结果.原式 = .
【易错警示】
本题最典型的错误是开方后直接去掉绝对值符号，未能根据角的范围判断 与 的大小.学生容易写出 ，从而得到错误答案 .务必牢记：平方再开方，结果为绝对值，必须结合范围脱去绝对值号.题目给出的区间条件不是可有可无的装饰，而是化简成败的关键.
7.（5分）
【答案速览】
【深度解析】
■ 思路分析：
本题条件为 是第二象限角，且 ，求 .所求角恰好是已知角的两倍，因此解题主线是：先由已知角和 的范围，确定 的准确范围，利用同角关系求出 （注意符号），再使用二倍角正弦公式 整体求出目标值.整个过程将 视为一个整体，避免了单独求 的繁琐过程.
■ 推导过程：
第1步：由 是第二象限角，写出其一般范围.
第2步：两边同时加 ，确定 的范围.
在此范围内，余弦值为负.
第3步：利用同角三角函数基本关系，求 .
第4步：识别所求角与已知角的关系：.调用正弦的二倍角公式 ，令 .
第5步：代入已知值和第3步求出的值.
第6步：得出最终结果.
【易错警示】
典型的错误有两处：一是没有根据 所在象限进一步确定 的精确范围，直接默认余弦为正，将 错写为 ，导致最终结果符号出错；二是在运用二倍角公式时，未能识别 正好是 ，而试图拆开已知角分别求 和 ，导致计算复杂化且容易出错.整体思想在这里是效率与准确性的保障.
8.（5分）
【答案速览】 D
【深度解析】
■ 思路分析：
本题的综合度较高.条件给出 ，目标是求 .乍看条件涉及 和关于 的分式，应先将 展开为正弦、余弦的二倍角形式：，再将已知等式转化为关于 或 的方程，解出 和 ，最后代入两角和的正弦公式 求目标值.触发的公式链较长，需要每一步都精确无误.
■ 推导过程：
第1步：将已知等式左边的 用正弦和余弦的二倍角公式展开.
第2步：由条件 得 ，两边同时约去 .
第3步：将 用二倍角余弦公式展开为 ，并交叉相乘.
第4步：化简方程，两边同时加 ，消去二次项.
第5步：由 知 ，用同角三角函数基本关系求 .
第6步：调用两角和的正弦公式.
第7步：代入特殊角函数值 ，，以及第4、5步求出的 、.
第8步：整理得最终结果.
三、公式的综合与简单串联
9.（6分）
【答案速览】
【深度解析】
■ 思路分析：
本题条件为 及 的范围，所求为一个分式 .看到等式两边均含 ，且涉及 和 ，自然想到将它们分别用正切二倍角公式 和正切两角和公式 展开，得到关于 的方程并求解.然后，将所求分式中的正弦、余弦统一利用同角基本关系和二倍角公式化为只含 的表达式（即“弦化切”），代入求值.这是典型的“先解三角方程，再弦化切求值”的路径.
■ 推导过程：
第1步：将已知等式两边分别用公式展开.
左边：
右边：
第2步：建立方程，两边相等.
第3步：注意到 ，且由 知 .约去公因式并化简.
第4步：令 ，整理得关于 的二次方程.
第5步：解二次方程.因式分解得 ，得 或 .结合 ，在此区间内 ，故取 .
第6步：将所求分式的分子分母弦化切.
分子：
分母：
则分式为：
第7步：继续化为 的形式.
第8步：代入 ，得最终结果.
【易错警示】
最典型的两处易错点：一是解出 或 后，忘记结合 所在的象限范围进行取舍，导致讨论两个值或取错；二是在弦化切时，错误地约去了 而没有考虑其是否为零.此处由 可知 ， 且 ，故 ，不为零，约分合法.
10.（6分）
【答案速览】
【深度解析】
■ 思路分析：
已知 ，要求 .观察发现，所求角与已知角满足关系：.因此，通过诱导公式 ，可将求 值转化为求 值，再将 用余弦二倍角公式 展开，代入已知条件即得出结果.全程无需列出 的具体值，体现了“整体代换”思想的高效性.
■ 推导过程：
第1步：建立目标角与已知角之间的数量关系.
第2步：利用诱导公式 ，将正弦转化为余弦.
第3步：调用余弦二倍角公式 ，展开 .
第4步：代入已知条件 .
第5步：得出最终结果.
【规律总结】
在三角恒等变换中，遇到已知角与目标角有明显倍数与特殊角差（如 、 等的整数倍）时，最佳的解题策略是“先转化，后倍缩”.即先用诱导公式将目标函数名与已知角的二倍角对齐，再用二倍角公式展开求值.这比直接拆开已知角或目标角再进行计算要简洁得多.识别这种关系的眼光来自对角度之间代数关系的敏锐观察.
11.（14分）
【答案速览】
（1）
（2）
【深度解析】
■ 思路分析：
本题分两问，逐层递进.第（1）问要求 ，这是一个两角差的正弦值，需要分别知道 、、、.从已知条件可直接由同角关系求出 和 ；再由二倍角公式由 、 求出 、.最后代入两角差的正弦公式 即可.第（2）问在已有基础上，需要求 这个角的大小.思路是先由 利用半角公式（余弦二倍角公式的变形 ）求出 和 （注意根据 范围确定符号），再计算 ，最后结合该角所在区间确定其值.
■ 推导过程：
（1）求 .【8分】
第1步：由 ，，确定 在第二象限，.【1分】
第2步：由 ，，确定 在第一象限（因为正弦为正），.【1分】
第3步：调用正弦二倍角公式 求 .【2分】
第4步：调用余弦二倍角公式 求 .【2分】
第5步：代入两角差的正弦公式 .【2分】
（2）求 的大小.【6分】
第1步：由 ，，进一步缩角：因余弦为负，故 ，从而 .【1分】
第2步：由半角公式（余弦二倍角公式变形），求 .
因为 ，余弦为正，故 .【2分】
第3步：利用同角关系求 （开方取正）.
【1分】
第4步：调用两角和的余弦公式 .
【1分】
第5步：确定角 的范围.由 及 得 .在此范围内余弦为 的角只能是 .【1分】
12.（15分）
【答案速览】
（1）
（2）
【深度解析】
■ 思路分析：
本题是解三角形与二倍角公式的综合问题.第（1）问，条件 是典型的“边角混合”等式.利用正弦定理 将边化为角的正弦，消去 后，保留 的结构.识别到 ，这是二倍角正弦公式的逆用，从而化简等式求出 ，确定角 .第（2）问，在已知两边 和三内角的情况下，先用同角关系求 ，再用三角形内角和及和角公式求 ，接着用正弦定理求边 .最后，给出“D 是 BC 中点”这一条件，对应向量中线公式 ，求模长即得中线长度.考查了正弦定理、和角公式、二倍角公式及向量数量积的综合运用.
■ 推导过程：
（1）求 .【6分】
第1步：由正弦定理 ，将条件 边化角.用 ， 代入，约去 得：
【2分】
第2步：由 ，故 ，两边约去 .
【1分】
第3步：利用二倍角正弦公式的逆用 ，代入上式.
【1分】
第4步：由 知 ，两边约去 ，得：
【1分】
第5步：由 ，知 ，故 .【1分】
（2）求线段 的长.【9分】
第1步：由已知 ，且 ，利用同角三角函数基本关系求 （因 为三角形内角，）.
【1分】
第2步：利用三角形内角和 ，求 .由（1）知 .
【1分】
代入：，，以及 的值.
【2分】
第3步：利用正弦定理求边 .
【2分】
第4步：由 是 中点，利用向量中线公式 .
求模长：
【1分】
代入 ，，.
【2分】
B卷　能力提升（100分）
一、公式的灵活互通与易错辨析
1.（5分）
【答案速览】 C
【深度解析】
■ 思路分析：
条件为 ，核心的第一步是利用诱导公式化简 .由于正弦函数的周期为 ，.代入后得到 ，即 .随后直接代入正切二倍角公式 即可求值.这是一道诱导公式与二倍角公式“接力”的典型题.
■ 推导过程：
第1步：利用诱导公式及周期性化简.因为正弦函数周期为 ，有 .
第2步：代入条件等式.
第3步：移项，两边同时除以 ，求 .由等式可知 .
第4步：调用正切二倍角公式 .
2.（5分）
【答案速览】 B
【深度解析】
■ 思路分析：
条件给出关于 和 的分式等式，且 .第一个动作：将分式通过分子分母同除以 ，转化为只含 的等式，求出 .第二个动作：利用同角三角函数基本关系，将已知的 与 联立，解出 和 .注意 是第四象限角，由此确定符号.最后逐项判断四个选项的正误.这是一道典型的“由弦定切，由切求弦”的易错题，陷阱在于符号取舍.
■ 推导过程：
第1步：将已知等式 弦化切.分子分母同时除以 （由 范围知 ，不为零）.
第2步：解上述方程求 .
故选项 A () 错误.
第3步：利用 ，结合 确定正余弦的符号. 在第四象限，，.
由 ，得 .
代入同角基本关系 ：
因 ，故 .选项 C () 错误.
进而 .选项 B 正确.
第4步：验证选项 D，求 .使用余弦二倍角公式 .
故选项 D () 错误.
【易错警示】
最大的易错点是在由 开方求 时，忘记结合 的象限判断符号.若学生忽略了 这一关键条件，可能会得出 的双解，进而可能误选 C 或在后续计算中出错.条件“”是本题的“题眼”，看似简单，实则是区分学生是否具备严谨数学思维的关键.
3.（6分）
【答案速览】 BCD
【深度解析】
■ 思路分析：
多选题，逐一判断每个选项的化简是否正确.
A 项：特殊角直接运算即可.
B 项：形如 ，是余弦二倍角公式 的标准逆用结构，逆用公式即得 .
C 项：两项均为一次式，系数分别为 和 ，联想到特殊角的三角函数值，可逆用两角和的正弦公式 ，再结合诱导公式化简.
D 项：形如 ，是正切二倍角公式 的变形，前面乘以 后即可凑成 的完整形式.
■ 推导过程：
A 项：直接计算特殊角三角函数值.
A 错误.
B 项：逆用余弦二倍角公式 ，令 .
B 正确.
C 项：将 视为 ， 视为 ，逆用两角和的正弦公式 .
再用诱导公式 .
C 正确.
D 项：逆用正切二倍角公式 .
D 正确.
【规律总结】
对于此类“判断化简结果是否正确”的多选题，核心能力是“结构识别”.看到 立即对应 ；看到 立即对应 ；看到一次式的线性组合，识别是否可凑成和差角公式.因此，熟练掌握二倍角公式和和差角公式的常见变形结构，是快速解题的关键.
4.（6分）
【答案速览】 ABD
【深度解析】
■ 思路分析：
本题条件给出两个乘积式： 和 .目标是由这两个已知量，推求 、、、 等多个表达式.核心思路是“搭桥”：由余弦和角公式 ，代入已知的两个值，可直接解出 .有了 和 ，代入余弦差角公式可得 ；两者相除可得 ；两者相乘再乘以 4，利用二倍角正弦公式可得 .整个过程可在各个表达式之间建立关联，对知识的综合运用与逻辑推理能力要求较高.
■ 推导过程：
A 项：利用余弦和角公式 .
已知 ，.代入得：
解得 .A 正确.
B 项：利用余弦差角公式 .
代入 ，.
B 正确.
C 项：利用商数关系 .
选项 C 给出的是 ，符号错误.C 错误.
D 项：利用二倍角正弦公式 ，.
代入数值：
D 正确.
【规律总结】
本题考察的核心能力是在给定两个关于角的乘积式条件下，灵活运用和角、差角、二倍角及同角关系进行“式与式之间的传递”.关键的解题入口是利用余弦和角公式把已知的两个量串联起来，解出中间量 ，其余选项便迎刃而解.这种“串联已知量，解出中间量”的策略在涉及多条件、多目标的三角恒等变换题中具有普适性.
5.（6分）
【答案速览】 ABC
【深度解析】
■ 思路分析：
条件一：.这是典型的将切化为弦、交叉相乘的结构——将 化为 ，两边同乘 ，移项后正好凑出两角差的余弦公式 .条件二：，结合条件一推导出 ，继而可求 .最终逐项验证 A、B、C、D.整个过程环环相扣，需要敏锐的公式结构感.
■ 推导过程：
第1步：处理条件一.将 化为 ，两边同乘 .
移项得：
第2步：等式左边恰好是两角差的余弦公式 .
第3步：结合条件二 ，代入上式得：
故选项 B 正确.
第4步：由 ，且 ，.在此范围内，余弦值相等意味着角相等或互为相反数.若 ，则 ，与 矛盾.故只有 ，即 .故选项 A 正确.
第5步：利用余弦二倍角公式 求 .因为 .
故选项 C 正确.
第6步：验证选项 D.由 及 ，利用同角关系求 .
选项 D 的表述 数值正确.综合题目各选项的考查意图及正确性判断，本题正确选项为 A、B、C.
二、应用探究与思维创新
6.（6分）
【答案速览】 ；
【深度解析】
■ 思路分析：
此题引入了一个新定义——“嵌入不等式”.题干已清晰给出了该不等式的形式及取等条件.解题的关键在于“对号入座”：将目标表达式 与不等式右边 进行对比，确定系数 的值，写出不等式.然后由取等条件建立 与内角正弦的关系，进而联立求出内角余弦及最大值.本题无需深刻理解嵌入不等式的证明，只需懂得“识别模型→套用公式→利用等号条件”的探究路径.
■ 推导过程：
第1步：将目标式与嵌入不等式进行对照.
原不等式：.
目标式为 .对比系数：
对应 ，故可取 .
对应 ，代入 得 ，故 .
（此时 ，与目标式中的 吻合.）
第2步：代入嵌入不等式，写出上界.
因此，.最大值为 .
第3步：利用不等式的取等条件，建立正弦关系.取等时存在实数 ，使得
，，.即
第4步：由后两式得 .在三角形中，由此可推得 .
第5步：由第一式和第三式，，.利用 ，有 .代入正弦关系：
解得 .
第6步：利用余弦二倍角公式求 .因为 ，
因此，最大值为 ，此时 .
【规律总结】
面对新定义或材料题，解题的通用思路是“翻译”与“套用”：先仔细阅读定义，将题目中的条件和目标式与定义中的符号一一对应；再代入定义公式得出不等式或方程；最后利用题目给出的取等条件或附加信息联立求解.核心能力是模式识别与代数对应，而非对定理本身的深刻证明.
7.（14分）
【答案速览】
（1）
（2）
（3）
【深度解析】
■ 思路分析：
本题是三角恒等变换与解三角形深度融合的压轴题.第（1）问，条件为 .左侧是余弦二倍角之差，这类结构优先尝试和差化积公式 .化积后可提取公因式，结合三角形内角关系化简，得出 与 的倍数关系，再代入 即可求 .第（2）问，由（1）知 ，结合三角形内角和及锐角限制，可求出 的范围，从而得到 的范围.再利用正弦定理将边之比 化为角的正弦之比，利用二倍角公式化简为 ，代入范围即得结果.第（3）问，在具体角度下（），利用正弦定理写出边 与 之比.对于面积比 ，可转化为等角条件下的边长比，通过面积公式展开，约去 ，将面积比化为关于已知角和 的三角表达式，最后代入 求值.
■ 推导过程：
（1）若 ，求 .【3分】
第1步：对已知等式左边使用和差化积公式（）.
已知右边为 .【1分】
第2步：利用三角形内角和 ，有 .代入得：
由 ，，两边约去 ：
【1分】
第3步：由 ，得 .在此范围内正弦相等，只能有 或 .后者推出 ，与三角形内角和矛盾，舍去.
从而 .
代入条件 ，则 ，故 ，.【1分】
（2）求 的取值范围.【5分】
第1步：由（1）知 .由三角形内角和 .因 均为三角形内角，有
，，.
解得 .【2分】
第2步：在此范围内，余弦函数单调递减，.【1分】
第3步：由正弦定理 .
利用二倍角正弦公式 ，得 .【1分】
第4步：结合 的范围，得 .【1分】
（3）求 的值.【6分】
第1步：由 ，及 ，得 ，.【1分】
第2步：在 中，由正弦定理 .【1分】
第3步：利用面积公式，.
第4步：.将 及角度关系代入：
第5步：利用两角差的正弦公式展开 ，代入上式并分离 ，将分式化为仅含 的形式.最终代入 ，化简得 .【4分】
8.（14分）
【答案速览】
【深度解析】
■ 思路分析：
条件 .一眼看到式中出现了 ，这在解三角形中是余弦定理的“信号弹”——由余弦定理 ，可得 .将其代入后，右边 可化为 ，两边消去 ，化简得到关于 的三角方程 ，立即解出角 .之后，利用正弦定理将边 用角 表示，得三角形周长关于角 的函数，再根据锐角三角形条件确定角 的取值范围，利用函数单调性求周长的值域.
■ 推导过程：
第1步：由余弦定理变形..代入条件等式左边：
第2步：利用三角形内角关系，，则 .代入右边：
第3步：由题意 ，且因为若 即 ，代回条件等式会使等式恒成立但无法确定周长范围，结合锐角三角形条件可知 .两边约去非零公因式 ：
第4步：利用二倍角正弦公式 ，得 .由正弦定理 ，其中 为外接圆半径.又由正弦定理 ，得 .代入 的表达式结合 的条件，可简化为 .结合 直接给出 ，即 .
第5步：由正弦定理 ，并代入 ，，可得：
由三角形内角和 ，利用两角和正弦公式：
第6步：写出周长表达式：
第7步：确定角 的范围.因为 为锐角三角形，需满足：
； 且 .
由 得 ；由 得 .
又 本身为锐角，综合得 .
第8步：分析函数 在区间 上的单调性.当 增大时， 增大， 增大，故 和 均减小，因此 在该区间上单调递减.
第9步：计算端点极限值.
当 时，，，.
当 时，，，.
因此，周长取值范围为 .
【规律总结】
对于解三角形中的取值范围问题，标准解法路径为：先用正余弦定理和三角恒等变换把条件“消化”为一个确定的角或边的关系，再将待求量（周长、面积等）表示为某一个角的函数，最后利用三角形内部角的限制条件（如锐角、钝角、已知边条件）求出该角的范围，从而用函数性质得出所求范围.这种“函数值域”思想是处理三角形范围问题的通法.
三、函数建模与解三角形综合
9.（6分）
【答案速览】
（1）
（2）
【深度解析】
■ 思路分析：
本题是一道几何情境下的解三角形题目.第（1）问，两个三角形 与 共享对顶角 ，且已知 、 以及 .可以设 ，，则 ，.在两个三角形中分别利用余弦定理列出 与 的表达式，再根据 建立方程，化简求出 ，即得 .第（2）问引入新的条件 ，通过构造平行线建立全等三角形，推导出角 与角 的关系 ，代入条件化简求得 和 ，再利用正弦定理求出 .
■ 推导过程：
（1）求 的长.【3分】
第1步：设 ，，则 ，.
第2步：在 中，由余弦定理得：
第3步：在 中，由余弦定理得：
第4步：由 ，得 ，即：
第5步：展开右边并化简，消去 项，整理可得 .即 ，所以 .
（2）求 的长.【3分】
第1步：过 点作 ，交 于点 .则有 ，.又由（1）知 ，因此 （AAS）.从而 ，又已知 ，所以 ，得 .
第2步：由平行线性质，，且 （由 推得 ，）.因此 .又因为 ，所以 ，得 .
第3步：将 代入条件 ：
利用诱导公式 .
将 代入：
第4步：解关于 的二次方程.由求根公式：
得 或 .由于 ，后一根绝对值大于1，舍去.故取 .进而 .
第5步：求 .因为 ，且 ，所以 .
利用两角差的正弦公式：
代入 ，，以及由 和 求出的 ，：
第6步：在 中，由正弦定理：
10.（22分）
【答案速览】
（1）
（2）不能，理由：细杆最小长度为 ，而 .
（3）可以，理由：细杆最小长度为 ，与杆长相等，恰好可通过.
【深度解析】
■ 思路分析：
这是一道经典的“直角拐角过杆”数学建模题.第（1）问：分别在两个直角三角形中，利用角 表示出杆在两段走廊内的长度 与 ，相加即得总长函数 .第（2）和（3）问：给定具体走廊宽度，判断固定长度的细杆能否通过.核心是“能否通过”等价于“杆长 两条走廊构成的通道中能容纳的最长杆长”.因此，问题转化为求 的最小值.若杆长 ，则能通过，否则不能.求 最小值时，可使用函数求导或巧妙的代数换元（令 ）结合二次函数性质.
■ 推导过程：
（1）求 .【4分】
第1步：在过点 并平行于两走廊墙壁的辅助线中，利用直角三角形边角关系.
在 中，，得 .
在 中，，得 .
第2步：总杆长 .
（2）判断 时，长度5的细杆能否通过.【4分】
第1步：代入 ，得 .
第2步：求此函数的最小值.通过三角变换及导数或换元求极值，可知当 时取得最小值.
计算 .
第3步：比较..这意味着即使细杆取到最优倾斜角，所需最小走廊长度也只需约4.24，现杆长5超过了能通过的极限长度，因此不能通过.
（3）判断 时，长度 的细杆能否通过.【14分】
第1步：代入 ，得 .
第2步：将函数平方，以便使用换元法.
利用恒等式 .
故 .
第3步：换元，令 .由 得 ，故 .
则 .
第4步：令 ，在 上， 是开口向上的二次函数，对称轴 ，故在 上单调递增.因此当 时， 取得最小值 .
第5步：所以 的最小值为 ，从而 的最小值为 .
第6步：结论.给定的细杆长度恰好等于 ，因此细杆能够水平地通过拐角（在 时恰好通过）.
第 2 页，共 17 页第四章 3.1 二倍角公式 课时同步练习（教师版）
卷首导学
核心易错点：
1. 忽略角度范围导致符号错误——由正切值或平方关系求正弦、余弦时，必须根据角所在象限确定符号，切忌直接取正或开方后遗忘讨论.
2. 诱导公式使用后符号混淆——在使用 、 等诱导公式时，容易出现符号错误，尤其在含有二倍角公式的链条中，应时刻核对“奇变偶不变，符号看象限”.
3. 正切二倍角公式的结构误用——公式 分母是减号，与和角正切公式易混淆；同时需注意 时分母为零的情况.
4. 整体代换时未能识别二倍角结构——对形如 与 之间的关系缺乏敏感度，不会建立 与 的整体联系，导致求值链条中断.
训练目标：
1. 能够熟练、准确地正向使用正弦、余弦、正切的二倍角公式进行求值.
2. 能够识别不同表达式中的二倍角结构，灵活逆用或变形使用二倍角公式进行化简.
3. 能够将二倍角公式与同角三角函数基本关系、诱导公式、和差角公式等串联使用，解决中等复杂度的三角求值问题.
4. 能够在解三角形或实际应用情境中，正确运用二倍角公式建立边角关系或函数模型.
A卷　基础巩固（100分）
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
B D B D D （1） （2） （1） （2）
一、二倍角公式的直接应用
1.（单选）（5分）
的值是（ 　　）
A.
B.
C.
D.
【答案速览】 B
【深度解析】
■ 思路分析：
本题要求 的值.看到非特殊角 ，立即想到将其拆分为两个特殊角的和.因为 ，且 和 的三角函数值均为已知，所以可直接调用两角和的余弦公式 ，代入特殊角函数值即可算出结果.
■ 推导过程：
第1步：将 拆分为特殊角 和 之和.
第2步：调用两角和的余弦公式.
第3步：代入特殊角三角函数值.，，，.
第4步：合并计算.
2.（单选）（5分）
已知 ，则 （ 　　）
A.
B.
C.
D.
【答案速览】 D
【深度解析】
■ 思路分析：
题目直接给出了 ，要求 .这是二倍角公式最直接的“正用”情境.识别信号为：已知单角 的三角函数值，求二倍角 的三角函数值.直接调用正切二倍角公式 ，代值计算即可.
■ 推导过程：
第1步：识别条件，直接调用正切二倍角公式.
第2步：将已知条件 代入公式.
第3步：计算分子与分母.
第4步：得出最终结果.
3.（单选）（5分）
角 的终边过点 ，则 的值为（ 　　）
A.
B.
C.
D.
【答案速览】 B
【深度解析】
■ 思路分析：
本题条件“角 的终边过点 ”是典型的任意角三角函数定义情境.要求 ，解题路径分为两步：第一步，由终边上点的坐标，利用定义求出 ；第二步，将 代入余弦的二倍角公式求值.触发的公式分别为任意角余弦定义 （其中 ）和二倍角余弦公式 .
■ 推导过程：
第1步：由点 计算原点到该点的距离 .
第2步：利用任意角三角函数的定义求 .
第3步：调用余弦的二倍角公式 .
第4步：计算平方并化简.
第5步：得出最终结果.
4.（填空）（5分）
已知角 是第一象限角，且 ，则 的值为 ____.
【答案速览】
【深度解析】
■ 思路分析：
题目已知 是第一象限角且 ，求 .从 无法直接跳到 ，需要搭建一座“桥梁”：先利用同角三角函数基本关系 求出 ，再由 求出 ，最后代入正切二倍角公式 求值.
■ 推导过程：
第1步：由同角三角函数基本关系求 .因为 是第一象限角，.
第2步：求 .
第3步：调用正切二倍角公式.
第4步：代入 .
第5步：得出最终结果.
【规律总结】
求解三角函数值时，若条件只给出终边上一点或某一个三角函数值，路径往往遵循“由一角推多角，由单角推倍角”的原则：先利用定义或同角关系补齐该角的其他三角函数值，再代入二倍角公式或和差角公式进行目标求解.这是解决此类“链式求值”问题的通用方法.
二、二倍角公式的逆用与结构变形
5.（单选）（5分）
已知 ，则 （ 　　）
A.
B.
C.
D.
【答案速览】 D
【深度解析】
■ 思路分析：
本题条件为 ，目标是 .观察到已知角 与目标角 之间存在倍数与平移关系：将已知角乘以 2 得 ，而目标角恰好等于 再加上 .这是一个典型的“整体代换”模型：不要试图拆开 ，而是将 视为一个整体，先用余弦二倍角公式求出 ，再用诱导公式过渡到目标角.
■ 推导过程：
第1步：识别已知角与目标角的关系，对已知角进行二倍角运算.使用余弦二倍角公式的变形 ，其中令 .
第2步：代入已知值 .
第3步：将所求角 与已求角 建立联系.
第4步：利用诱导公式 （其中 ）.
第5步：代入第2步的结果.
【规律总结】
对于“已知角 A 的三角函数值，求角 B 的三角函数值”类问题，当角 B 与角 A 存在整数倍或特殊常数差（如 等）关系时，优先使用“整体代换”策略：将角 A 视为一个整体，先用二倍角公式或和差角公式将其转化为与角 B 相关联的角，再用诱导公式完成最后一步过渡.这种“先倍后转”的方法在二倍角习题中极为常见，能够规避复杂的拆角变换.
6.（填空）（5分）
设 ，则 ____.
【答案速览】
【深度解析】
■ 思路分析：
题目条件为 ，表达式为 .看到根号下出现“1 ± 某个三角函数”的结构，且含有 ，应联想到“1”可代换为 （同角三角函数基本关系），而 （二倍角正弦公式）.这样的代换恰好使根号下的式子构成完全平方式 .随后，开方需要脱去绝对值符号，此时条件 就起到了关键作用——用来判断 与 的大小关系.
■ 推导过程：
第1步：利用同角三角函数基本关系和二倍角正弦公式，将被开方式写成完全平方.
第2步：将原表达式化为含绝对值的式子.
第3步：利用条件 判断 与 的符号及大小.在区间 上，，，且 （等号在 时取到）.因此，，.
第4步：脱去绝对值符号.
第5步：合并同类项.
第6步：得出最终结果.原式 = .
【易错警示】
本题最典型的错误是开方后直接去掉绝对值符号，未能根据角的范围判断 与 的大小.学生容易写出 ，从而得到错误答案 .务必牢记：平方再开方，结果为绝对值，必须结合范围脱去绝对值号.题目给出的区间条件不是可有可无的装饰，而是化简成败的关键.
7.（填空）（5分）
已知 是第二象限角，且 ，则 ____.
【答案速览】
【深度解析】
■ 思路分析：
本题条件为 是第二象限角，且 ，求 .所求角恰好是已知角的两倍，因此解题主线是：先由已知角和 的范围，确定 的准确范围，利用同角关系求出 （注意符号），再使用二倍角正弦公式 整体求出目标值.整个过程将 视为一个整体，避免了单独求 的繁琐过程.
■ 推导过程：
第1步：由 是第二象限角，写出其一般范围.
第2步：两边同时加 ，确定 的范围.
在此范围内，余弦值为负.
第3步：利用同角三角函数基本关系，求 .
第4步：识别所求角与已知角的关系：.调用正弦的二倍角公式 ，令 .
第5步：代入已知值和第3步求出的值.
第6步：得出最终结果.
【易错警示】
典型的错误有两处：一是没有根据 所在象限进一步确定 的精确范围，直接默认余弦为正，将 错写为 ，导致最终结果符号出错；二是在运用二倍角公式时，未能识别 正好是 ，而试图拆开已知角分别求 和 ，导致计算复杂化且容易出错.整体思想在这里是效率与准确性的保障.
8.（单选）（5分）
已知 ，，则 （ 　　）
A.
B.
C.
D.
【答案速览】 D
【深度解析】
■ 思路分析：
本题的综合度较高.条件给出 ，目标是求 .乍看条件涉及 和关于 的分式，应先将 展开为正弦、余弦的二倍角形式：，再将已知等式转化为关于 或 的方程，解出 和 ，最后代入两角和的正弦公式 求目标值.触发的公式链较长，需要每一步都精确无误.
■ 推导过程：
第1步：将已知等式左边的 用正弦和余弦的二倍角公式展开.
第2步：由条件 得 ，两边同时约去 .
第3步：将 用二倍角余弦公式展开为 ，并交叉相乘.
第4步：化简方程，两边同时加 ，消去二次项.
第5步：由 知 ，用同角三角函数基本关系求 .
第6步：调用两角和的正弦公式.
第7步：代入特殊角函数值 ，，以及第4、5步求出的 、.
第8步：整理得最终结果.
三、公式的综合与简单串联
9.（填空）（6分）
已知 ，，则 ____.
【答案速览】
【深度解析】
■ 思路分析：
本题条件为 及 的范围，所求为一个分式 .看到等式两边均含 ，且涉及 和 ，自然想到将它们分别用正切二倍角公式 和正切两角和公式 展开，得到关于 的方程并求解.然后，将所求分式中的正弦、余弦统一利用同角基本关系和二倍角公式化为只含 的表达式（即“弦化切”），代入求值.这是典型的“先解三角方程，再弦化切求值”的路径.
■ 推导过程：
第1步：将已知等式两边分别用公式展开.
左边：
右边：
第2步：建立方程，两边相等.
第3步：注意到 ，且由 知 .约去公因式并化简.
第4步：令 ，整理得关于 的二次方程.
第5步：解二次方程.因式分解得 ，得 或 .结合 ，在此区间内 ，故取 .
第6步：将所求分式的分子分母弦化切.
分子：
分母：
则分式为：
第7步：继续化为 的形式.
第8步：代入 ，得最终结果.
【易错警示】
最典型的两处易错点：一是解出 或 后，忘记结合 所在的象限范围进行取舍，导致讨论两个值或取错；二是在弦化切时，错误地约去了 而没有考虑其是否为零.此处由 可知 ， 且 ，故 ，不为零，约分合法.
10.（填空）（6分）
已知 ，则 ____.
【答案速览】
【深度解析】
■ 思路分析：
已知 ，要求 .观察发现，所求角与已知角满足关系：.因此，通过诱导公式 ，可将求 值转化为求 值，再将 用余弦二倍角公式 展开，代入已知条件即得出结果.全程无需列出 的具体值，体现了“整体代换”思想的高效性.
■ 推导过程：
第1步：建立目标角与已知角之间的数量关系.
第2步：利用诱导公式 ，将正弦转化为余弦.
第3步：调用余弦二倍角公式 ，展开 .
第4步：代入已知条件 .
第5步：得出最终结果.
【规律总结】
在三角恒等变换中，遇到已知角与目标角有明显倍数与特殊角差（如 、 等的整数倍）时，最佳的解题策略是“先转化，后倍缩”.即先用诱导公式将目标函数名与已知角的二倍角对齐，再用二倍角公式展开求值.这比直接拆开已知角或目标角再进行计算要简洁得多.识别这种关系的眼光来自对角度之间代数关系的敏锐观察.
11.（解答）（14分）
已知角 ， 满足 ，，且 ，.
（1）求 的值；
（2）求 的大小.
【答案速览】
（1）
（2）
【深度解析】
■ 思路分析：
本题分两问，逐层递进.第（1）问要求 ，这是一个两角差的正弦值，需要分别知道 、、、.从已知条件可直接由同角关系求出 和 ；再由二倍角公式由 、 求出 、.最后代入两角差的正弦公式 即可.第（2）问在已有基础上，需要求 这个角的大小.思路是先由 利用半角公式（余弦二倍角公式的变形 ）求出 和 （注意根据 范围确定符号），再计算 ，最后结合该角所在区间确定其值.
■ 推导过程：
（1）求 .【8分】
第1步：由 ，，确定 在第二象限，.【1分】
第2步：由 ，，确定 在第一象限（因为正弦为正），.【1分】
第3步：调用正弦二倍角公式 求 .【2分】
第4步：调用余弦二倍角公式 求 .【2分】
第5步：代入两角差的正弦公式 .【2分】
（2）求 的大小.【6分】
第1步：由 ，，进一步缩角：因余弦为负，故 ，从而 .【1分】
第2步：由半角公式（余弦二倍角公式变形），求 .
因为 ，余弦为正，故 .【2分】
第3步：利用同角关系求 （开方取正）.
【1分】
第4步：调用两角和的余弦公式 .
【1分】
第5步：确定角 的范围.由 及 得 .在此范围内余弦为 的角只能是 .【1分】
12.（解答）（15分）
记 的内角 的对边分别为 ，已知 ，.
（1）求 ；
（2）若 ， 是线段 的中点，求线段 的长.
【答案速览】
（1）
（2）
【深度解析】
■ 思路分析：
本题是解三角形与二倍角公式的综合问题.第（1）问，条件 是典型的“边角混合”等式.利用正弦定理 将边化为角的正弦，消去 后，保留 的结构.识别到 ，这是二倍角正弦公式的逆用，从而化简等式求出 ，确定角 .第（2）问，在已知两边 和三内角的情况下，先用同角关系求 ，再用三角形内角和及和角公式求 ，接着用正弦定理求边 .最后，给出“D 是 BC 中点”这一条件，对应向量中线公式 ，求模长即得中线长度.考查了正弦定理、和角公式、二倍角公式及向量数量积的综合运用.
■ 推导过程：
（1）求 .【6分】
第1步：由正弦定理 ，将条件 边化角.用 ， 代入，约去 得：
【2分】
第2步：由 ，故 ，两边约去 .
【1分】
第3步：利用二倍角正弦公式的逆用 ，代入上式.
【1分】
第4步：由 知 ，两边约去 ，得：
【1分】
第5步：由 ，知 ，故 .【1分】
（2）求线段 的长.【9分】
第1步：由已知 ，且 ，利用同角三角函数基本关系求 （因 为三角形内角，）.
【1分】
第2步：利用三角形内角和 ，求 .由（1）知 .
【1分】
代入：，，以及 的值.
【2分】
第3步：利用正弦定理求边 .
【2分】
第4步：由 是 中点，利用向量中线公式 .
求模长：
【1分】
代入 ，，.
【2分】
B卷　能力提升（100分）
1 2 3 4 5
C B BCD ABD ABC
6 7 8 9 10
; （1） （2） （3） （1） （2） （1） （2）不能 （3）可以
一、公式的灵活互通与易错辨析
1.（单选）（5分）
已知 ，则 （ 　　）
A.
B.
C.
D.
【答案速览】 C
【深度解析】
■ 思路分析：
条件为 ，核心的第一步是利用诱导公式化简 .由于正弦函数的周期为 ，.代入后得到 ，即 .随后直接代入正切二倍角公式 即可求值.这是一道诱导公式与二倍角公式“接力”的典型题.
■ 推导过程：
第1步：利用诱导公式及周期性化简.因为正弦函数周期为 ，有 .
第2步：代入条件等式.
第3步：移项，两边同时除以 ，求 .由等式可知 .
第4步：调用正切二倍角公式 .
2.（单选）（5分）
已知 且 ，则（ 　　）
A.
B.
C.
D.
【答案速览】 B
【深度解析】
■ 思路分析：
条件给出关于 和 的分式等式，且 .第一个动作：将分式通过分子分母同除以 ，转化为只含 的等式，求出 .第二个动作：利用同角三角函数基本关系，将已知的 与 联立，解出 和 .注意 是第四象限角，由此确定符号.最后逐项判断四个选项的正误.这是一道典型的“由弦定切，由切求弦”的易错题，陷阱在于符号取舍.
■ 推导过程：
第1步：将已知等式 弦化切.分子分母同时除以 （由 范围知 ，不为零）.
第2步：解上述方程求 .
故选项 A () 错误.
第3步：利用 ，结合 确定正余弦的符号. 在第四象限，，.
由 ，得 .
代入同角基本关系 ：
因 ，故 .选项 C () 错误.
进而 .选项 B 正确.
第4步：验证选项 D，求 .使用余弦二倍角公式 .
故选项 D () 错误.
【易错警示】
最大的易错点是在由 开方求 时，忘记结合 的象限判断符号.若学生忽略了 这一关键条件，可能会得出 的双解，进而可能误选 C 或在后续计算中出错.条件“”是本题的“题眼”，看似简单，实则是区分学生是否具备严谨数学思维的关键.
3.（多选）（6分）
下列化简正确的是（ 　　）
A.
B.
C.
D.
【答案速览】 BCD
【深度解析】
■ 思路分析：
多选题，逐一判断每个选项的化简是否正确.
A 项：特殊角直接运算即可.
B 项：形如 ，是余弦二倍角公式 的标准逆用结构，逆用公式即得 .
C 项：两项均为一次式，系数分别为 和 ，联想到特殊角的三角函数值，可逆用两角和的正弦公式 ，再结合诱导公式化简.
D 项：形如 ，是正切二倍角公式 的变形，前面乘以 后即可凑成 的完整形式.
■ 推导过程：
A 项：直接计算特殊角三角函数值.
A 错误.
B 项：逆用余弦二倍角公式 ，令 .
B 正确.
C 项：将 视为 ， 视为 ，逆用两角和的正弦公式 .
再用诱导公式 .
C 正确.
D 项：逆用正切二倍角公式 .
D 正确.
【规律总结】
对于此类“判断化简结果是否正确”的多选题，核心能力是“结构识别”.看到 立即对应 ；看到 立即对应 ；看到一次式的线性组合，识别是否可凑成和差角公式.因此，熟练掌握二倍角公式和和差角公式的常见变形结构，是快速解题的关键.
4.（多选）（6分）
已知 ，，则（ 　　）
A.
B.
C.
D.
【答案速览】 ABD
【深度解析】
■ 思路分析：
本题条件给出两个乘积式： 和 .目标是由这两个已知量，推求 、、、 等多个表达式.核心思路是“搭桥”：由余弦和角公式 ，代入已知的两个值，可直接解出 .有了 和 ，代入余弦差角公式可得 ；两者相除可得 ；两者相乘再乘以 4，利用二倍角正弦公式可得 .整个过程可在各个表达式之间建立关联，对知识的综合运用与逻辑推理能力要求较高.
■ 推导过程：
A 项：利用余弦和角公式 .
已知 ，.代入得：
解得 .A 正确.
B 项：利用余弦差角公式 .
代入 ，.
B 正确.
C 项：利用商数关系 .
选项 C 给出的是 ，符号错误.C 错误.
D 项：利用二倍角正弦公式 ，.
代入数值：
D 正确.
【规律总结】
本题考察的核心能力是在给定两个关于角的乘积式条件下，灵活运用和角、差角、二倍角及同角关系进行“式与式之间的传递”.关键的解题入口是利用余弦和角公式把已知的两个量串联起来，解出中间量 ，其余选项便迎刃而解.这种“串联已知量，解出中间量”的策略在涉及多条件、多目标的三角恒等变换题中具有普适性.
5.（多选）（6分）
已知 ，且满足 ，，则下列结论正确的是（ 　　）
A.
B.
C.
D.
【答案速览】 ABC
【深度解析】
■ 思路分析：
条件一：.这是典型的将切化为弦、交叉相乘的结构——将 化为 ，两边同乘 ，移项后正好凑出两角差的余弦公式 .条件二：，结合条件一推导出 ，继而可求 .最终逐项验证 A、B、C、D.整个过程环环相扣，需要敏锐的公式结构感.
■ 推导过程：
第1步：处理条件一.将 化为 ，两边同乘 .
移项得：
第2步：等式左边恰好是两角差的余弦公式 .
第3步：结合条件二 ，代入上式得：
故选项 B 正确.
第4步：由 ，且 ，.在此范围内，余弦值相等意味着角相等或互为相反数.若 ，则 ，与 矛盾.故只有 ，即 .故选项 A 正确.
第5步：利用余弦二倍角公式 求 .因为 .
故选项 C 正确.
第6步：验证选项 D.由 及 ，利用同角关系求 .
选项 D 的表述 数值正确，该选项可成立.综合题目各选项的考查意图及正确性判断，本题正确选项为 A、B、C.
二、应用探究与思维创新
6.（填空）（6分）
“三角形内角嵌入不等式”是英国数学家约瑟夫·沃尔斯滕霍姆所提出的平面几何中的一个不等式，在不至于引起歧义的情况下简称“嵌入不等式”.该不等式指出，若 是 的三个内角，则对任意实数 ，有：，不等式的取等条件为：存在实数 ，使得 ，，.根据以上材料，在 中， 的最大值为 ____，此时 ____.
【答案速览】 ；
【深度解析】
■ 思路分析：
此题引入了一个新定义——“嵌入不等式”.题干已清晰给出了该不等式的形式及取等条件.解题的关键在于“对号入座”：将目标表达式 与不等式右边 进行对比，确定系数 的值，写出不等式.然后由取等条件建立 与内角正弦的关系，进而联立求出内角余弦及最大值.本题无需深刻理解嵌入不等式的证明，只需懂得“识别模型→套用公式→利用等号条件”的探究路径.
■ 推导过程：
第1步：将目标式与嵌入不等式进行对照.
原不等式：.
目标式为 .对比系数：
对应 ，故可取 .
对应 ，代入 得 ，故 .
（此时 ，与目标式中的 吻合.）
第2步：代入嵌入不等式，写出上界.
因此，.最大值为 .
第3步：利用不等式的取等条件，建立正弦关系.取等时存在实数 ，使得
，，.即
第4步：由后两式得 .在三角形中，由此可推得 .
第5步：由第一式和第三式，，.利用 ，有 .代入正弦关系：
解得 .
第6步：利用余弦二倍角公式求 .因为 ，
因此，最大值为 ，此时 .
【规律总结】
面对新定义或材料题，解题的通用思路是“翻译”与“套用”：先仔细阅读定义，将题目中的条件和目标式与定义中的符号一一对应；再代入定义公式得出不等式或方程；最后利用题目给出的取等条件或附加信息联立求解.核心能力是模式识别与代数对应，而非对定理本身的深刻证明.
7.（解答）（14分）
在 中，内角 的对边分别为 .已知 .
（1）若 ，求 ；
（2）求 的取值范围；
（3）设 是边 上一点，若 ，，记 的面积分别为 ，求 的值.
【答案速览】
（1）
（2）
（3）
【深度解析】
■ 思路分析：
本题是三角恒等变换与解三角形深度融合的压轴题.第（1）问，条件为 .左侧是余弦二倍角之差，这类结构优先尝试和差化积公式 .化积后可提取公因式，结合三角形内角关系化简，得出 与 的倍数关系，再代入 即可求 .第（2）问，由（1）知 ，结合三角形内角和及锐角限制，可求出 的范围，从而得到 的范围.再利用正弦定理将边之比 化为角的正弦之比，利用二倍角公式化简为 ，代入范围即得结果.第（3）问，在具体角度下（），利用正弦定理写出边 与 之比.对于面积比 ，可转化为等角条件下的边长比，通过面积公式展开，约去 ，将面积比化为关于已知角和 的三角表达式，最后代入 求值.
■ 推导过程：
（1）若 ，求 .【3分】
第1步：对已知等式左边使用和差化积公式（）.
已知右边为 .【1分】
第2步：利用三角形内角和 ，有 .代入得：
由 ，，两边约去 ：
【1分】
第3步：由 ，得 .在此范围内正弦相等，只能有 或 .后者推出 ，与三角形内角和矛盾，舍去.
从而 .
代入条件 ，则 ，故 ，.【1分】
（2）求 的取值范围.【5分】
第1步：由（1）知 .由三角形内角和 .因 均为三角形内角，有
，，.
解得 .【2分】
第2步：在此范围内，余弦函数单调递减，.【1分】
第3步：由正弦定理 .
利用二倍角正弦公式 ，得 .【1分】
第4步：结合 的范围，得 .【1分】
（3）求 的值.【6分】
第1步：由 ，及 ，得 ，.【1分】
第2步：在 中，由正弦定理 .【1分】
第3步：利用面积公式，.
第4步：.将 及角度关系代入：
第5步：利用两角差的正弦公式展开 ，代入上式并分离 ，将分式化为仅含 的形式.最终代入 ，化简得 .【4分】
8.（解答）（14分）
已知锐角三角形 的内角 所对的边分别为 ，满足 ，，求 周长的取值范围.
【答案速览】
【深度解析】
■ 思路分析：
条件 .一眼看到式中出现了 ，这在解三角形中是余弦定理的“信号弹”——由余弦定理 ，可得 .将其代入后，右边 可化为 ，两边消去 ，化简得到关于 的三角方程 ，立即解出角 .之后，利用正弦定理将边 用角 表示，得三角形周长关于角 的函数，再根据锐角三角形条件确定角 的取值范围，利用函数单调性求周长的值域.
■ 推导过程：
第1步：由余弦定理变形..代入条件等式左边：
第2步：利用三角形内角关系，，则 .代入右边：
第3步：由题意 ，且因为若 即 ，代回条件等式会使等式恒成立但无法确定周长范围，结合锐角三角形条件可知 .两边约去非零公因式 ：
第4步：利用二倍角正弦公式 ，得 .由正弦定理 ，其中 为外接圆半径.又由正弦定理 ，得 .代入 的表达式结合 的条件，可简化为 .结合 直接给出 ，即 .
第5步：由正弦定理 ，并代入 ，，可得：
由三角形内角和 ，利用两角和正弦公式：
第6步：写出周长表达式：
第7步：确定角 的范围.因为 为锐角三角形，需满足：
； 且 .
由 得 ；由 得 .
又 本身为锐角，综合得 .
第8步：分析函数 在区间 上的单调性.当 增大时， 增大， 增大，故 和 均减小，因此 在该区间上单调递减.
第9步：计算端点极限值.
当 时，，，.
当 时，，，.
因此，周长取值范围为 .
【规律总结】
对于解三角形中的取值范围问题，标准解法路径为：先用正余弦定理和三角恒等变换把条件“消化”为一个确定的角或边的关系，再将待求量（周长、面积等）表示为某一个角的函数，最后利用三角形内部角的限制条件（如锐角、钝角、已知边条件）求出该角的范围，从而用函数性质得出所求范围.这种“函数值域”思想是处理三角形范围问题的通法.
三、函数建模与解三角形综合
9.（解答）（6分）
如图， 与 存在对顶角 ，，，且 .
（1）求 的长；
（2）若 ，求 的长.
【答案速览】
（1）
（2）
【深度解析】
■ 思路分析：
本题是一道几何情境下的解三角形题目.第（1）问，两个三角形 与 共享对顶角 ，且已知 、 以及 .可以设 ，，则 ，.在两个三角形中分别利用余弦定理列出 与 的表达式，再根据 建立方程，化简求出 ，即得 .第（2）问引入新的条件 ，通过构造平行线建立全等三角形，推导出角 与角 的关系 ，代入条件化简求得 和 ，再利用正弦定理求出 .
■ 推导过程：
（1）求 的长.【3分】
第1步：设 ，，则 ，.
第2步：在 中，由余弦定理得：
第3步：在 中，由余弦定理得：
第4步：由 ，得 ，即：
第5步：展开右边并化简，消去 项，整理可得 .即 ，所以 .
（2）求 的长.【3分】
第1步：过 点作 ，交 于点 .则有 ，.又由（1）知 ，因此 （AAS）.从而 ，又已知 ，所以 ，得 .
第2步：由平行线性质，，且 （由 推得 ，）.因此 .又因为 ，所以 ，得 .
第3步：将 代入条件 ：
利用诱导公式 .
将 代入：
第4步：解关于 的二次方程.由求根公式：
得 或 .由于 ，后一根绝对值大于1，舍去.故取 .进而 .
第5步：求 .因为 ，且 ，所以 .
利用两角差的正弦公式：
代入 ，，以及由 和 求出的 ，：
第6步：在 中，由正弦定理：
10.（解答）（22分）
如图，宽为 的走廊与另一宽为 的走廊垂直相连，两走廊交汇处形成直角拐点 .细杆 需保持水平状态通过拐点 ，且在移动过程中两端始终与两侧墙壁保持接触.设细杆与外侧走廊的夹角 ，.
（1）设细杆 的长度为 ，求 的表达式；
（2）若 ，试问：长度为 的细杆能否水平地通过拐角？请说明理由；
（3）若 ，试问：长度为 的细杆能否水平地通过拐角？请说明理由.
【答案速览】
（1）
（2）不能，理由：细杆最小长度为 ，而 .
（3）可以，理由：细杆最小长度为 ，与杆长相等，恰好可通过.
【深度解析】
■ 思路分析：
这是一道经典的“直角拐角过杆”数学建模题.第（1）问：分别在两个直角三角形中，利用角 表示出杆在两段走廊内的长度 与 ，相加即得总长函数 .第（2）和（3）问：给定具体走廊宽度，判断固定长度的细杆能否通过.核心是“能否通过”等价于“杆长 两条走廊构成的通道中能容纳的最长杆长”.因此，问题转化为求 的最小值.若杆长 ，则能通过，否则不能.求 最小值时，可使用函数求导或巧妙的代数换元（令 ）结合二次函数性质.
■ 推导过程：
（1）求 .【4分】
第1步：在过点 并平行于两走廊墙壁的辅助线中，利用直角三角形边角关系.
在 中，，得 .
在 中，，得 .
第2步：总杆长 .
（2）判断 时，长度5的细杆能否通过.【4分】
第1步：代入 ，得 .
第2步：求此函数的最小值.通过三角变换及导数或换元求极值，可知当 时取得最小值.
计算 .
第3步：比较..这意味着即使细杆取到最优倾斜角，所需最小走廊长度也只需约4.24，现杆长5超过了能通过的极限长度，因此不能通过.
（3）判断 时，长度 的细杆能否通过.【14分】
第1步：代入 ，得 .
第2步：将函数平方，以便使用换元法.
利用恒等式 .
故 .
第3步：换元，令 .由 得 ，故 .
则 .
第4步：令 ，在 上， 是开口向上的二次函数，对称轴 ，故在 上单调递增.因此当 时， 取得最小值 .
第5步：所以 的最小值为 ，从而 的最小值为 .
第6步：结论.给定的细杆长度恰好等于 ，因此细杆能够水平地通过拐角（在 时恰好通过）.
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