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第四章 3.2 半角公式 课时同步练习
卷首导学
核心易错点：
1. 半角符号的判断——利用半角公式开方时，必须由已知角的范围来确定 所在的象限，从而确定三角函数值的正负号.忽略象限限制是导致结果多解或符号错误的根本原因.
2. 半角正切公式的选择—— 有多种表达式（、、），相互等价但不能混用范围.在具体计算中，根据已知条件选择合适的表达式能有效简化计算并避开符号讨论.
3. 拼凑角问题的范围再确认——当问题涉及 的半角时，必须重新计算 的范围，再定半角符号.不能想当然地将原角的范围直接减半使用.
4. 公式逆用意识薄弱——遇到 、 等结构时，应迅速联想到它们是 、 的2倍，这种升幂或降幂的变形是化简与求值的关键突破口，缺乏这种意识会导致解题路径堵塞.
训练目标：
1. 能够熟练运用半角公式（正弦、余弦、正切）进行给定角的三角函数求值.
2. 能够根据已知角的范围，准确判断半角的象限并正确选取三角函数值的符号.
3. 能够灵活逆用半角公式进行化简（如升幂、降幂）和解决简单的证明问题.
4. 能够在三角形、向量等复杂背景下，综合运用半角公式、和差公式及正余弦定理解决问题.
A卷　基础巩固（100分）
一、半角公式的直接应用
1.（单选）（5分）
（ 　　）
A.
B.
C.
D.
2.（填空）（5分）
____
二、利用公式求值：给角求半角
3.（单选）（5分）
已知 ，，则 等于（ 　　）
A.
B.
C.
D.
4.（单选）（5分）
若角 的终边过点 ，则 的值为（ 　　）
A.
B.
C. 或
D. 或
5.（单选）（5分）
若 ，，则 （ 　　）
A.
B.
C.
D.
6.（填空）（5分）
若 且 ，则 ____
三、利用公式求值：给式求值
7.（单选）（5分）
已知 ，，则 的值是（ 　　）
A.
B.
C.
D.
四、公式的逆用与化简
8.（单选）（5分）
函数 的图像与函数 的图像所有交点的纵坐标之和等于（ 　　）
A. 2
B. 4
C. 6
D. 8
9.（单选）（5分）
若 ，则 （ 　　）
A.
B.
C.
D.
五、半角与象限角的关系
10.（填空）（5分）
已知 为第三象限角，则 是第____象限角
六、与同角关系及二倍角的综合
11.（解答）（10分）
已知 ，，求 及 的值.
七、与和差角、向量等的综合应用
12.（解答）（10分）
已知 ，求
（1）， 及 的值；
（2）
13.（解答）（5分）
在 中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 .
（1）若 ，，求 的值；
14.（解答）（10分）
（2）若 ，且 的面积 ，求a和b的值.
15.（填空）（5分）
已知 ，，则 ____
16.（单选）（10分）
已知扇形AOB的半径为13，以O为原点建立如图所示的平面直角坐标系，，弧AB的中点为 ，则 （ 　　）
A.
B.
C.
D.
第 2 页，共 17 页
B卷　能力提升（100分）
一、利用公式求值：给角求半角
1.（单选）（5分）
已知 为第二象限角，，则 的值为（ 　　）
A.
B.
C.
D.
2.（单选）（5分）
设 是第三象限角，，则 （ 　　）
A. -3
B. -2
C. 2
D. 3
3.（单选）（5分）
已知 ，且 ，则 （ 　　）
A.
B.
C.
D.
4.（解答）（10分）
已知 ，，且 、 都是锐角，求 的值.
二、利用公式求值：拼凑角问题
5.（单选）（5分）
已知 为钝角， 为锐角，且 ，，则 的值为（ 　　）
A.
B.
C.
D.
三、利用公式求值：给式求值
6.（单选）（5分）
设 ，，，则有（ 　　）
A.
B.
C.
D.
7.（单选）（5分）
设函数 的所有正的零点从小到大依次为 ，设 ，则 的值是（ 　　）
A. 0
B.
C.
D. 1
四、公式的逆用与化简
8.（多选）（5分）
已知 ，，则 （ 　　）
A.
B.
C.
D.
9.（填空）（5分）
若 ， 是第三象限的角，则 ____
10.（填空）（5分）
若 ，，则 ____
五、与向量、正弦定理等综合应用
11.（单选）（5分）
记 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设向量 若 ，则 （ 　　）
A.
B.
C.
D.
12.（解答）（5分）
已知 ，
（1）求 的值；
13.（解答）（10分）
（2）求 的值.
六、与正余弦定理的综合应用
14.（解答）（15分）
在 中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 .
（1）若 ，，求 的值；
（2）若 ，且 的面积 ，求a和b的值.
七、抽象与符号运算能力
15.（解答）（10分）
已知 ，，请用 分别表示 、、
参考答案与详解
A卷
1 2 3 4 5 6
C 1 B A B
7 8 9 10 11 12
B B C 二或四 ; （1） , , ; （2）
13 14 15 16
B
B卷
1 2 3 4 5 6
D B A D C
7 8 9 10 11 12
A D C
13 14 15
-2 （1） ; （2） ; ;
A卷　基础巩固（100分）
一、半角公式的直接应用
1.（5分）
【答案速览】 C
【深度解析】
■ 思路分析：本题要求计算 的精确值.看到特殊角 ，联想到它可表示为 的一半，触发调用半角余弦公式 .代入 即可求得结果.
■ 推导过程：
第1步：识别关系 .
第2步：调用半角余弦公式 .
第3步：代入 ，得 .
第4步：代入 ，得 .
第5步：化简复合二次根式.将分子分母同乘 ，得 .
第6步：注意到 ，因此 .
■ 步骤总结：识别半角关系 调用半角余弦公式 代入特殊角函数值 化简复合二次根式.
【规律总结】
对于 等非特殊角，通常利用半角公式或和差角公式转化为 等特殊角的组合来求精确值.识别角之间的倍数或和差关系是解题的入口.
2.（5分）
【答案速览】 1
【深度解析】
■ 思路分析：题目给出含 的表达式 .看到 ，应联想到二倍角公式的推论（升幂公式），这实质上是半角公式的逆用.将 用 表示即可化简.
■ 推导过程：
第1步：由二倍角余弦公式 ，得 .
第2步：令 ，则 .
第3步：代入原式：.
第4步：合并同类项，得结果为 .
■ 步骤总结：识别平方结构 逆向调用二倍角公式升幂 代数化简消去 .
【规律总结】
遇到形如 的结构，应优先想到它们与 的升幂（降幂）关系：，.这种逆用是化简含倍角、半角关系式的主流方法.
二、利用公式求值：给角求半角
3.（5分）
【答案速览】 B
【深度解析】
■ 思路分析：已知 且 ，求 .条件触发了半角余弦公式 .关键步骤是根据 的范围推算出 的范围，从而确定公式外正负号的正确选取.
■ 推导过程：
第1步：确定 的范围.由 ，两边同除以 ，得 .
第2步：判断符号. 在第二象限，此象限内余弦值为负，故 .
第3步：调用半角余弦公式，取负号：.
第4步：代入已知值 ，得 .
第5步：化简得 .
■ 步骤总结：由 范围定 象限 确定半角余弦符号 代入公式求值 化简.
【易错警示】
本题的典型错误是忽略对 所在象限的判断，直接取正号得到 （选项A），或记忆公式错误用成半角正弦公式得到其他错误选项.核心原则：半角公式开方后，符号由半角所在象限决定，而非原角象限.
4.（5分）
【答案速览】 A
【深度解析】
■ 思路分析：已知角 终边上一点 ，求 .首先由终边上点的坐标，利用任意角三角函数定义求出 和 ，再用半角正切公式 计算.
■ 推导过程：
第1步：计算终边点到原点的距离 .
第2步：用三角函数定义：，.
第3步：选用半角正切公式 （此公式不含根号选择，直接代入计算，避免符号讨论，在已知时最简）.
第4步：代入 的值：.
第5步：分母有理化，得 .
■ 步骤总结：由终边点求三角函数值 选择半角正切有理表达式 代数化简求值.
【规律总结】
当已知 求 时，优先使用有理表达式 ，可完全避开对半角象限的讨论，简化计算.
5.（5分）
【答案速览】 B
【深度解析】
■ 思路分析：已知 且 ，求 .思路一是先求 ，再用半角正切的有理表达式；思路二是先求 ，再用二倍角正切公式（视为的二倍角）解二次方程.本题采用解法一.
■ 推导过程：
第1步：由 ，得 .
第2步：由 知 ，故 .
第3步：选用半角正切公式 .
第4步：代入得 .
■ 步骤总结：同角关系求 选用半角正切有理表达式 代入求值.
【一题多解】
解法二（二倍角公式法）：
第1步：.
第2步：由二倍角公式 ，设 ，得 .
第3步：整理得 ，解得 或 .
第4步：由 得 ，，故舍去负根，得 .
6.（5分）
【答案速览】
【深度解析】
■ 思路分析：已知 且 ，求 .与第5题考点相同，但的范围包含了第一象限和第二象限，取正值，故结果唯一.
■ 推导过程：
第1步：由 ，得 .
第2步：由 知 ，故 .
第3步：代入 .
■ 步骤总结：同角关系求 选用半角正切有理表达式 代入求值.
三、利用公式求值：给式求值
7.（5分）
【答案速览】 B
【深度解析】
■ 思路分析：已知 及 的范围，求 .这触发了同角三角函数基本关系与方程思想的结合：将已知等式平方，可求出 ，进而求出 ，联立方程组解出 和 ，最后求比值.
■ 推导过程：
第1步：将已知等式平方：.
第2步：展开得 .
第3步：代入 ，得 ，解得 .
第4步：计算 .
第5步：由 且 ，结合 ，可推得 ，此时 ，故 .
第6步：开方取负，.
第7步：联立方程组：
两式相加得 ，故 ；
两式相减得 ，故 .
第8步：.
■ 步骤总结：平方已知等式 求 求 （注意符号） 联立解出正余弦 求比值.
【规律总结】
对于给出 与角的范围，求 或单个三角函数值的问题，“平方一减”是标准化操作.通过平方求得 ，再用 求出 ，最后解方程组.符号判断是此类题的核心易错点.
四、公式的逆用与化简
8.（5分）
【答案速览】 B
【深度解析】
■ 思路分析：首先要识别 并非直接的三角函数，但可利用降幂公式（半角公式的逆用） 化简为 .再分析 ，通过分离常数变形为 .发现两函数均关于点 中心对称，利用对称中心的性质可简化求和.
■ 推导过程：
第1步：化简 .利用二倍角公式 ，令 ，得 .
第2步：化简 .分离常数：.
第3步：识别对称中心.函数 的对称中心为 .函数 的对称中心可通过解 的对称中心求得，也为 .
第4步：由两个函数有相同的对称中心 ，且在区间 上它们的图像共有4个交点，则这4个交点两两关于点 对称.
第5步：设四个交点的纵坐标分别为 ，且 与 关于 对称，则 ；同理 .
第6步：所有交点的纵坐标之和为 .
■ 步骤总结：降幂公式化简三角函数 分离常数化简分式函数 识别共同对称中心 利用对称性分组求和.
9.（5分）
【答案速览】 C
【深度解析】
■ 思路分析：已知 ，求 .看到两个角度 与 ，需寻找它们之间的数量关系：，.这触发了诱导公式和半角公式.先用诱导公式将 转化为 ，再用半角余弦公式求 .
■ 推导过程：
第1步：利用诱导公式 ，得 ，故 .
第2步：识别 ，调用半角余弦公式 .
第3步：令 ，由于 在第一象限，余弦为正，故取正号：.
第4步：代入 ，得 .
■ 步骤总结：诱导公式转化角度关系 识别半角关系 调用半角余弦公式并取正号 代入求值.
【规律总结】
对于给定某个角的正弦或余弦值，求另一个角的问题，惯用手法是：先利用诱导公式将已知角与目标角联系起来（凑出和差、倍半、互余互补关系），再选择合适的公式求值.识别角之间的数量关系是解题的“扳机”.
五、半角与象限角的关系
10.（5分）
【答案速览】 二或四
【深度解析】
■ 思路分析：已知 是第三象限角，求 所在的象限.本题考察象限角的范围表示和分类讨论思想.首先用不等式表示第三象限角 的范围，然后将不等式两边同时除以 得到 的范围，最后对整数参数 分奇偶讨论，得出具体象限.
■ 推导过程：
第1步：用不等式表示第三象限角：，其中 .
第2步：两边除以 ：.
第3步：对整数 进行奇偶分类讨论.
当 （）时，范围变为 ，此时 的终边落在第二象限.
当 （）时，范围变为 ，即 ，此时 的终边落在第四象限.
第4步：综上， 是第二象限角或第四象限角.
■ 步骤总结：用通式表示原角范围 不等式除以 得半角范围 对参数 的奇偶性分类讨论 确定象限.
【规律总结】
判断 （为正整数）所在象限的通用方法是：先写出 的通式范围，除以 后，对参数 取 的剩余类（）进行讨论.这是处理角度倍数关系的标准化操作.
六、与同角关系及二倍角的综合
11.（10分）
【答案速览】 ，
【深度解析】
■ 思路分析：已知 和 的范围，要求 和 .先根据 的范围确定 的符号，用同角平方关系求出 ；再识别 是 的一半，调用半角余弦公式 ，最后根据 的范围确定符号.
■ 推导过程：
第1步：由 ，得 .【2分】
第2步：分析 的范围.， 的终边从第二象限的角平分线（y轴正半轴）开始，经过第二象限，到达第三象限的边界（x轴负半轴）.因为已知 ，且 在这一区间内正弦为正，所以 落在第二象限，因此 .【2分】
第3步：用同角平方关系：.【2分】
第4步：求 .由 ， 在第三象限，.用半角公式 .【2分】
第5步：代入 ，得 .【2分】
■ 步骤总结：由 范围确定 范围和 符号 同角关系求 识别半角关系 半角公式求 （再次定号）.
【易错警示】
本题需进行两次独立的符号判断：第一次根据 的范围判断 的符号；第二次根据 的范围判断 （即半角余弦）的符号.混淆这两步的符号判断是常见错误.
七、与和差角、向量等的综合应用
12.（10分）
【答案速览】 （1）；（2）
【深度解析】
（1）求
■ 思路分析：已知 .看到半角正切，要求原角的正弦、余弦、正切，触发调用“万能公式”（由表示正余弦的公式）：，.
■ 推导过程：
第1步：直接代入万能公式.
.【2分】
.【2分】
第2步：求 .【1分】
■ 步骤总结：直接代入万能公式求 求比值得 .
（2）求
■ 思路分析：两角差的正弦，调用公式 .将 代入，使用第（1）问求出的 计算.
■ 推导过程：
第1步：展开差角公式：.【2分】
第2步：代入已知值：.【2分】
第3步：计算结果：.【1分】
■ 步骤总结：识别差角公式 代入已知正余弦值及特殊角值 算术化简.
【一题多解】
第（1）问如果不使用万能公式，也可用同角关系结合半角公式逐步推导：先求出 （用设直角三角形法或解方程法），再用二倍角公式求 ，也得到相同结果.
13.（5分）
【答案速览】
【深度解析】
■ 思路分析：在三角形中已知三边求一角，这是余弦定理的标准应用场景.直接调用余弦定理的推论 即可.
■ 推导过程：
第1步：由周长条件求出边c：.
第2步：代入余弦定理：.
第3步：计算分子：；分母：.
第4步：化简：.
■ 步骤总结：由周长求第三边 代入余弦定理 求值.
14.（10分）
【答案速览】
【深度解析】
■ 思路分析：条件 是触发点.看到二次幂结构，想到用半角公式的逆用（升幂）：.化简后，再结合正弦定理边化角化简化成边的线性关系结合周长解出边结合面积公式求出最终结果.
■ 推导过程：
第1步：升幂处理..【2分】
第2步：等式两边乘2，展开：.【1分】
第3步：分组：.【1分】
第4步：用和角公式：.【1分】
第5步：由三角形内角和 ，结合诱导公式 .代入得 .【1分】
第6步：化简得 .【1分】
第7步：用正弦定理边化角 ，得 .【1分】
第8步：联立周长条件 ，代入得 .故 .【1分】
第9步：利用面积条件 ，约去 （非零），得 .【1分】
第10步：解方程组 ，由韦达定理， 为方程 的两根，即 ，故 .【1分】
■ 步骤总结：升幂（半角逆用） 三角恒等变形（和差角公式、诱导公式） 正弦定理边化角 联立周长/面积条件解方程组.
【规律总结】
在解三角形中，当条件式中出现 或 的二次方（如 ）并与边混合时，优先用半角公式的逆用进行升幂或降幂，消灭角上的系数或次数，转化为角和或差.随后利用正弦定理/余弦定理完成边角互化，这是破解此类综合题的核心思路.
15.（5分）
【答案速览】
【深度解析】
■ 思路分析：已知 ，，求 .首先，利用诱导公式化简已知条件，求出 .然后，用半角公式求 和 .最后，用两角和的正弦公式展开目标式代入求值.
■ 推导过程：
第1步：由诱导公式 .故 ，得 .
第2步：确定 的范围..这是第四象限角，.
第3步：用半角公式..
.
第4步：用和角公式展开：.
第5步：代入数值：.
■ 步骤总结：诱导公式求 确定半角范围及符号 半角公式求正余弦 和角公式展开求值.
16.（10分）
【答案速览】 B
【深度解析】
■ 思路分析：本题以向量坐标形式给出扇形的问题.弧AB的中点为C，可知 的方向是 与 夹角的角平分线方向.因此，需求 .已知 的坐标，可用数量积求出 ，再利用半角余弦公式求出 .最后由 的长度（半径13）和方向角，用坐标投影求出坐标.
■ 推导过程：
第1步：计算 与 的夹角的余弦.用数量积公式 ，其中 ，.所以 .
第2步：求 与 的夹角余弦.因为C是弧AB中点，所以 .用半角余弦公式：.
第3步：求 的坐标.设 .
第4步：由 ，得 .由于C在第一象限，，得 .
第5步：所以 .
■ 步骤总结：数量积求夹角 半角公式求一半夹角余弦 坐标投影公式求坐标.
【规律总结】
平面几何中的角平分线、弧中点等问题，在向量法中常常转化为求半角的问题.先用向量工具求出原角的三角函数值，再用半角公式求出半角的三角函数值，最后解三角形或投影求坐标，是一条通顺的思维路线.
B卷　能力提升（100分）
一、利用公式求值：给角求半角
1.（5分）
【答案速览】 D
【深度解析】
■ 思路分析：已知 为第二象限角，且满足二次方程 .首先解方程求出 ，舍去不合题意的根.然后求 （注意二象限余弦为负）.最后用半角正弦公式 ，并需要先讨论 的象限来确定最终符号是“”还是确定值.
■ 推导过程：
第1步：解关于 的二次方程 ，得 或 .
第2步：因 为第二象限角，，舍去 ，故 .
第3步：求 .
第4步：确定 的范围.由 ，得 .
第5步：对 分类讨论以确定 的符号.当 为偶数时， 在第一象限，；当 为奇数时， 在第三象限，.因此 可能在第一或第三象限， 可正可负.
第6步：调用半角正弦公式（带正负号）：.
第7步：代入求绝对值：.故 .
■ 步骤总结：解二次方程求 同角关系求 分析 范围确定半角正弦符号不唯一 半角公式求值并保留正负号.
【易错警示】
多数学生易直接得出 为某一个确定的值，忽略了第二象限角的一半可能在一、三象限，正弦符号不确定.本题核心检测是否掌握了“半角象限的讨论”.
2.（5分）
【答案速览】 B
【深度解析】
■ 思路分析：已知 是第三象限角，，求 .直接走半角正切的有理表达式 ，只需求出 （注意第三象限正弦为负）.
■ 推导过程：
第1步：由同角关系求 .
第2步：代入半角正切公式 .
第3步：.
■ 步骤总结：同角关系求 半角正切有理表达式求值.
3.（5分）
【答案速览】 A
【深度解析】
■ 思路分析：已知 且 ，求 .已知且的范围较大，直接求时符号不确定（因为可能在三或四象限）.但由于，可知在二、三象限.结合范围，可得必在第三象限（因为第二象限不在此范围）.从而.最后选用 避免讨论半角符号.
■ 推导过程：
第1步：由 且 ，确定 在第三象限，故 .
第2步：求 .
第3步：用半角正切公式 .
第4步：代入，.
■ 步骤总结：由 符号和 范围锁定象限 确定 符号并求值 选用合适的半角正切公式直接求值.
4.（10分）
【答案速览】
【深度解析】
■ 思路分析：已知 ， 为锐角.目标是求 .看到正切两角和的结构触发了和角公式.先求 ，再确定 的值范围，进而解得 —— 这等价于已知正切倍角求半角正切.
■ 推导过程：
第1步：用两角和的正切公式：.【2分】
第2步：确定 的范围. 为锐角，，故 .又因为 ，所以 为第二象限角，即 .【2分】
第3步：从而 ，在此范围内 .【1分】
第4步：已知 ，设 ，用二倍角正切公式（正用）：.【2分】
第5步：解方程 .【2分】
第6步：解二次方程得 .由于 ，舍去 （负值），故 .【1分】
■ 步骤总结：正切和角公式求 定角 值和半角符号 正切倍角公式列关于 的方程 解方程并舍去增根.
【易错警示】
典型的错误是解出 后直接保留正负两个根，未根据 在第一象限舍去负根.在利用二次方程求半角正切时，增根检验 是必要步骤.
二、利用公式求值：拼凑角问题
5.（5分）
【答案速览】 D
【深度解析】
■ 思路分析：已知 的正弦，求 .难点是 的三角值和范围均未知.处理这种“拼凑角”问题，常见解法是先求 —— 这需要借助 及两角差的余弦公式.最后再对 用半角公式.
■ 推导过程：
第1步：由已知条件求 为钝角 为锐角 .
第2步：用两角差的余弦公式：.
第3步：确定 的范围. 钝角 ， 锐角 .所以 ，则 .
第4步：在此象限余弦为正，用半角余弦公式：.
第5步：代入 ：.
■ 步骤总结：同角关系求正余弦 差角公式求 分析半角范围定符号 半角余弦公式求值.
【规律总结】
“拼凑角”问题的经典路径是：独立求相关角的正余弦 用和差角公式求目标整体角（或其组合）的三角函数值 半角（或倍角）公式求最终目标.每次调用公式时，都必须伴随对角度范围的重新确认.
三、利用公式求值：给式求值
6.（5分）
【答案速览】 C
【深度解析】
■ 思路分析：比较 的大小.这三者分别是不同的三角函数表达式的形式，首先要将它们统一化归为同名三角函数.看到 ，识别这是两角和的正弦公式的逆用.，识别为二倍角正弦的万能公式.，识别为半角正弦公式.化归后得到了 ，利用正弦函数在 单调递增比大小.
■ 推导过程：
第1步：化简 .
第2步：化简 .
第3步：化简 （因为 在第一象限，正弦为正）.
第4步：比较 .在 上，正弦函数单调递增，故 .
第5步：即 .
■ 步骤总结：和差角逆用化简 万能公式化简 半角公式化简 利用正弦函数单调性比大小.
7.（5分）
【答案速览】 A
【深度解析】
■ 思路分析：求函数 的正零点.首先，利用半角正切公式，有 .所以函数等价于 .令其为零，解三角方程.然后观察所有正零点，发现其构成一个等差数列，用数列求和公式求出和 ，最后利用诱导公式求 .
■ 推导过程：
第1步：化简函数..
第2步：求零点.令 ，即 ，且分母 .
第3步：解 .得 ，.所以 .
第4步：检查分母 .当 （奇数个）时，分母为零.代入 ，，分母不为零，所以全部合法.
第5步：找出所有正的零点.令 ，得 ，即从 开始为正.所以第1个正零点 ，第2个 ，依次类推.这是一个首项为 ，公差为 的等差数列.
第6步：求前2015项的和 ，公项公式 .
.
第7步：求 .利用三角函数周期性..偶整数倍的是周期的整数倍，可省略.所以 .
第8步：化简角度..由于 的周期是 ，计算其除以 的余数：.故相当于 .
■ 步骤总结：半角正切化简函数 解三角方程求通解 判定零点数列特征 等差数列求和 诱导公式周期性化归求值.
四、公式的逆用与化简
8.（5分）
【答案速览】 D
【深度解析】
■ 思路分析：已知 和 ，求 的值.一种典型方法是先求平方：.因此需要利用同角关系求出 ，再确定符号.由于平方后开方需判号，可用辅助角公式 ，结合 的范围精确判定和的符号.
■ 推导过程：
第1步：由 且 ，可知 在第三象限，即 .所以 .
第2步：求 .
第3步：求目标式的平方.令 ，则 .
第4步：确定 的符号.由 ，得 .利用辅助角公式：.因为 ，两边加 得 .此区间内正弦为负，所以 .
第5步：结合 且 ，得 .
■ 步骤总结：由 及范围求 平方求 辅助角公式结合半角范围定号 得出结果.
9.（5分）
【答案速览】
【深度解析】
■ 思路分析：求 的值.已知 和象限，首先可由同角关系求 .观察这个分式，分子分母都含 ，结构类似正切的和角公式 ，也可弦化切直接化简为与 相关的有理式.
■ 推导过程：
第1步：求 在第三象限，.
第2步：利用半角恒等式的重要推论：.分子分母同乘 得：
.
第3步：代入 ：.
■ 步骤总结：同角关系求 弦化切化简分式为 代入求值.
【规律总结】
含 的齐次分式（如 ），通常可弦化切（分子分母同乘 ）转化为正余弦的表达式，并最终化简为关于 的式子.这种方法能有效避开对半角的直观讨论.
10.（5分）
【答案速览】
【深度解析】
■ 思路分析：已知 ， 的范围，求 .看到 与 ，立即触发降幂公式（半角公式逆用）：.然后开方，根据 范围决定符号.
■ 推导过程：
第1步：用降幂公式 .
第2步：代入 ，得 .
第3步：由 知 在第一象限，.
第4步：开方得 .
■ 步骤总结：识别降幂关系 代入公式求平方值 由角范围定号 开方求值.
五、与向量、正弦定理等综合应用
11.（5分）
【答案速览】 C
【深度解析】
■ 思路分析：向量平行的坐标表示是 .由 列出等式：.看到边和角的正弦混合，触发了正弦定理进行边化角：.代入后可约去 ，得到仅含 的三角方程 .约去非零因式，求出 ，即可求得 .
■ 推导过程：
第1步：由 ，得 .
第2步：用正弦定理边化角，，代入得 .
第3步：在 中，，两边约去 ，得 .
第4步：用二倍角公式 ，代入得 .
第5步：因 ，则 ，.两边约去，得 ，即 .
第6步：由 知 ，故 .
■ 步骤总结：向量平行坐标等式 正弦定理边化角 约去公因数 二倍角公式化简 解简单三角方程求得内角.
【规律总结】
向量与解三角形的综合题，互译是关键：向量条件（平行/垂直） 坐标等式 正弦/余弦定理代换 三角恒等变换 求角或边.
12.（5分）
【答案速览】
【深度解析】
■ 思路分析：已知 及 范围，求 .先用诱导公式化简已知条件求 .再由范围求 .接着用二倍角公式求 .最后用和角公式展开目标式并代入求值.
■ 推导过程：
第1步：诱导公式：.故 .【1分】
第2步：由 ，得 .【1分】
第3步：求二倍角值：.【1分】
.【1分】
第4步：展开目标式：.
第5步：代入二倍角值：.【1分】
■ 步骤总结：诱导公式求 同角关系求 二倍角公式求 和角公式求值.
13.（10分）
【答案速览】
【深度解析】
■ 思路分析：承接第12题，已得 ，要求 .由于 ，，正切为负.可用多种方法，这里展示解方程法.
■ 推导过程：
第1步：求 .【2分】
第2步：用二倍角正切公式：.设 ，得 .【3分】
第3步：整理为二次方程：.【2分】
第4步：因式分解：，解得 或 .【2分】
第5步：由 ，正切为负，故舍去 ，得 .【1分】
■ 步骤总结：同角关系求 二倍角正切公式列二次方程 解方程 根据半角范围舍去增根.
六、与正余弦定理的综合应用
14.（15分）
【答案速览】 （1）；（2）
【深度解析】
（1）同A卷第13题，略.
（2）解析同A卷第14题，分值分配一致.
■ 推导过程：
第1步：升幂处理..【2分】
第2步：等式两边乘2，展开：.【1分】
第3步：分组：.【1分】
第4步：用和角公式：.【1分】
第5步：由三角形内角和 ，结合诱导公式 .代入得 .【1分】
第6步：化简得 .【1分】
第7步：用正弦定理边化角 ，得 .【1分】
第8步：联立周长条件 ，代入得 .故 .【1分】
第9步：利用面积条件 ，约去 （非零），得 .【1分】
第10步：解方程组 ，由韦达定理， 为方程 的两根，即 ，故 .【5分】
■ 步骤总结：升幂（半角逆用） 三角恒等变形（和差角公式、诱导公式） 正弦定理边化角 联立周长/面积条件解方程组.
七、抽象与符号运算能力
15.（10分）
【答案速览】 ，，
【深度解析】
■ 思路分析：已知 及 的范围，用 表示 、、.这要求将三角函数公式与代数运算符号结合.首先用同角平方关系求出 （注意由象限定号），然后分别依据正切的定义、倍角公式、半角公式依次代入 和 的表达式，并化简为关于 的代数式.
■ 推导过程：
第1步：确定 即第三象限，.故 .【1分】
第2步：求 .由正切定义：.【2分】
第3步：求 .使用二倍角正切公式 ，代入 的表达式.
分子：.
分母：.
因此，.【4分】
第4步：求 .使用半角正切公式（带根号并判符号）.因 ，得 ，正切为负.故 .【3分】
■ 步骤总结：同角关系求 （含参数） 定义式求 倍角公式求 （分式化简） 半角公式求 （根式化简）.
【规律总结】
参数化的三角函数求值，实质是将公式中的数字替换为代数符号，进行严格的有理运算和根式运算.特别注意两点：一是 开方后定号，二是每一步公式代入准确无遗漏.第四章 3.2 半角公式 课时同步练习（教师版）
卷首导学
核心易错点：
1. 半角符号的判断——利用半角公式开方时，必须由已知角的范围来确定 所在的象限，从而确定三角函数值的正负号.忽略象限限制是导致结果多解或符号错误的根本原因.
2. 半角正切公式的选择—— 有多种表达式（、、），相互等价但不能混用范围.在具体计算中，根据已知条件选择合适的表达式能有效简化计算并避开符号讨论.
3. 拼凑角问题的范围再确认——当问题涉及 的半角时，必须重新计算 的范围，再定半角符号.不能想当然地将原角的范围直接减半使用.
4. 公式逆用意识薄弱——遇到 、 等结构时，应迅速联想到它们是 、 的2倍，这种升幂或降幂的变形是化简与求值的关键突破口，缺乏这种意识会导致解题路径堵塞.
训练目标：
1. 能够熟练运用半角公式（正弦、余弦、正切）进行给定角的三角函数求值.
2. 能够根据已知角的范围，准确判断半角的象限并正确选取三角函数值的符号.
3. 能够灵活逆用半角公式进行化简（如升幂、降幂）和解决简单的证明问题.
4. 能够在三角形、向量等复杂背景下，综合运用半角公式、和差公式及正余弦定理解决问题.
第 2 页，共 17 页
A卷　基础巩固（100分）
1 2 3 4 5 6
C 1 B A B
7 8 9 10 11 12
B B C 二或四 ; （1） , , ; （2）
13 14 15 16
B
一、半角公式的直接应用
1.（单选）（5分）
（ 　　）
A.
B.
C.
D.
【答案速览】 C
【深度解析】
■ 思路分析：本题要求计算 的精确值.看到特殊角 ，联想到它可表示为 的一半，触发调用半角余弦公式 .代入 即可求得结果.
■ 推导过程：
第1步：识别关系 .
第2步：调用半角余弦公式 .
第3步：代入 ，得 .
第4步：代入 ，得 .
第5步：化简复合二次根式.将分子分母同乘 ，得 .
第6步：注意到 ，因此 .
■ 步骤总结：识别半角关系 调用半角余弦公式 代入特殊角函数值 化简复合二次根式.
【规律总结】
对于 等非特殊角，通常利用半角公式或和差角公式转化为 等特殊角的组合来求精确值.识别角之间的倍数或和差关系是解题的入口.
2.（填空）（5分）
____
【答案速览】 1
【深度解析】
■ 思路分析：题目给出含 的表达式 .看到 ，应联想到二倍角公式的推论（升幂公式），这实质上是半角公式的逆用.将 用 表示即可化简.
■ 推导过程：
第1步：由二倍角余弦公式 ，得 .
第2步：令 ，则 .
第3步：代入原式：.
第4步：合并同类项，得结果为 .
■ 步骤总结：识别平方结构 逆向调用二倍角公式升幂 代数化简消去 .
【规律总结】
遇到形如 的结构，应优先想到它们与 的升幂（降幂）关系：，.这种逆用是化简含倍角、半角关系式的主流方法.
二、利用公式求值：给角求半角
3.（单选）（5分）
已知 ，，则 等于（ 　　）
A.
B.
C.
D.
【答案速览】 B
【深度解析】
■ 思路分析：已知 且 ，求 .条件触发了半角余弦公式 .关键步骤是根据 的范围推算出 的范围，从而确定公式外正负号的正确选取.
■ 推导过程：
第1步：确定 的范围.由 ，两边同除以 ，得 .
第2步：判断符号. 在第二象限，此象限内余弦值为负，故 .
第3步：调用半角余弦公式，取负号：.
第4步：代入已知值 ，得 .
第5步：化简得 .
■ 步骤总结：由 范围定 象限 确定半角余弦符号 代入公式求值 化简.
【易错警示】
本题的典型错误是忽略对 所在象限的判断，直接取正号得到 （选项A），或记忆公式错误用成半角正弦公式得到其他错误选项.核心原则：半角公式开方后，符号由半角所在象限决定，而非原角象限.
4.（单选）（5分）
若角 的终边过点 ，则 的值为（ 　　）
A.
B.
C. 或
D. 或
【答案速览】 A
【深度解析】
■ 思路分析：已知角 终边上一点 ，求 .首先由终边上点的坐标，利用任意角三角函数定义求出 和 ，再用半角正切公式 计算.
■ 推导过程：
第1步：计算终边点到原点的距离 .
第2步：用三角函数定义：，.
第3步：选用半角正切公式 （此公式不含根号选择，直接代入计算，避免符号讨论，在已知时最简）.
第4步：代入 的值：.
第5步：分母有理化，得 .
■ 步骤总结：由终边点求三角函数值 选择半角正切有理表达式 代数化简求值.
【规律总结】
当已知 求 时，优先使用有理表达式 ，可完全避开对半角象限的讨论，简化计算.
5.（单选）（5分）
若 ，，则 （ 　　）
A.
B.
C.
D.
【答案速览】 B
【深度解析】
■ 思路分析：已知 且 ，求 .思路一是先求 ，再用半角正切的有理表达式；思路二是先求 ，再用二倍角正切公式（视为的二倍角）解二次方程.本题采用解法一.
■ 推导过程：
第1步：由 ，得 .
第2步：由 知 ，故 .
第3步：选用半角正切公式 .
第4步：代入得 .
■ 步骤总结：同角关系求 选用半角正切有理表达式 代入求值.
【一题多解】
解法二（二倍角公式法）：
第1步：.
第2步：由二倍角公式 ，设 ，得 .
第3步：整理得 ，解得 或 .
第4步：由 得 ，，故舍去负根，得 .
6.（填空）（5分）
若 且 ，则 ____
【答案速览】
【深度解析】
■ 思路分析：已知 且 ，求 .与第5题考点相同，但的范围包含了第一象限和第二象限，取正值，故结果唯一.
■ 推导过程：
第1步：由 ，得 .
第2步：由 知 ，故 .
第3步：代入 .
■ 步骤总结：同角关系求 选用半角正切有理表达式 代入求值.
三、利用公式求值：给式求值
7.（单选）（5分）
已知 ，，则 的值是（ 　　）
A.
B.
C.
D.
【答案速览】 B
【深度解析】
■ 思路分析：已知 及 的范围，求 .这触发了同角三角函数基本关系与方程思想的结合：将已知等式平方，可求出 ，进而求出 ，联立方程组解出 和 ，最后求比值.
■ 推导过程：
第1步：将已知等式平方：.
第2步：展开得 .
第3步：代入 ，得 ，解得 .
第4步：计算 .
第5步：由 且 ，结合 ，可推得 ，此时 ，故 .
第6步：开方取负，.
第7步：联立方程组：
两式相加得 ，故 ；
两式相减得 ，故 .
第8步：.
■ 步骤总结：平方已知等式 求 求 （注意符号） 联立解出正余弦 求比值.
【规律总结】
对于给出 与角的范围，求 或单个三角函数值的问题，“平方一减”是标准化操作.通过平方求得 ，再用 求出 ，最后解方程组.符号判断是此类题的核心易错点.
四、公式的逆用与化简
8.（单选）（5分）
函数 的图像与函数 的图像所有交点的纵坐标之和等于（ 　　）
A. 2
B. 4
C. 6
D. 8
【答案速览】 B
【深度解析】
■ 思路分析：首先要识别 并非直接的三角函数，但可利用降幂公式（半角公式的逆用） 化简为 .再分析 ，通过分离常数变形为 .发现两函数均关于点 中心对称，利用对称中心的性质可简化求和.
■ 推导过程：
第1步：化简 .利用二倍角公式 ，令 ，得 .
第2步：化简 .分离常数：.
第3步：识别对称中心.函数 的对称中心为 .函数 的对称中心可通过解 的对称中心求得，也为 .
第4步：由两个函数有相同的对称中心 ，且在区间 上它们的图像共有4个交点，则这4个交点两两关于点 对称.
第5步：设四个交点的纵坐标分别为 ，且 与 关于 对称，则 ；同理 .
第6步：所有交点的纵坐标之和为 .
■ 步骤总结：降幂公式化简三角函数 分离常数化简分式函数 识别共同对称中心 利用对称性分组求和.
9.（单选）（5分）
若 ，则 （ 　　）
A.
B.
C.
D.
【答案速览】 C
【深度解析】
■ 思路分析：已知 ，求 .看到两个角度 与 ，需寻找它们之间的数量关系：，.这触发了诱导公式和半角公式.先用诱导公式将 转化为 ，再用半角余弦公式求 .
■ 推导过程：
第1步：利用诱导公式 ，得 ，故 .
第2步：识别 ，调用半角余弦公式 .
第3步：令 ，由于 在第一象限，余弦为正，故取正号：.
第4步：代入 ，得 .
■ 步骤总结：诱导公式转化角度关系 识别半角关系 调用半角余弦公式并取正号 代入求值.
【规律总结】
对于给定某个角的正弦或余弦值，求另一个角的问题，惯用手法是：先利用诱导公式将已知角与目标角联系起来（凑出和差、倍半、互余互补关系），再选择合适的公式求值.识别角之间的数量关系是解题的“扳机”.
五、半角与象限角的关系
10.（填空）（5分）
已知 为第三象限角，则 是第____象限角
【答案速览】 二或四
【深度解析】
■ 思路分析：已知 是第三象限角，求 所在的象限.本题考察象限角的范围表示和分类讨论思想.首先用不等式表示第三象限角 的范围，然后将不等式两边同时除以 得到 的范围，最后对整数参数 分奇偶讨论，得出具体象限.
■ 推导过程：
第1步：用不等式表示第三象限角：，其中 .
第2步：两边除以 ：.
第3步：对整数 进行奇偶分类讨论.
当 （）时，范围变为 ，此时 的终边落在第二象限.
当 （）时，范围变为 ，即 ，此时 的终边落在第四象限.
第4步：综上， 是第二象限角或第四象限角.
■ 步骤总结：用通式表示原角范围 不等式除以 得半角范围 对参数 的奇偶性分类讨论 确定象限.
【规律总结】
判断 （为正整数）所在象限的通用方法是：先写出 的通式范围，除以 后，对参数 取 的剩余类（）进行讨论.这是处理角度倍数关系的标准化操作.
六、与同角关系及二倍角的综合
11.（解答）（10分）
已知 ，，求 及 的值.
【答案速览】 ，
【深度解析】
■ 思路分析：已知 和 的范围，要求 和 .先根据 的范围确定 的符号，用同角平方关系求出 ；再识别 是 的一半，调用半角余弦公式 ，最后根据 的范围确定符号.
■ 推导过程：
第1步：由 ，得 .【2分】
第2步：分析 的范围.， 的终边从第二象限的角平分线（y轴正半轴）开始，经过第二象限，到达第三象限的边界（x轴负半轴）.因为已知 ，且 在这一区间内正弦为正，所以 落在第二象限，因此 .【2分】
第3步：用同角平方关系：.【2分】
第4步：求 .由 ， 在第三象限，.用半角公式 .【2分】
第5步：代入 ，得 .【2分】
■ 步骤总结：由 范围确定 范围和 符号 同角关系求 识别半角关系 半角公式求 （再次定号）.
【易错警示】
本题需进行两次独立的符号判断：第一次根据 的范围判断 的符号；第二次根据 的范围判断 （即半角余弦）的符号.混淆这两步的符号判断是常见错误.
七、与和差角、向量等的综合应用
12.（解答）（10分）
已知 ，求
（1）， 及 的值；
（2）
【答案速览】 （1）；（2）
【深度解析】
（1）求
■ 思路分析：已知 .看到半角正切，要求原角的正弦、余弦、正切，触发调用“万能公式”（由表示正余弦的公式）：，.
■ 推导过程：
第1步：直接代入万能公式.
.【2分】
.【2分】
第2步：求 .【1分】
■ 步骤总结：直接代入万能公式求 求比值得 .
（2）求
■ 思路分析：两角差的正弦，调用公式 .将 代入，使用第（1）问求出的 计算.
■ 推导过程：
第1步：展开差角公式：.【2分】
第2步：代入已知值：.【2分】
第3步：计算结果：.【1分】
■ 步骤总结：识别差角公式 代入已知正余弦值及特殊角值 算术化简.
【一题多解】
第（1）问如果不使用万能公式，也可用同角关系结合半角公式逐步推导：先求出 （用设直角三角形法或解方程法），再用二倍角公式求 ，也得到相同结果.
13.（解答）（5分）
在 中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 .
（1）若 ，，求 的值；
【答案速览】
【深度解析】
■ 思路分析：在三角形中已知三边求一角，这是余弦定理的标准应用场景.直接调用余弦定理的推论 即可.
■ 推导过程：
第1步：由周长条件求出边c：.
第2步：代入余弦定理：.
第3步：计算分子：；分母：.
第4步：化简：.
■ 步骤总结：由周长求第三边 代入余弦定理 求值.
14.（解答）（10分）
（2）若 ，且 的面积 ，求a和b的值.
【答案速览】
【深度解析】
■ 思路分析：条件 是触发点.看到二次幂结构，想到用半角公式的逆用（升幂）：.化简后，再结合正弦定理边化角化简化成边的线性关系结合周长解出边结合面积公式求出最终结果.
■ 推导过程：
第1步：升幂处理..【2分】
第2步：等式两边乘2，展开：.【1分】
第3步：分组：.【1分】
第4步：用和角公式：.【1分】
第5步：由三角形内角和 ，结合诱导公式 .代入得 .【1分】
第6步：化简得 .【1分】
第7步：用正弦定理边化角 ，得 .【1分】
第8步：联立周长条件 ，代入得 .故 .【1分】
第9步：利用面积条件 ，约去 （非零），得 .【1分】
第10步：解方程组 ，由韦达定理， 为方程 的两根，即 ，故 .【1分】
■ 步骤总结：升幂（半角逆用） 三角恒等变形（和差角公式、诱导公式） 正弦定理边化角 联立周长/面积条件解方程组.
【规律总结】
在解三角形中，当条件式中出现 或 的二次方（如 ）并与边混合时，优先用半角公式的逆用进行升幂或降幂，消灭角上的系数或次数，转化为角和或差.随后利用正弦定理/余弦定理完成边角互化，这是破解此类综合题的核心思路.
15.（填空）（5分）
已知 ，，则 ____
【答案速览】
【深度解析】
■ 思路分析：已知 ，，求 .首先，利用诱导公式化简已知条件，求出 .然后，用半角公式求 和 .最后，用两角和的正弦公式展开目标式代入求值.
■ 推导过程：
第1步：由诱导公式 .故 ，得 .
第2步：确定 的范围..这是第四象限角，.
第3步：用半角公式..
.
第4步：用和角公式展开：.
第5步：代入数值：.
■ 步骤总结：诱导公式求 确定半角范围及符号 半角公式求正余弦 和角公式展开求值.
16.（单选）（10分）
已知扇形AOB的半径为13，以O为原点建立如图所示的平面直角坐标系，，弧AB的中点为 ，则 （ 　　）
A.
B.
C.
D.
【答案速览】 B
【深度解析】
■ 思路分析：本题以向量坐标形式给出扇形的问题.弧AB的中点为C，可知 的方向是 与 夹角的角平分线方向.因此，需求 .已知 的坐标，可用数量积求出 ，再利用半角余弦公式求出 .最后由 的长度（半径13）和方向角，用坐标投影求出坐标.
■ 推导过程：
第1步：计算 与 的夹角的余弦.用数量积公式 ，其中 ，.所以 .
第2步：求 与 的夹角余弦.因为C是弧AB中点，所以 .用半角余弦公式：.
第3步：求 的坐标.设 .
第4步：由 ，得 .由于C在第一象限，，得 .
第5步：所以 .
■ 步骤总结：数量积求夹角 半角公式求一半夹角余弦 坐标投影公式求坐标.
【规律总结】
平面几何中的角平分线、弧中点等问题，在向量法中常常转化为求半角的问题.先用向量工具求出原角的三角函数值，再用半角公式求出半角的三角函数值，最后解三角形或投影求坐标，是一条通顺的思维路线.
B卷　能力提升（100分）
1 2 3 4 5 6
D B A D C
7 8 9 10 11 12
A D C
13 14 15
-2 （1） ; （2） ; ;
一、利用公式求值：给角求半角
1.（单选）（5分）
已知 为第二象限角，，则 的值为（ 　　）
A.
B.
C.
D.
【答案速览】 D
【深度解析】
■ 思路分析：已知 为第二象限角，且满足二次方程 .首先解方程求出 ，舍去不合题意的根.然后求 （注意二象限余弦为负）.最后用半角正弦公式 ，并需要先讨论 的象限来确定最终符号是“”还是确定值.
■ 推导过程：
第1步：解关于 的二次方程 ，得 或 .
第2步：因 为第二象限角，，舍去 ，故 .
第3步：求 .
第4步：确定 的范围.由 ，得 .
第5步：对 分类讨论以确定 的符号.当 为偶数时， 在第一象限，；当 为奇数时， 在第三象限，.因此 可能在第一或第三象限， 可正可负.
第6步：调用半角正弦公式（带正负号）：.
第7步：代入求绝对值：.故 .
■ 步骤总结：解二次方程求 同角关系求 分析 范围确定半角正弦符号不唯一 半角公式求值并保留正负号.
【易错警示】
多数学生易直接得出 为某一个确定的值，忽略了第二象限角的一半可能在一、三象限，正弦符号不确定.本题核心检测是否掌握了“半角象限的讨论”.
2.（单选）（5分）
设 是第三象限角，，则 （ 　　）
A. -3
B. -2
C. 2
D. 3
【答案速览】 B
【深度解析】
■ 思路分析：已知 是第三象限角，，求 .直接走半角正切的有理表达式 ，只需求出 （注意第三象限正弦为负）.
■ 推导过程：
第1步：由同角关系求 .
第2步：代入半角正切公式 .
第3步：.
■ 步骤总结：同角关系求 半角正切有理表达式求值.
3.（单选）（5分）
已知 ，且 ，则 （ 　　）
A.
B.
C.
D.
【答案速览】 A
【深度解析】
■ 思路分析：已知 且 ，求 .已知且的范围较大，直接求时符号不确定（因为可能在三或四象限）.但由于，可知在二、三象限.结合范围，可得必在第三象限（因为第二象限不在此范围）.从而.最后选用 避免讨论半角符号.
■ 推导过程：
第1步：由 且 ，确定 在第三象限，故 .
第2步：求 .
第3步：用半角正切公式 .
第4步：代入，.
■ 步骤总结：由 符号和 范围锁定象限 确定 符号并求值 选用合适的半角正切公式直接求值.
4.（解答）（10分）
已知 ，，且 、 都是锐角，求 的值.
【答案速览】
【深度解析】
■ 思路分析：已知 ， 为锐角.目标是求 .看到正切两角和的结构触发了和角公式.先求 ，再确定 的值范围，进而解得 —— 这等价于已知正切倍角求半角正切.
■ 推导过程：
第1步：用两角和的正切公式：.【2分】
第2步：确定 的范围. 为锐角，，故 .又因为 ，所以 为第二象限角，即 .【2分】
第3步：从而 ，在此范围内 .【1分】
第4步：已知 ，设 ，用二倍角正切公式（正用）：.【2分】
第5步：解方程 .【2分】
第6步：解二次方程得 .由于 ，舍去 （负值），故 .【1分】
■ 步骤总结：正切和角公式求 定角 值和半角符号 正切倍角公式列关于 的方程 解方程并舍去增根.
【易错警示】
典型的错误是解出 后直接保留正负两个根，未根据 在第一象限舍去负根.在利用二次方程求半角正切时，增根检验 是必要步骤.
二、利用公式求值：拼凑角问题
5.（单选）（5分）
已知 为钝角， 为锐角，且 ，，则 的值为（ 　　）
A.
B.
C.
D.
【答案速览】 D
【深度解析】
■ 思路分析：已知 的正弦，求 .难点是 的三角值和范围均未知.处理这种“拼凑角”问题，常见解法是先求 —— 这需要借助 及两角差的余弦公式.最后再对 用半角公式.
■ 推导过程：
第1步：由已知条件求 为钝角 为锐角 .
第2步：用两角差的余弦公式：.
第3步：确定 的范围. 钝角 ， 锐角 .所以 ，则 .
第4步：在此象限余弦为正，用半角余弦公式：.
第5步：代入 ：.
■ 步骤总结：同角关系求正余弦 差角公式求 分析半角范围定符号 半角余弦公式求值.
【规律总结】
“拼凑角”问题的经典路径是：独立求相关角的正余弦 用和差角公式求目标整体角（或其组合）的三角函数值 半角（或倍角）公式求最终目标.每次调用公式时，都必须伴随对角度范围的重新确认.
三、利用公式求值：给式求值
6.（单选）（5分）
设 ，，，则有（ 　　）
A.
B.
C.
D.
【答案速览】 C
【深度解析】
■ 思路分析：比较 的大小.这三者分别是不同的三角函数表达式的形式，首先要将它们统一化归为同名三角函数.看到 ，识别这是两角和的正弦公式的逆用.，识别为二倍角正弦的万能公式.，识别为半角正弦公式.化归后得到了 ，利用正弦函数在 单调递增比大小.
■ 推导过程：
第1步：化简 .
第2步：化简 .
第3步：化简 （因为 在第一象限，正弦为正）.
第4步：比较 .在 上，正弦函数单调递增，故 .
第5步：即 .
■ 步骤总结：和差角逆用化简 万能公式化简 半角公式化简 利用正弦函数单调性比大小.
7.（单选）（5分）
设函数 的所有正的零点从小到大依次为 ，设 ，则 的值是（ 　　）
A. 0
B.
C.
D. 1
【答案速览】 A
【深度解析】
■ 思路分析：求函数 的正零点.首先，利用半角正切公式，有 .所以函数等价于 .令其为零，解三角方程.然后观察所有正零点，发现其构成一个等差数列，用数列求和公式求出和 ，最后利用诱导公式求 .
■ 推导过程：
第1步：化简函数..
第2步：求零点.令 ，即 ，且分母 .
第3步：解 .得 ，.所以 .
第4步：检查分母 .当 （奇数个）时，分母为零.代入 ，，分母不为零，所以全部合法.
第5步：找出所有正的零点.令 ，得 ，即从 开始为正.所以第1个正零点 ，第2个 ，依次类推.这是一个首项为 ，公差为 的等差数列.
第6步：求前2015项的和 ，公项公式 .
.
第7步：求 .利用三角函数周期性..偶整数倍的是周期的整数倍，可省略.所以 .
第8步：化简角度..由于 的周期是 ，计算其除以 的余数：.故相当于 .
■ 步骤总结：半角正切化简函数 解三角方程求通解 判定零点数列特征 等差数列求和 诱导公式周期性化归求值.
四、公式的逆用与化简
8.（多选）（5分）
已知 ，，则 （ 　　）
A.
B.
C.
D.
【答案速览】 D
【深度解析】
■ 思路分析：已知 和 ，求 的值.一种典型方法是先求平方：.因此需要利用同角关系求出 ，再确定符号.由于平方后开方需判号，可用辅助角公式 ，结合 的范围精确判定和的符号.
■ 推导过程：
第1步：由 且 ，可知 在第三象限，即 .所以 .
第2步：求 .
第3步：求目标式的平方.令 ，则 .
第4步：确定 的符号.由 ，得 .利用辅助角公式：.因为 ，两边加 得 .此区间内正弦为负，所以 .
第5步：结合 且 ，得 .
■ 步骤总结：由 及范围求 平方求 辅助角公式结合半角范围定号 得出结果.
9.（填空）（5分）
若 ， 是第三象限的角，则 ____
【答案速览】
【深度解析】
■ 思路分析：求 的值.已知 和象限，首先可由同角关系求 .观察这个分式，分子分母都含 ，结构类似正切的和角公式 ，也可弦化切直接化简为与 相关的有理式.
■ 推导过程：
第1步：求 在第三象限，.
第2步：利用半角恒等式的重要推论：.分子分母同乘 得：
.
第3步：代入 ：.
■ 步骤总结：同角关系求 弦化切化简分式为 代入求值.
【规律总结】
含 的齐次分式（如 ），通常可弦化切（分子分母同乘 ）转化为正余弦的表达式，并最终化简为关于 的式子.这种方法能有效避开对半角的直观讨论.
10.（填空）（5分）
若 ，，则 ____
【答案速览】
【深度解析】
■ 思路分析：已知 ， 的范围，求 .看到 与 ，立即触发降幂公式（半角公式逆用）：.然后开方，根据 范围决定符号.
■ 推导过程：
第1步：用降幂公式 .
第2步：代入 ，得 .
第3步：由 知 在第一象限，.
第4步：开方得 .
■ 步骤总结：识别降幂关系 代入公式求平方值 由角范围定号 开方求值.
五、与向量、正弦定理等综合应用
11.（单选）（5分）
记 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设向量 若 ，则 （ 　　）
A.
B.
C.
D.
【答案速览】 C
【深度解析】
■ 思路分析：向量平行的坐标表示是 .由 列出等式：.看到边和角的正弦混合，触发了正弦定理进行边化角：.代入后可约去 ，得到仅含 的三角方程 .约去非零因式，求出 ，即可求得 .
■ 推导过程：
第1步：由 ，得 .
第2步：用正弦定理边化角，，代入得 .
第3步：在 中，，两边约去 ，得 .
第4步：用二倍角公式 ，代入得 .
第5步：因 ，则 ，.两边约去，得 ，即 .
第6步：由 知 ，故 .
■ 步骤总结：向量平行坐标等式 正弦定理边化角 约去公因数 二倍角公式化简 解简单三角方程求得内角.
【规律总结】
向量与解三角形的综合题，互译是关键：向量条件（平行/垂直） 坐标等式 正弦/余弦定理代换 三角恒等变换 求角或边.
12.（解答）（5分）
已知 ，
（1）求 的值；
【答案速览】
【深度解析】
■ 思路分析：已知 及 范围，求 .先用诱导公式化简已知条件求 .再由范围求 .接着用二倍角公式求 .最后用和角公式展开目标式并代入求值.
■ 推导过程：
第1步：诱导公式：.故 .【1分】
第2步：由 ，得 .【1分】
第3步：求二倍角值：.【1分】
.【1分】
第4步：展开目标式：.
第5步：代入二倍角值：.【1分】
■ 步骤总结：诱导公式求 同角关系求 二倍角公式求 和角公式求值.
13.（解答）（10分）
（2）求 的值.
【答案速览】
【深度解析】
■ 思路分析：承接第12题，已得 ，要求 .由于 ，，正切为负.可用多种方法，这里展示解方程法.
■ 推导过程：
第1步：求 .【2分】
第2步：用二倍角正切公式：.设 ，得 .【3分】
第3步：整理为二次方程：.【2分】
第4步：因式分解：，解得 或 .【2分】
第5步：由 ，正切为负，故舍去 ，得 .【1分】
■ 步骤总结：同角关系求 二倍角正切公式列二次方程 解方程 根据半角范围舍去增根.
六、与正余弦定理的综合应用
14.（解答）（15分）
在 中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 .
（1）若 ，，求 的值；
（2）若 ，且 的面积 ，求a和b的值.
【答案速览】 （1）；（2）
【深度解析】
（1）同A卷第13题，略.
（2）解析同A卷第14题，分值分配一致.
■ 推导过程：
第1步：升幂处理..【2分】
第2步：等式两边乘2，展开：.【1分】
第3步：分组：.【1分】
第4步：用和角公式：.【1分】
第5步：由三角形内角和 ，结合诱导公式 .代入得 .【1分】
第6步：化简得 .【1分】
第7步：用正弦定理边化角 ，得 .【1分】
第8步：联立周长条件 ，代入得 .故 .【1分】
第9步：利用面积条件 ，约去 （非零），得 .【1分】
第10步：解方程组 ，由韦达定理， 为方程 的两根，即 ，故 .【5分】
■ 步骤总结：升幂（半角逆用） 三角恒等变形（和差角公式、诱导公式） 正弦定理边化角 联立周长/面积条件解方程组.
七、抽象与符号运算能力
15.（解答）（10分）
已知 ，，请用 分别表示 、、
【答案速览】 ，，
【深度解析】
■ 思路分析：已知 及 的范围，用 表示 、、.这要求将三角函数公式与代数运算符号结合.首先用同角平方关系求出 （注意由象限定号），然后分别依据正切的定义、倍角公式、半角公式依次代入 和 的表达式，并化简为关于 的代数式.
■ 推导过程：
第1步：确定 即第三象限，.故 .【1分】
第2步：求 .由正切定义：.【2分】
第3步：求 .使用二倍角正切公式 ，代入 的表达式.
分子：.
分母：.
因此，.【4分】
第4步：求 .使用半角正切公式（带根号并判符号）.因 ，得 ，正切为负.故 .【3分】
■ 步骤总结：同角关系求 （含参数） 定义式求 倍角公式求 （分式化简） 半角公式求 （根式化简）.
【规律总结】
参数化的三角函数求值，实质是将公式中的数字替换为代数符号，进行严格的有理运算和根式运算.特别注意两点：一是 开方后定号，二是每一步公式代入准确无遗漏.
教师版使用说明
请在讲解时重点关注以下题目：
易错题：A卷第3题（半角符号判断）、A卷第11题（两次独立符号判定）、B卷第1题（象限讨论易遗漏）、B卷第3题（忽视范围锁定象限）、B卷第4题（方程增根检验）.
方法题：A卷第7题（平方一减联立方程组求值）、B卷第5题（拼凑角经典三步法）、B卷第11题（向量与解三角形的互译）.
压轴题：A卷第16题（向量几何与半角）、B卷第7题（零点数列与周期）、B卷第15题（参数抽象运算）.

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