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第五章 1.1 复数的概念 课时同步练习
卷首导学
核心易错点：
1. 纯虚数的条件不完整——判断纯虚数时，只令实部为零，而忽略虚部必须不为零的条件，这是最常见的失分点.
2. 虚部概念的混淆——复数的虚部是虚数单位 前的实数系数（如 的虚部是 ），不能将 也写入虚部.
3. 复数相等的对应关系——利用复数相等 列方程组时，必须让实部与实部对应、虚部与虚部对应，切不可交叉配对.
训练目标：
1. 能够准确识别复数的实部与虚部，并正确区分实数、虚数和纯虚数.
2. 能够熟练运用虚数单位 的运算性质（特别是 和周期性）进行化简与计算.
3. 能够利用复数相等的充要条件，建立方程组求解参数.
4. 能够将复数分类、复数相等与方程结合，解决简单的综合问题.
第 2 页，共 17 页
A卷　基础巩固（100分）
一、虚数单位的性质与运算
1.（单选）（8分）
复数 的虚部是（ 　　）
A. 1
B. -1
C.
D.
2.（填空）（8分）
已知 是虚数单位，则 ____.
二、复数的分类与概念辨析
3.（单选）（8分）
若复数 的实部为 ，虚部为 ，则 （ 　　）
A. 7
B. 5
C. -1
D. 9
4.（单选）（8分）
已知复数 是纯虚数，则 （ 　　）
A. 0
B. 1
C. -1
D. ±1
5.（填空）（8分）
设 为虚数单位，若复数 是纯虚数，则实数 的值为 ____.
6.（多选）（10分）
设 是 的共轭复数，下列说法正确的是（ 　　）
A.
B. 若 ，则
C. 若 ，则
D. 是实数
7.（解答）（16分）
实数 取何值时，复数 是：
（1）实数？
（2）虚数？
（3）0？
三、复数相等的应用
8.（单选）（8分）
设 ， ，若 ，其中 是虚数单位，则 （ 　　）
A. 7
B. 5
C. 3
D. 1
9.（解答）（10分）
求当 为何实数时，复数 满足：
（1） 为实数；
（2） 位于第四象限.
10.（解答）（16分）
已知 为虚数单位，复数 .
（1）当实数 取何值时， 是实数；
（2）当 时，复数 是关于 的方程 的一个根，求实数 的值.
B卷　能力提升（100分）
一、虚数单位性质的综合应用
1.（单选）（6分）
已知 ， ，则“ 为偶数”是“ ”（ 是虚数单位）的（ 　　）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件
D. 既不充分也不必要条件
2.（填空）（8分）
____（ 为虚数单位）.
3.（解答）（10分）
在复数范围内解方程： .
二、复数相等的深度应用
4.（单选）（6分）
已知 ， （ 为虚数单位），则 （ 　　）
A. 4
B. 3
C. 2
D. -5
5.（填空）（6分）
设 ， 为实数，若复数 ，则 ____， ____.
6.（解答）（10分）
已知 （ 是虚数单位）是方程 的一个复根，求实数 ， 的值.
三、复数概念的辨析与压轴
7.（单选）（6分）
已知 为纯虚数，则实数 （ 　　）
A. 3
B. 2
C. 2 或 3
D. -1
8.（多选）（10分）
已知复数 ，下列说法正确的是（ 　　）
A. 若 ，则 为实数
B. 若 ，则
C. 若 ，则 的最大值为
D. 若 ，则 为纯虚数
9.（解答）（16分）
已知复平面内表示复数 的点为 .
（1）若 为纯虚数，求实数 的值；
（2）若点 在第四象限，求实数 的取值范围.
10.（解答）（22分）
求一个复数 ，使 为纯虚数，且 .
参考答案与详解
A卷
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
A 0 C C -2 A,B,D （1） 或 （2） 且 （3） A （1） 或 （2） （1） 或 （2）
B卷
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
C 0 D A A,C （1） （2） 或
A卷　基础巩固（100分）
一、虚数单位的性质与运算
1.（8分）
【答案速览】 A
【深度解析】
■ 思路分析：
题目要求求复数 的虚部.复数虚部的定义是：形如 （）的复数中，虚部是实数 ，即虚数单位 前面的系数.因此直接观察复数，提取虚部即可.
■ 推导过程：
第1步：将复数 写成标准形式 .
第2步：根据复数的基本概念，虚部为虚数单位 的系数，即 .
第3步：对比选项，选A.
【易错警示】 部分学生可能误选C，将虚部写作 .需牢记虚部是一个实数，不包含虚数单位 本身.
【规律总结】 求一个复数 的虚部，只需提取 ，切勿带上 .这是复数概念中的基本送分点，务必精准.
2.（8分）
【答案速览】 0
【深度解析】
■ 思路分析：
看到 的幂次求和，联想到虚数单位 的指数幂具有周期性：，周期为4.本题各指数均为奇数，可直接逐项化简后求和.
■ 推导过程：
第1步：利用周期性化简每一项：
，
，
，
.
第2步：将各项代入求和：
.
第3步：合并同类项：
.
【规律总结】 对于 的幂次求值或求和问题，先用 将所有指数除以4取余数，转化为低次幂再计算.掌握这一通法，即便指数很大也能快速处理.
二、复数的分类与概念辨析
3.（8分）
【答案速览】 C
【深度解析】
■ 思路分析：
已知复数 ，要求实部 与虚部 的和.直接根据定义提取实部为4，虚部为 ，再求和.
■ 推导过程：
第1步：将复数写成标准形式 .
第2步：确定实部 ，虚部 .（注意虚部是 ，不是5）
第3步：计算 .
【易错警示】 学生极易将虚部误认为是5，误选B.务必看清虚部是 ，而不是绝对值.
4.（8分）
【答案速览】 C
【深度解析】
■ 思路分析：
本题是纯虚数条件的辨析，关键信号词“纯虚数”.纯虚数的充要条件是：实部为零且虚部不为零.根据此条件列出方程组，求解参数 .
■ 推导过程：
第1步：由复数 为纯虚数，需满足：
实部 ，且虚部 .
第2步：解实部方程： 或 .
第3步：检验虚部不为零的条件：当 时，，不满足；当 时，，满足.
第4步：故 .
【易错警示】 这是典型易错题.学生常忽略“虚部不为零”这一条件，直接由 得出 ，从而误选D.务必牢记纯虚数有两个条件：实部为零，虚部非零，缺一不可.
【规律总结】 处理含参的复数分类问题，直接套用定义转化：实数 虚部为零；虚数 虚部不为零；纯虚数 实部为零且虚部不为零.正确列出方程或不等式，并注意检验.
5.（8分）
【答案速览】 -2
【深度解析】
■ 思路分析：
题意明确复数 是纯虚数，目标求实数 的值.再次调用纯虚数的充要条件：实部为零且虚部不为零，建立方程组求解.
■ 推导过程：
第1步：复数 为纯虚数，需满足：
第2步：解方程 ，得 或 .
第3步：代入不等式检验：
若 ，则虚部 ，不满足；若 ，虚部 ，满足.
第4步：所以 .
【易错警示】 同上题，仅由实部为零求解参数后必须排除使虚部为零的取值.此类题考察的就是思维的严密性.
6.（10分）
【答案速览】 A,B,D
【深度解析】
■ 思路分析：
本题为多选题，涉及共轭复数与模长的性质.基本策略是设出复数的代数形式 ，将各选项转化为关于 的等式或不等式进行判断.
■ 推导过程：
设 （），则 .
选项A：计算 ，
而 ，两者相等，故A正确.
选项B：若 ，两边同时取共轭得 ，则 .由A知 ，故 .
选项C：令 ，，则 ，但 ，，两者不等，故C错误.
选项D：，结果为一个实数，故D正确.
【易错警示】 选项B极易出错：部分学生会错误地认为 从而得出 .事实上，由 应先推出 ，再计算 ，开方得 .
【规律总结】 处理复数及共轭、模的性质判断题，通法依然是设出代数形式 ，将“虚”化“实”.对于抽象的等式，可以尝试举反例来快速排除错误选项.
7.（16分）
【答案速览】 （1） 或 （2） 且 （3）
【深度解析】
■ 思路分析：
本题要求讨论参数 为何值时复数分别为实数、虚数、和0.核心方法是依据复数分类的充要条件，分别建立虚部为零（实数）、虚部不为零（虚数）以及实部虚部均为零（0）的方程或不等式来求解.
■ 推导过程：
已知 ，记实部为 ，虚部为 ，其中 是虚数单位.
（1） 为实数 .
解 ，因式分解得 ，所以 或 .
（2） 为虚数 .
即 ，由（1）知 且 .
（3） 且 .
解方程组 ，由 得 ， 或 ；由 得 或 .取公共解，得 .
【规律总结】 含参复数的分类问题，通过令虚部为零、不为零等建立方程（或不等式），是解决此类问题的标准步骤.注意第（3）问要求复数等于0，即实部与虚部同时为0，务必联立求解.
三、复数相等的应用
8.（8分）
【答案速览】 A
【深度解析】
■ 思路分析：
题目给出等式 ，且 .看到复数相等，立刻想到复数相等的充要条件：实部与实部相等，虚部与虚部相等.由此可列出关于 的方程组，解出后求 .
■ 推导过程：
第1步：根据复数相等的定义，由 得：
实部： （等式）
虚部： （等式）
第2步：将 代入虚部方程：.
第3步：计算 .
【规律总结】 利用复数相等解参数问题，关键是准确对应实部和虚部，切不可将 的 与前面的 混淆.本题中，左边虚部系数是 ，右边虚部系数是 ，对应正确即可.
9.（10分）
【答案速览】 （1） 或 （2）
【深度解析】
■ 思路分析：
两小问分别涉及复数为实数和复数对应的点位于第四象限的条件.实数条件为虚部为零；第四象限对应实部大于0且虚部小于0.根据这些条件建立方程或不等式组，解之即得 的范围或值.
■ 推导过程：
（1） 为实数 .
解一元二次方程：因式分解得 ，故 或 .
（2） 位于第四象限，需满足实部 且虚部 ：
解第一个不等式：，得 或 .
解第二个不等式：，得 .
取交集，得 .
【规律总结】 复数的几何意义与象限的结合，可完全转化为实部、虚部的不等式组问题.熟记四个象限对应的符号：（+,+）第一象限，（-,+）第二象限，（-,-）第三象限，（+,-）第四象限.
10.（16分）
【答案速览】 （1） 或 （2）
【深度解析】
■ 思路分析：
（1） 复数为实数的条件单一：虚部为零.由此解 即可.
（2） 当 时，先代入复数表达式得到具体的复数 ，再将 代入给定的方程，利用复数相等的充要条件，将方程左边整理成 的形式，令实部虚部分别为0，得到关于 的方程组并求解.
■ 推导过程：
（1） 复数 为实数，只需虚部为零：
，解得 或 .
（2） 当 时，计算 ：
实部：，
虚部：，
所以 .
将 代入方程 ：
.
计算 .
代入整理：
合并实部：.
根据复数等于0的条件（实部虚部同时为0），得：
由第二个方程解出 ，代入第一个：.
【规律总结】 “复数代入方程”类问题，本质还是利用复数相等的充要条件.将复数 作为整体代入，展开后分离实部虚部，转化为实数方程组，是这类问题的通法.
B卷　能力提升（100分）
一、虚数单位性质的综合应用
1.（6分）
【答案速览】 C
【深度解析】
■ 思路分析：
本题考查充要条件的判断与 的性质.需要分析“ 为偶数”与“”之间的逻辑关系.分别验证充分性和必要性，关键是掌握 为奇偶数时 的取值规律.
■ 推导过程：
充分性：若 为偶数，设 （），则 ，因此充分性成立.
必要性：若 ，那么 为实数，且不等于 .由于 为奇数时，，不可能属于 ，所以 不能是奇数，故 必为偶数.必要性也成立.
综上，是充要条件.
【规律总结】 判断与 取值相关的充要条件，先明确 的周期性结论：奇数幂对应 ，偶数幂对应 .由此可轻松转化.
2.（8分）
【答案速览】 0
【深度解析】
■ 思路分析：
连续多个 的幂次求和，指数从1到2024，可利用周期性分组求和.相邻4项的和 .将总项数除以4，看完整周期数，剩余项再单独计算.
■ 推导过程：
第1步：观察周期：，且周期为4.
第2步：总项数2024，2024 ÷ 4 = 506 余0，即刚好有506个完整的周期，无剩余项.
第3步：原式 .
【规律总结】 形如 的求和问题，一律按4个一组分组，利用每组的和为零简化计算.若有余数 ，则加上前 项的和.
3.（10分）
【答案速览】
【深度解析】
■ 思路分析：
在复数范围内解实系数一元二次方程，当 Δ<0 时方程无实数根，但有一对共轭虚根.用配方法或求根公式（将负数开方转化为 ）均可求解.
■ 推导过程：
对于方程 ，判别式 .
由求根公式：.
所以两根为 .
【规律总结】 复数范围内，任何实系数一元二次方程都有两个根（重根按两个计），当判别式为负时，根为 .熟练运用此公式可快速得解.
二、复数相等的深度应用
4.（6分）
【答案速览】 D
【深度解析】
■ 思路分析：
等式左边含 和 ，可先利用周期性化简化成 ，再利用复数相等的充要条件求出 .
■ 推导过程：
第1步：化简 ；对于 ，因为2025除以4余1（），故 .
第2步：原式右边 .
第3步：则 ，根据复数相等：实部 ，虚部 .
第4步：计算 .
【规律总结】 先利用 的周期性化简到最基本形式，再用复数相等解参数.这是复数化简求值题的标准路径.
5.（6分）
【答案速览】
【深度解析】
■ 思路分析：
题目给出两个复数相等：.直接利用复数相等的充要条件，把实部、虚部分别对应相等，解二元一次方程组.
■ 推导过程：
由复数相等的充要条件，得：
两式相加得 ，代入 得 .
【易错警示】 学生在列方程组时，可能将 与虚部系数混淆，出现类似 的错误.注意虚部是 ，等式右边虚部是2，不是 .
6.（10分）
【答案速览】
【深度解析】
■ 思路分析：
题目告知一个复数根，要求实系数方程的参数.我们可直接将这个复数根代入方程，利用复数等于0的充要条件（实部虚部均为0）列出关于 的方程组.
■ 推导过程：
将 代入方程 ：
.
计算平方：.
代入展开：
.
合并实部与虚部：
实部：，虚部：.
由复数等于0，得：
由第二个方程：.
代入第一个：.
【规律总结】 已知复数根求实系数方程参数，直接代入，利用实部虚部分别为零构造方程组，此方法对任意高次方程均有效.若已知一个虚根 ，则其共轭 也必为根，本题未用此性质，但可作为检验.
三、复数概念的辨析与压轴
7.（6分）
【答案速览】 A
【深度解析】
■ 思路分析：
纯虚数条件：实部为零，虚部不为零.据此列式，解方程并排除使虚部为零的值.
■ 推导过程：
由 为纯虚数，得：
解实部方程：，得 或 .
由虚部 知 ，因此 .
【易错警示】 因式分解后不检验虚部条件，直接选 或 导致错误.牢记纯虚数要有“虚部不为0”的限制.
8.（10分）
【答案速览】 A,C
【深度解析】
■ 思路分析：
涉及共轭复数的性质题，仍设 ，将每个条件转化为 的关系进行判断.特别是几何意义，需要联想复数模的几何意义.
■ 推导过程：
设 ，则 .
选项A：，故 为实数，A正确.
选项B：，即 .此时 不一定为0，如 ，故B错误.
选项C： 表示复数 对应的点到点 的距离为1，即点 在圆 上. 表示该点到原点的距离，其最大值为圆心到原点的距离加半径： ，故C正确.
选项D：由 ，代入得 ，两边平方整理可得 ，且只有在 时才能成立（否则两边正负矛盾）.进一步得 ，所以 ，此时 可能是负实数（ 时不是纯虚数），故不是纯虚数，D错误.
【规律总结】 涉及复数模的等式，常用几何意义或两边平方去掉根号进行代数推导.注意平方后可能产生增根，需检验.
9.（16分）
【答案速览】 （1） （2）
【深度解析】
■ 思路分析：
（1） 纯虚数条件：实部为零，虚部不为零.
（2） 点 在第四象限，意味着横坐标（实部）大于0，纵坐标（虚部）小于0.直接解不等式组.
■ 推导过程：
（1） 为纯虚数 且 .
由 得 ，此时虚部 ，满足条件.
（2） 点 在第四象限 实部 且虚部 ：
解得 且 ，即 .
【规律总结】 复数对应点所在象限，直接转化为实部、虚部的不等式.注意坐标轴的点的归类，本题未涉及坐标轴，故只考虑严格不等式.
10.（22分）
【答案速览】 或
【深度解析】
■ 思路分析：
题目描述了一个未知复数 满足两个条件： 为纯虚数，且 .求复数 .典型策略是设 ，然后将条件分别转化为关于 的方程.特别注意分母不为零，以及纯虚数条件要求实部为零且虚部不为零.联立方程组求解.
■ 推导过程：
设 ，其中 ，且 .
条件1： 为纯虚数.
先计算 .
分母实数化：.
则 .
因为它为纯虚数，所以实部为零且虚部不为零：
条件2：，即 ，平方得：
.
下面解方程组.
由①得：，所以 或 .
情况一：.代入③得 .
检验②：此时 ，虚部系数为 ，满足.
故得到两个复数 .
情况二：.与③联立：
将 代入③：，
解得 .
代回 得 .
检验②：此时 ，虚部系数为 ，当 时均不为零，满足.
故得到另两个复数 和 .
综上，所求复数为 或 .
【易错警示】 本题易漏掉 情形，直接由①默认 ；也易忘记检验纯虚数条件中虚部不为零，而将增根留下.分类讨论和检验是不可或缺的步骤.
【规律总结】 处理复数与分式、模长混合的条件，设 是最稳妥的通法.解题关键是将复数条件转化为实数方程组，注意分母、纯虚数等隐含的限制条件.第五章 1.1 复数的概念 课时同步练习(教师版)
卷首导学
核心易错点：
1. 纯虚数的条件不完整——判断纯虚数时，只令实部为零，而忽略虚部必须不为零的条件，这是最常见的失分点.
2. 虚部概念的混淆——复数的虚部是虚数单位 前的实数系数（如 的虚部是 ），不能将 也写入虚部.
3. 复数相等的对应关系——利用复数相等 列方程组时，必须让实部与实部对应、虚部与虚部对应，切不可交叉配对.
训练目标：
1. 能够准确识别复数的实部与虚部，并正确区分实数、虚数和纯虚数.
2. 能够熟练运用虚数单位 的运算性质（特别是 和周期性）进行化简与计算.
3. 能够利用复数相等的充要条件，建立方程组求解参数.
4. 能够将复数分类、复数相等与方程结合，解决简单的综合问题.
第 2 页，共 17 页
A卷　基础巩固（100分）
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
A 0 C C -2 A,B,D （1） 或 （2） 且 （3） A （1） 或 （2） （1） 或 （2）
一、虚数单位的性质与运算
1.（单选）（8分）
复数 的虚部是（ 　　）
A. 1
B. -1
C.
D.
【答案速览】 A
【深度解析】
■ 思路分析：
题目要求求复数 的虚部.复数虚部的定义是：形如 （）的复数中，虚部是实数 ，即虚数单位 前面的系数.因此直接观察复数，提取虚部即可.
■ 推导过程：
第1步：将复数 写成标准形式 .
第2步：根据复数的基本概念，虚部为虚数单位 的系数，即 .
第3步：对比选项，选A.
【易错警示】 部分学生可能误选C，将虚部写作 .需牢记虚部是一个实数，不包含虚数单位 本身.
【规律总结】 求一个复数 的虚部，只需提取 ，切勿带上 .这是复数概念中的基本送分点，务必精准.
2.（填空）（8分）
已知 是虚数单位，则 ____.
【答案速览】 0
【深度解析】
■ 思路分析：
看到 的幂次求和，联想到虚数单位 的指数幂具有周期性：，周期为4.本题各指数均为奇数，可直接逐项化简后求和.
■ 推导过程：
第1步：利用周期性化简每一项：
，
，
，
.
第2步：将各项代入求和：
.
第3步：合并同类项：
.
【规律总结】 对于 的幂次求值或求和问题，先用 将所有指数除以4取余数，转化为低次幂再计算.掌握这一通法，即便指数很大也能快速处理.
二、复数的分类与概念辨析
3.（单选）（8分）
若复数 的实部为 ，虚部为 ，则 （ 　　）
A. 7
B. 5
C. -1
D. 9
【答案速览】 C
【深度解析】
■ 思路分析：
已知复数 ，要求实部 与虚部 的和.直接根据定义提取实部为4，虚部为 ，再求和.
■ 推导过程：
第1步：将复数写成标准形式 .
第2步：确定实部 ，虚部 .（注意虚部是 ，不是5）
第3步：计算 .
【易错警示】 学生极易将虚部误认为是5，误选B.务必看清虚部是 ，而不是绝对值.
4.（单选）（8分）
已知复数 是纯虚数，则 （ 　　）
A. 0
B. 1
C. -1
D. ±1
【答案速览】 C
【深度解析】
■ 思路分析：
本题是纯虚数条件的辨析，关键信号词“纯虚数”.纯虚数的充要条件是：实部为零且虚部不为零.根据此条件列出方程组，求解参数 .
■ 推导过程：
第1步：由复数 为纯虚数，需满足：
实部 ，且虚部 .
第2步：解实部方程： 或 .
第3步：检验虚部不为零的条件：当 时，，不满足；当 时，，满足.
第4步：故 .
【易错警示】 这是典型易错题.学生常忽略“虚部不为零”这一条件，直接由 得出 ，从而误选D.务必牢记纯虚数有两个条件：实部为零，虚部非零，缺一不可.
【规律总结】 处理含参的复数分类问题，直接套用定义转化：实数 虚部为零；虚数 虚部不为零；纯虚数 实部为零且虚部不为零.正确列出方程或不等式，并注意检验.
5.（填空）（8分）
设 为虚数单位，若复数 是纯虚数，则实数 的值为 ____.
【答案速览】 -2
【深度解析】
■ 思路分析：
题意明确复数 是纯虚数，目标求实数 的值.再次调用纯虚数的充要条件：实部为零且虚部不为零，建立方程组求解.
■ 推导过程：
第1步：复数 为纯虚数，需满足：
第2步：解方程 ，得 或 .
第3步：代入不等式检验：
若 ，则虚部 ，不满足；若 ，虚部 ，满足.
第4步：所以 .
【易错警示】 同上题，仅由实部为零求解参数后必须排除使虚部为零的取值.此类题考察的就是思维的严密性.
6.（多选）（10分）
设 是 的共轭复数，下列说法正确的是（ 　　）
A.
B. 若 ，则
C. 若 ，则
D. 是实数
【答案速览】 A,B,D
【深度解析】
■ 思路分析：
本题为多选题，涉及共轭复数与模长的性质.基本策略是设出复数的代数形式 ，将各选项转化为关于 的等式或不等式进行判断.
■ 推导过程：
设 （），则 .
选项A：计算 ，
而 ，两者相等，故A正确.
选项B：若 ，两边同时取共轭得 ，则 .由A知 ，故 .
选项C：令 ，，则 ，但 ，，两者不等，故C错误.
选项D：，结果为一个实数，故D正确.
【易错警示】 选项B极易出错：部分学生会错误地认为 从而得出 .事实上，由 应先推出 ，再计算 ，开方得 .
【规律总结】 处理复数及共轭、模的性质判断题，通法依然是设出代数形式 ，将“虚”化“实”.对于抽象的等式，可以尝试举反例来快速排除错误选项.
7.（解答）（16分）
实数 取何值时，复数 是：
（1）实数？
（2）虚数？
（3）0？
【答案速览】 （1） 或 （2） 且 （3）
【深度解析】
■ 思路分析：
本题要求讨论参数 为何值时复数分别为实数、虚数、和0.核心方法是依据复数分类的充要条件，分别建立虚部为零（实数）、虚部不为零（虚数）以及实部虚部均为零（0）的方程或不等式来求解.
■ 推导过程：
已知 ，记实部为 ，虚部为 ，其中 是虚数单位.
（1） 为实数 . 【1分】
解 ，因式分解得 ，所以 或 . 【2分】
（2） 为虚数 . 【1分】
即 ，由（1）知 且 . 【2分】
（3） 且 . 【1分】
解方程组 ，由 得 ， 或 ；由 得 或 .取公共解，得 . 【3分】
【规律总结】 含参复数的分类问题，通过令虚部为零、不为零等建立方程（或不等式），是解决此类问题的标准步骤.注意第（3）问要求复数等于0，即实部与虚部同时为0，务必联立求解.
三、复数相等的应用
8.（单选）（8分）
设 ， ，若 ，其中 是虚数单位，则 （ 　　）
A. 7
B. 5
C. 3
D. 1
【答案速览】 A
【深度解析】
■ 思路分析：
题目给出等式 ，且 .看到复数相等，立刻想到复数相等的充要条件：实部与实部相等，虚部与虚部相等.由此可列出关于 的方程组，解出后求 .
■ 推导过程：
第1步：根据复数相等的定义，由 得：
实部： （等式）
虚部： （等式）
第2步：将 代入虚部方程：.
第3步：计算 .
【规律总结】 利用复数相等解参数问题，关键是准确对应实部和虚部，切不可将 的 与前面的 混淆.本题中，左边虚部系数是 ，右边虚部系数是 ，对应正确即可.
9.（解答）（10分）
求当 为何实数时，复数 满足：
（1） 为实数；
（2） 位于第四象限.
【答案速览】 （1） 或 （2）
【深度解析】
■ 思路分析：
两小问分别涉及复数为实数和复数对应的点位于第四象限的条件.实数条件为虚部为零；第四象限对应实部大于0且虚部小于0.根据这些条件建立方程或不等式组，解之即得 的范围或值.
■ 推导过程：
（1） 为实数 . 【1分】
解一元二次方程：因式分解得 ，故 或 . 【2分】
（2） 位于第四象限，需满足实部 且虚部 ： 【1分】
【2分】
解第一个不等式：，得 或 . 【2分】
解第二个不等式：，得 . 【2分】
取交集，得 . 【1分】
【规律总结】 复数的几何意义与象限的结合，可完全转化为实部、虚部的不等式组问题.熟记四个象限对应的符号：（+,+）第一象限，（-,+）第二象限，（-,-）第三象限，（+,-）第四象限.
10.（解答）（16分）
已知 为虚数单位，复数 .
（1）当实数 取何值时， 是实数；
（2）当 时，复数 是关于 的方程 的一个根，求实数 的值.
【答案速览】 （1） 或 （2）
【深度解析】
■ 思路分析：
（1） 复数为实数的条件单一：虚部为零.由此解 即可.
（2） 当 时，先代入复数表达式得到具体的复数 ，再将 代入给定的方程，利用复数相等的充要条件，将方程左边整理成 的形式，令实部虚部分别为0，得到关于 的方程组并求解.
■ 推导过程：
（1） 复数 为实数，只需虚部为零： 【1分】
，解得 或 . 【3分】
（2） 当 时，计算 ： 【1分】
实部：，
虚部：，
所以 . 【2分】
将 代入方程 ： 【1分】
.
计算 . 【2分】
代入整理：
合并实部：. 【2分】
根据复数等于0的条件（实部虚部同时为0），得：
【2分】
由第二个方程解出 ，代入第一个：. 【2分】
【规律总结】 “复数代入方程”类问题，本质还是利用复数相等的充要条件.将复数 作为整体代入，展开后分离实部虚部，转化为实数方程组，是这类问题的通法.
B卷　能力提升（100分）
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
C 0 D A A,C （1） （2） 或
一、虚数单位性质的综合应用
1.（单选）（6分）
已知 ， ，则“ 为偶数”是“ ”（ 是虚数单位）的（ 　　）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件
D. 既不充分也不必要条件
【答案速览】 C
【深度解析】
■ 思路分析：
本题考查充要条件的判断与 的性质.需要分析“ 为偶数”与“”之间的逻辑关系.分别验证充分性和必要性，关键是掌握 为奇偶数时 的取值规律.
■ 推导过程：
充分性：若 为偶数，设 （），则 ，因此充分性成立.
必要性：若 ，那么 为实数，且不等于 .由于 为奇数时，，不可能属于 ，所以 不能是奇数，故 必为偶数.必要性也成立.
综上，是充要条件.
【规律总结】 判断与 取值相关的充要条件，先明确 的周期性结论：奇数幂对应 ，偶数幂对应 .由此可轻松转化.
2.（填空）（8分）
____（ 为虚数单位）.
【答案速览】 0
【深度解析】
■ 思路分析：
连续多个 的幂次求和，指数从1到2024，可利用周期性分组求和.相邻4项的和 .将总项数除以4，看完整周期数，剩余项再单独计算.
■ 推导过程：
第1步：观察周期：，且周期为4.
第2步：总项数2024，2024 ÷ 4 = 506 余0，即刚好有506个完整的周期，无剩余项.
第3步：原式 .
【规律总结】 形如 的求和问题，一律按4个一组分组，利用每组的和为零简化计算.若有余数 ，则加上前 项的和.
3.（解答）（10分）
在复数范围内解方程： .
【答案速览】
【深度解析】
■ 思路分析：
在复数范围内解实系数一元二次方程，当 Δ<0 时方程无实数根，但有一对共轭虚根.用配方法或求根公式（将负数开方转化为 ）均可求解.
■ 推导过程：
对于方程 ，判别式 . 【2分】
由求根公式：. 【4分】
所以两根为 . 【4分】
【规律总结】 复数范围内，任何实系数一元二次方程都有两个根（重根按两个计），当判别式为负时，根为 .熟练运用此公式可快速得解.
二、复数相等的深度应用
4.（单选）（6分）
已知 ， （ 为虚数单位），则 （ 　　）
A. 4
B. 3
C. 2
D. -5
【答案速览】 D
【深度解析】
■ 思路分析：
等式左边含 和 ，可先利用周期性化简化成 ，再利用复数相等的充要条件求出 .
■ 推导过程：
第1步：化简 ；对于 ，因为2025除以4余1（），故 .
第2步：原式右边 .
第3步：则 ，根据复数相等：实部 ，虚部 .
第4步：计算 .
【规律总结】 先利用 的周期性化简到最基本形式，再用复数相等解参数.这是复数化简求值题的标准路径.
5.（填空）（6分）
设 ， 为实数，若复数 ，则 ____， ____.
【答案速览】
【深度解析】
■ 思路分析：
题目给出两个复数相等：.直接利用复数相等的充要条件，把实部、虚部分别对应相等，解二元一次方程组.
■ 推导过程：
由复数相等的充要条件，得：
两式相加得 ，代入 得 .
【易错警示】 学生在列方程组时，可能将 与虚部系数混淆，出现类似 的错误.注意虚部是 ，等式右边虚部是2，不是 .
6.（解答）（10分）
已知 （ 是虚数单位）是方程 的一个复根，求实数 ， 的值.
【答案速览】
【深度解析】
■ 思路分析：
题目告知一个复数根，要求实系数方程的参数.我们可直接将这个复数根代入方程，利用复数等于0的充要条件（实部虚部均为0）列出关于 的方程组.
■ 推导过程：
将 代入方程 ： 【2分】
.
计算平方：. 【2分】
代入展开：
.
合并实部与虚部：
实部：，虚部：. 【2分】
由复数等于0，得：
【2分】
由第二个方程：. 【1分】
代入第一个：. 【1分】
【规律总结】 已知复数根求实系数方程参数，直接代入，利用实部虚部分别为零构造方程组，此方法对任意高次方程均有效.若已知一个虚根 ，则其共轭 也必为根，本题未用此性质，但可作为检验.
三、复数概念的辨析与压轴
7.（单选）（6分）
已知 为纯虚数，则实数 （ 　　）
A. 3
B. 2
C. 2 或 3
D. -1
【答案速览】 A
【深度解析】
■ 思路分析：
纯虚数条件：实部为零，虚部不为零.据此列式，解方程并排除使虚部为零的值.
■ 推导过程：
由 为纯虚数，得：
解实部方程：，得 或 .
由虚部 知 ，因此 .
【易错警示】 因式分解后不检验虚部条件，直接选 或 导致错误.牢记纯虚数要有“虚部不为0”的限制.
8.（多选）（10分）
已知复数 ，下列说法正确的是（ 　　）
A. 若 ，则 为实数
B. 若 ，则
C. 若 ，则 的最大值为
D. 若 ，则 为纯虚数
【答案速览】 A,C
【深度解析】
■ 思路分析：
涉及共轭复数的性质题，仍设 ，将每个条件转化为 的关系进行判断.特别是几何意义，需要联想复数模的几何意义.
■ 推导过程：
设 ，则 .
选项A：，故 为实数，A正确.
选项B：，即 .此时 不一定为0，如 ，故B错误.
选项C： 表示复数 对应的点到点 的距离为1，即点 在圆 上. 表示该点到原点的距离，其最大值为圆心到原点的距离加半径： ，故C正确.
选项D：由 ，代入得 ，两边平方整理可得 ，且只有在 时才能成立（否则两边正负矛盾）.进一步得 ，所以 ，此时 可能是负实数（ 时不是纯虚数），故不是纯虚数，D错误.
【规律总结】 涉及复数模的等式，常用几何意义或两边平方去掉根号进行代数推导.注意平方后可能产生增根，需检验.
9.（解答）（16分）
已知复平面内表示复数 的点为 .
（1）若 为纯虚数，求实数 的值；
（2）若点 在第四象限，求实数 的取值范围.
【答案速览】 （1） （2）
【深度解析】
■ 思路分析：
（1） 纯虚数条件：实部为零，虚部不为零.
（2） 点 在第四象限，意味着横坐标（实部）大于0，纵坐标（虚部）小于0.直接解不等式组.
■ 推导过程：
（1） 为纯虚数 且 . 【2分】
由 得 ，此时虚部 ，满足条件. 【2分】
（2） 点 在第四象限 实部 且虚部 ： 【2分】
$$\begin{cases} m+1 > 0 \\ m-1 < 0 \end{cases} \] 【3分】 解得 \(m > -1\) 且 \(m < 1\)，即 \(-1 < m < 1\). 【3分】 **【规律总结】** 复数对应点所在象限，直接转化为实部、虚部的不等式.注意坐标轴的点的归类，本题未涉及坐标轴，故只考虑严格不等式. **10.（解答）**（22分） 求一个复数 \(z\) ，使 \(z - \frac{25}{z}\) 为纯虚数，且 \(|z - 3| = 4\) . **【答案速览】** \(z = \pm \sqrt{7}i\) 或 \(z = 3 \pm 4i\) **【深度解析】** ■ 思路分析： 题目描述了一个未知复数 \(z\) 满足两个条件：\(z - \frac{25}{z}\) 为纯虚数，且 \(|z-3|=4\).求复数 \(z\).典型策略是设 \(z = x + yi\ (x,y\in\mathbb{R})\)，然后将条件分别转化为关于 \(x,y\) 的方程.特别注意分母不为零，以及纯虚数条件要求实部为零且虚部不为零.联立方程组求解. ■ 推导过程： 设 \(z = x + yi\)，其中 \(x,y\in\mathbb{R}\)，且 \(z \neq 0\). 【2分】 条件1：\(z - \frac{25}{z}\) 为纯虚数. 先计算 \(z - \frac{25}{z} = x + yi - \frac{25}{x + yi}\). 分母实数化：\(\frac{25}{x + yi} = \frac{25(x - yi)}{x^2 + y^2} = \frac{25x}{x^2+y^2} - \frac{25y}{x^2+y^2}i\). 【3分】 则 \(z - \frac{25}{z} = \left(x - \frac{25x}{x^2+y^2}\right) + \left(y + \frac{25y}{x^2+y^2}\right)i\). 因为它为纯虚数，所以实部为零且虚部不为零： 【4分】 \[ \begin{cases} x - \dfrac{25x}{x^2+y^2} = 0 \quad ① \\ y + \dfrac{25y}{x^2+y^2} \neq 0 \quad ② \end{cases}$$
条件2：，即 ，平方得： 【3分】
.
下面解方程组.
由①得：，所以 或 . 【4分】
情况一：.代入③得 .
检验②：此时 ，虚部系数为 ，满足.
故得到两个复数 . 【3分】
情况二：.与③联立：
将 代入③：，
解得 .
代回 得 .
检验②：此时 ，虚部系数为 ，当 时均不为零，满足.
故得到另两个复数 和 . 【3分】
综上，所求复数为 或 .
【易错警示】 本题易漏掉 情形，直接由①默认 ；也易忘记检验纯虚数条件中虚部不为零，而将增根留下.分类讨论和检验是不可或缺的步骤.
【规律总结】 处理复数与分式、模长混合的条件，设 是最稳妥的通法.解题关键是将复数条件转化为实数方程组，注意分母、纯虚数等隐含的限制条件.

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