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第五章 1.2 复数的几何意义 课时同步练习
卷首导学
核心易错点：
1. 共轭复数与点的对称——共轭复数 和 在复平面内对应的点关于实轴对称，学生常误记为关于虚轴对称，需结合坐标变化强化记忆.
2. 纯虚数的充要条件——复数为纯虚数必须同时满足实部为0且虚部不为0，学生常遗漏“虚部 ”这一必要条件导致错选.
3. 虚部的概念辨析——复数 的虚部是实数 ，而非 .学生容易将虚部与含 的整个项混淆，需注意区分概念的严谨表述.
4. 复数模的几何意义与最值——形如 表示以 对应点为圆心、 为半径的圆，学生常难于将模方程转化为轨迹图形进行数形结合求解.
训练目标：
1. 能够熟练进行复数与复平面内点的坐标互化，并准确判断各象限及对称点对应的复数.
2. 能够运用复数模长公式 正确求值，并理解其与向量模长的等价关系.
3. 能够辨析复数实部、虚部、共轭及纯虚数等核心概念，避免常见表述陷阱.
4. 能够利用复数的几何意义解决轨迹面积、距离最值等简单综合问题，初步感受数形结合思想.
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A卷　基础巩固（100分）
一、复数在复平面内的表示
1.（单选）（5分）
复数 对应的点在（ 　　）
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
2.（单选）（5分）
已知复数 ，则 在复平面内对应的点为（ 　　）
A.
B.
C.
D.
3.（单选）（5分）
在复平面内，O为原点，向量 对应的复数为 ，若点A关于实轴的对称点为B，则向量 对应的复数为（ 　　）
A.
B.
C.
D.
4.（单选）（5分）
已知复数 在复平面内对应的向量为 ， 为坐标原点，则 为（ 　　）
A. 1
B.
C.
D. 2
5.（填空）（5分）
在复平面内， 是原点，向量 对应的复数是 ，若点 关于实轴的对称点为 ，则向量 对应的复数是____.
6.（填空）（5分）
若复数 在复平面内对应的点位于第二象限，且 ，则 等于____（写出一个即可）.
二、复数的模及其计算
7.（单选）（5分）
若复数 ，其中 为虚数单位，则 （ 　　）
A.
B. 0
C. -1
D. 1
8.（单选）（5分）
已知 ，则 （ 　　）
A.
B.
C.
D. 1
9.（填空）（5分）
若复数 满足 ，则 ____.
10.（填空）（5分）
已知复数 满足 ，当 的虚部取最小值时，____.
11.（解答）（19分）
已知复数 .
（1） 若 为纯虚数，求实数 的值；
（2） 若 在复平面内对应的点在直线 上，求 .
三、复数的相关概念与辨析
12.（多选）（6分）
已知复数 为 的共轭复数，下列命题正确的是（ 　　）
A.
B.
C. 若 ，则 为实数
D. 和 在复平面内对应的点关于虚轴对称
13.（多选）（6分）
下列有关复数的说法中（其中i为虚数单位），正确的是（ 　　）
A.
B. 复数 的虚部为
C. 复数 为实数的充要条件是
D. 已知复数 满足 ，则复数 对应点的集合是以O为圆心，以2为半径的圆
四、复数相等与参数求解
14.（解答）（19分）
设 为实数，已知复数 .
（1） 若 对应的点在第一象限，求 的取值范围；
（2） 若 为实数，且 与复数 相等，求 的值.
B卷　能力提升（100分）
一、复数的几何表示与点的坐标
1.（单选）（4分）
若 是第四象限角，则复数 在复平面内所对应的点在（ 　　）
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
2.（单选）（4分）
已知复数 在复平面内对应点 ，复数 对应点 ，则 两点间的距离为（ 　　）
A. 3
B. 4
C. 5
D.
3.（填空）（5分）
已知复数 在复平面内对应点 ，复数 对应点 ，则线段 的长度为____.
二、复数的模及其计算
4.（单选）（4分）
已知复数 是方程 的一个根，则复数 的模 的值为（ 　　）
A.
B.
C.
D.
5.（单选）（4分）
已知复数 是关于 的方程 的一个根，则 等于（ 　　）
A.
B.
C.
D. 5
6.（单选）（4分）
若复数 是纯虚数，则 （ 　　）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
7.（填空）（5分）
请写出一个模为5，虚部为-4的复数 ____.
8.（填空）（5分）
欧拉公式：（ 是虚数单位，）是由瑞士著名数学家欧拉发现的，被誉为“数学中的天桥”.根据欧拉公式，可求出 的最大值为____.
9.（解答）（20分）
已知 为实数，复数 .
（1） 当 为何值时，复数 的模最小？
（2） 当复数 的模最小时，复数 在复平面内对应的点 位于函数 的图象上，其中 ，求 的最小值及取得最小值时 的值.
10.（解答）（18分）
已知复数 .
（1） 若 ，求实数 的值；
（2） 若 为虚数，求实数 的取值范围；
（3） 若复数 对应的点在第四象限，求实数 的取值范围.
三、复数的概念与性质
11.（多选）（6分）
已知复数 ，则下列命题正确的是（ 　　）
A. 若 为纯虚数，则
B. 若 为实数，则
C. 若 在复平面内对应的点在直线 上，则
D. 在复平面内对应的点不可能在第三象限
12.（多选）（6分）
已知复数 ，下列说法正确的有（ 　　）
A. 若 ，则
B. 若 ，则
C. 若 ，则 或
D. 若 ，则
四、复数与方程、三角函数综合
13.（单选）（4分）
已知复数 是关于 的方程 （）的一个根，若复平面内满足 的点 的集合为图形 ，则 围成的面积为（ 　　）
A.
B.
C.
D.
14.（多选）（6分）
设 均为实数，关于 的方程 在复数集 上给出下列结论，正确的是（ 　　）
A. 存在 ，使得该方程仅有2个共轭虚根
B. 存在 ，使得该方程有4个互不相等的实数根
C. 存在 ，使得该方程有5个互不相等的根
D. 存在 ，使得该方程最多有6个互不相等的根
15.（填空）（5分）
已知 ，，，则 ____.
参考答案与详解
A卷
1 2 3 4 5 6 7
A B D B D
8 9 10 11 12 13 14
B 5 （1） （2） z CD ABC
B卷
1 2 3 4 5 6 7 8
B C B B C 或 2
9 10 11 12 13 14 15
（1）时最小 （2）最小值, （1） （2） （3） BD AC A ABD 1
A卷　基础巩固（100分）
一、复数在复平面内的表示
1.（5分）
【答案速览】 A
【深度解析】
■ 思路分析：题目给出一个具体的复数，要求判断其在复平面内对应的点所在的象限.识别信号为“复数 对应的点”，这直接触发复数的几何意义：复数 与复平面内的点 一一对应.解题方向：先由复数读出实部与虚部，确定对应点的坐标，再根据横纵坐标的正负判断象限.
■ 推导过程：
第1步：识别复数的实部与虚部.对于复数 ，实部 ，虚部 .
第2步：由复数的几何意义，该复数在复平面内对应的点为 .
第3步：因为横坐标 且纵坐标 ，所以点 位于第一象限.
第4步：因此，复数 对应的点在第一象限.
【规律总结】
判断复数对应点所在象限的通法：先写出复数的实部与虚部，将其对应为点的坐标 ，然后根据 的符号确定象限.这是复数几何意义最基础的应用.
2.（5分）
【答案速览】 B
【深度解析】
■ 思路分析：题目已知复数 ，要求写出其在复平面内对应的点的坐标.信号词为“对应的点”，触发复数的几何意义：复数 与点 一一对应，且点的坐标不带虚数单位 .解题方向：直接从复数中提取实部与虚部，构造坐标.
■ 推导过程：
第1步：写出复数 的实部与虚部.实部 ，虚部 .
第2步：根据复数的几何意义，该复数对应点的坐标为 ，即 .
第3步：核对选项，选项B 无误.注意，复数对应的点是纯实数对，不应出现 ，所以C、D错误.
【易错警示】
学生常犯错误是将虚部连同虚数单位 一起写入坐标，如误选C 或D .需要注意，复平面内的点的坐标都是实数，对应关系是 ，虚部 本身是实数.
3.（5分）
【答案速览】 D
【深度解析】
■ 思路分析：题目在复平面内给出向量 对应的复数，以及点 关于实轴的对称点 ，要求 对应的复数.信号为“对称点为 ”和“向量对应的复数”，触发复数与点的对应关系及对称变换规律.复平面内关于实轴对称，实部相同，虚部互为相反数.
■ 推导过程：
第1步：由“向量 对应复数 ”，得点 的坐标为 .
第2步：点 关于实轴的对称点为 .关于实轴对称，横坐标（实部）不变，纵坐标（虚部）变为相反数，故点 的坐标为 .
第3步：向量 以 为起点， 为终点，它对应的复数即为点 的坐标所对应的复数：.
第4步：因此，所求复数为 ，即选项D.
【规律总结】
关于实轴对称：.关于虚轴对称：.关于原点对称：.此类对称问题的通法是转化为对应点的坐标进行对称操作，再回代到复数形式.
4.（5分）
【答案速览】 B
【深度解析】
■ 思路分析：题目给出复数 在复平面内对应的向量 的图示，要求 .信号是“”及“向量为 ”，触发复数模的几何意义： 等于向量 的长度，可用勾股定理从向量坐标求得.
■ 推导过程：
第1步：读图，提取向量 的坐标.从图中可知，点 的坐标约为 ，故 .
第2步：根据复数模的几何意义，.
第3步：因此，，对应选项B.
【规律总结】
若复数对应向量 ，则 .这是复数模的几何本质，也是数形结合思想的典型体现.当题目给出复平面图形时，首先考虑从图中提取坐标信息，再代入模长公式.
5.（5分）
【答案速览】
【深度解析】
■ 思路分析：与第3题原理相同，只是复数由 换为 .信号为“关于实轴的对称点”和“向量对应的复数”，触发点坐标的对称变换.
■ 推导过程：
第1步：由 对应的复数为 ，得点 的坐标为 .
第2步：点 关于实轴的对称点 的坐标为 （实部不变，虚部取相反数）.
第3步：向量 对应的复数即为点 的坐标对应的复数：.
第4步：因此，所求复数为 .
6.（5分）
【答案速览】
【深度解析】
■ 思路分析：题目要求构造一个满足两个条件的复数：①点在第二象限；②模为2.信号为“第二象限”和“”，触发象限的符号特征与模长公式.可设 ，利用待定系数法求解满足条件的 .
■ 推导过程：
第1步：设所求复数 （）.
第2步：由“点位于第二象限”，得横坐标 ，纵坐标 .
第3步：由“”，得 ，即 .
第4步：在满足 的前提下，任取一组解.例如取 ，则 ，得 ，（取正）.
第5步：故满足条件的一个复数为 .由于解不唯一，答案开放，写出任一符合条件的复数即可.
【规律总结】
已知复数的几何特征（象限、模长等）构造复数，通用方法是待定系数法：设 ，将几何条件转化为关于 的方程或不等式，再求满足条件的解.第二象限坐标特征为 ；模长条件对应 .
二、复数的模及其计算
7.（5分）
【答案速览】 D
【深度解析】
■ 思路分析：题目给出纯虚数 ，要求其模.触发复数模的定义公式：对于 ，.此处实部 ，虚部 .
■ 推导过程：
第1步：将复数 写成标准形式 ，得实部 ，虚部 .
第2步：代入模长公式 .
第3步：因此，，对应选项D.
【易错警示】
注意区分复数的模与虚部：模始终是非负实数，而虚部可以是负实数.本题中 的虚部是 ，但模是 ，切勿误写为 或 .
8.（5分）
【答案速览】 B
【深度解析】
■ 思路分析：题目给出复数 ，要求计算模.触发模长公式，直接代入实部和虚部计算.
■ 推导过程：
第1步：提取实部 ，虚部 .
第2步：代入公式 .
第3步：计算平方：，.
第4步：求和开方：.
第5步：所以 ，对应选项B.
9.（5分）
【答案速览】 5
【深度解析】
■ 思路分析：题目直接给出复数 ，要求其模.触发模长公式 .
■ 推导过程：
第1步：由 ，得实部 ，虚部 .
第2步：代入模长公式：.
【规律总结】
复数模的计算是本节最核心的运算技能，公式为 .这是后续利用几何意义解题的基础，必须做到快速、准确.
10.（5分）
【答案速览】
【深度解析】
■ 思路分析：题目给出等式 ，求虚部取最小时的复数 .信号为“”，这触发模的几何意义：该等式表示复数 在复平面内对应的点到点 的距离恒为1，即 的轨迹是以 为圆心、1为半径的圆.要求虚部最小时的 ，即求该圆上纵坐标最小的点对应的复数.
■ 推导过程：
第1步：设 .则 .
第2步：将条件代入模长公式：，两边平方得 .这是以 为圆心、1为半径的圆的方程.
第3步：求当 （虚部）最小时对应的 .由 ，得 ，解出 .故虚部 的最小值为 3.
第4步：将 代入圆的方程：，即 ，得 ，解得 .
第5步：因此，当虚部取最小值时，.
【规律总结】
形如 的等式，其几何意义是复平面内以点 为圆心、 为半径的圆.这是复数几何意义解决轨迹问题和最值问题的核心转化.
【易错警示】
部分学生在得到圆方程后，错误地认为虚部的最小值在圆心下方距离为1处，得出 后却代入 或 .务必通过圆的方程严格解出对应的 .当 取边界值时， 通常唯一确定.
11.（19分）
【答案速览】 （1） （2）
【深度解析】
■ 思路分析：第（1）问信号为“纯虚数”，触发条件：实部为零且虚部不为零.第（2）问信号为“点在直线 上”，触发点的坐标满足直线方程.由此列出关于 的方程组，解出 后回代求模.
■ 推导过程：
（1）
第1步：写出复数 的实部与虚部.实部 ，虚部 .
第2步：由纯虚数定义，列出条件：.
第3步：解方程 ，因式分解得 ，解得 或 .
第4步：结合虚部不为零的条件 ，舍去 ，故 .【9分】
（2）
第5步： 在复平面内对应的点为 .由点在直线 上，得纵坐标等于横坐标的三分之一：.
第6步：去分母：，展开得 .
第7步：移项整理：，即 ，解得 .
第8步：将 代回复数 ：实部 ，虚部 ，所以 .
第9步：求模：.【10分】
【易错警示】
纯虚数的条件是实部=0且虚部≠0.学生在解题时常漏掉虚部≠0，直接由实部=0得出 就以为完成而错误.
三、复数的相关概念与辨析
12.（6分）
【答案速览】 ABC
【深度解析】
■ 思路分析：本题是多选题，考查共轭复数的基本性质.共轭复数的定义为：若 ，则 .围绕这一定义，依次判断模的关系、实数性判定及复平面对称性.
■ 推导过程：
对于A：设 ，则 ，A正确.
对于B：，其模 ，B正确.共轭复数的模相等.
对于C：若 ，则 ，故 .反之若 ，则 ，此时 ，即 .所以 是 为实数的充要条件，C正确.
对于D： 对应点 ， 对应点 .两点横坐标相同，纵坐标互为相反数，应关于实轴对称而不是虚轴对称，D错误.
所以，正确的选项是ABC.
【易错警示】
典型错误即混淆对称轴.关于实轴对称对应的是虚部变号（共轭），关于虚轴对称对应的是实部变号.可记为：实轴（x轴）对称变y坐标（虚部），虚轴（y轴）对称变x坐标（实部）.
13.（6分）
【答案速览】 CD
【深度解析】
■ 思路分析：本题辨析复数的几个典型概念：能否比较大小、虚部的定义、实数的充要条件（共轭角度）以及模的几何意义.
■ 推导过程：
对于A：两个不全是实数的复数不能比较大小. 与 都不是实数，两者不存在大小关系，A错误.
对于B：复数 的虚部是实数 ，而不是 .将虚部与含 的项混淆是常见错误，B错误.
对于C：设 ，则 为实数.这是“共轭复数为自身”这一性质的直接推论，C正确.
对于D：设 ，由 得 ，即 .这正是以原点 为圆心、2为半径的圆的方程，D正确.
所以，正确的选项是CD.
【易错警示】
关于虚部：虚部是一个实数，是 中的 ，不是 .
关于比较大小：虚数不能比较大小，这是一个基本概念，但在题目中具有迷惑性.
四、复数相等与参数求解
14.（19分）
【答案速览】 （1） （2） 或
【深度解析】
■ 思路分析：第（1）问，信号为“在第一象限”，触发象限坐标的正负特征：横坐标>0且纵坐标>0.第（2）问，信号为“与复数 相等”，触发复数相等的充要条件：实部与实部相等，虚部与虚部相等.
■ 推导过程：
（1）
第1步：复数 在复平面内对应的点为 .
第2步：点在第一象限的充要条件为横坐标、纵坐标均大于零：.【9分】
第3步：解 得 .解 得 或 .
第4步：取交集得 .所以 的取值范围是 .
（2）
第1步：由复数相等的条件，得方程组：.
第2步：由第二个方程 ，得 ，解得 .【10分】
第3步：将 代入第一个方程求 ：当 时，；当 时，.
第4步：故 的值为 0 或 -4.
【规律总结】
复数相等问题转化为实部、虚部分别相等的方程组，这是处理含参复数问题的基本通法.复数在复平面内的位置（象限、坐标轴）转化为实部和虚部满足的不等式，同样是通性通法.
B卷　能力提升（100分）
一、复数的几何表示与点的坐标
1.（4分）
【答案速览】 B
【深度解析】
■ 思路分析：本题将复数的几何意义与象限角的三角函数符号结合起来.信号是“ 是第四象限角”，触发第四象限角的正弦、余弦符号规律：，.复数 的实部为 ，虚部为 ，从而可判断对应点所在象限.
■ 推导过程：
第1步：由 为第四象限角，根据三角函数在各象限的符号规律，得 ，.
第2步：复数 的实部 ，虚部 .
第3步：该复数在复平面内对应点 ，横坐标负，纵坐标正，所以此点位于第二象限.
第4步：因此，复数 对应的点在第二象限，选B.
【易错警示】
两个易错点在此题交汇：①第四象限角的正弦为负、余弦为正，学生可能记反而误选D（第四象限）；②复数的实部（横坐标）是 ，虚部（纵坐标）是 ，位置恰好与三角函数名称在象限上的常规印象错位，需仔细分辨.
2.（4分）
【答案速览】 C
【深度解析】
■ 思路分析：题目已知两复数对应点的坐标，要求两点间距离.触发平面直角坐标系中两点间距离公式：.此距离在复数中即为两复数差的模，但本题可直接用坐标计算.
■ 推导过程：
第1步：由题意， 对应点 ， 对应点 .
第2步：代入两点间距离公式：
第3步：因此， 两点间的距离为5，选C.
【规律总结】
复平面内，两复数 对应点 间的距离等于 .当题目给出具体坐标时，可直接套用平面直角坐标系的距离公式，这是复数几何表示与解析几何的结合.
3.（5分）
【答案速览】
【深度解析】
■ 思路分析：同上题，利用两点间距离公式计算线段 的长度.
■ 推导过程：
第1步：复数 对应点 ，复数 对应点 .
第2步：代入距离公式：
第3步：故线段 的长度为 .
二、复数的模及其计算
4.（4分）
【答案速览】 B
【深度解析】
■ 思路分析：题目给出复数 为二次方程的根，要求其模.先解方程求出复数 ，再代入模长公式.此方程实系数且判别式为负，有一对共轭虚根，它们的模相等.
■ 推导过程：
第1步：解方程 .配方得 ，即 .
第2步：开方得 ，故两个根为 .
第3步：不论取哪个根作为 ，模都相同.任取 ，其实部 ，虚部 .
第4步：.故答案为B.
【规律总结】
实系数二次方程若有虚根，必定共轭成对出现，且它们的模长相等.解此类问题，先用求根公式或因式分解求出复数根，再套用模长公式即可.
5.（4分）
【答案速览】 B
【深度解析】
■ 思路分析：题目已知方程的一个根是 ，且方程为实系数，要求 .信号为“实系数方程的一个虚根”，触发共轭虚根定理：另一根必为 .然后用韦达定理求出系数 ，再代入模长公式.
■ 推导过程：
第1步：因为方程为实系数，由虚根成对定理知，另一根为 .
第2步：由韦达定理，两根之和 ，两根之积 .
第3步：计算和与积：，所以 ，所以 .
第4步：求 .故答案为B.
【规律总结】
遇到“实系数方程的一个虚根”条件，立刻反应另一根为其共轭复数，这是非常经典的性质.结合韦达定理可快速求出系数，避免复杂的代入计算.
6.（4分）
【答案速览】 C
【深度解析】
■ 思路分析：信号为“纯虚数”，触发纯虚数条件：实部=0且虚部≠0.先解出参数 ，代入求出复数 ，再计算其模.
■ 推导过程：
第1步：复数 ，其实部为 ，虚部为 .
第2步：由纯虚数条件得 .
第3步：由 得 .检验虚部：当 时，，满足条件.
第4步：将 代回复数 ：实部为 ，虚部为 ，故 .
第5步：求模：.故答案为C.
【易错警示】
本题是典型的纯虚数易错题.学生容易在得到 后直接代入，但若不检验虚部是否为零，就无法完全确认.本题检验后成立，但其他变式题中可能存在两个解中一个使虚部为零而必须舍去的情况.
7.（5分）
【答案速览】 或 （答案不唯一）
【深度解析】
■ 思路分析：已知模和虚部，求复数.信号为“模为5，虚部为-4”，可设 ，利用模长公式建立关于 的方程.
■ 推导过程：
第1步：设所求复数 （）.
第2步：由 ，得 ，即 .
第3步：两边平方：，得 ，解得 .
第4步：故满足条件的复数为 或 .答案不唯一，写出一个即可.
8.（5分）
【答案速览】 2
【深度解析】
■ 思路分析：题目给出新定义公式 ，要求 的最大值.首先将 写成标准复数形式，再由模长公式化为 ，最后利用余弦函数的有界性求最大值.
■ 推导过程：
第1步：由欧拉公式，.则 .
第2步：代入模长公式：.
第3步：展开被开方数：.
第4步：利用恒等式 ，上式合并为 .故 .
第5步：由余弦函数的有界性，，所以 .当且仅当 时取等号.
第6步：因此，最大值为 .
【规律总结】
以材料题形式给出的新定义问题，重点在于“现学现用”.按题目给的定义，将新符号转化为已学过的复数形式和三角函数，然后利用模长公式及函数性质求解.此类题考查的是信息迁移能力和基本运算的熟练度.
9.（20分）
【答案速览】 （1） 当 时，模最小，为 （2） 最小值为 ，此时
【深度解析】
■ 思路分析：第（1）问要求复数模的最小值，信号为“模最小”，先将 表达为关于 的函数，利用二次函数或基本不等式求最值.第（2）问在第（1）问基础上，将点代入直线方程得到等量关系，再利用“1”的代换和基本不等式求 的最小值.
■ 推导过程：
（1）
第1步：由复数 ，写出模的表达式：
第2步：展开被开方数：
第3步：所以 .被开方数为二次函数 ，当 时取得最小值 8.【9分】
第4步：故当 时， 取得最小值 .
（2）
第5步：由上可知，模最小时 ，此时复数 ，对应点 .
第6步：点 在直线 上，代入坐标得 ，即 .
第7步：目标为求 的最小值.已知 ，变形为 ，可构造“1”的代换：
第8步：展开：
第9步：对后两项使用基本不等式 （）：
第10步：所以 ，当且仅当 即 时取等.【11分】
第11步：联立等号成立条件与约束条件：
，，，
所以，．
第12步：故最小值为 ，此时 ，.
【规律总结】
本题是复数模的计算与函数最值、基本不等式的综合.求模的最值，首先将模表示为实变量的函数；在约束条件下求分式和的最小值，“1”的代换后使用基本不等式是典型通法.
10.（18分）
【答案速览】 （1） （2） （3）
【深度解析】
■ 思路分析：本题三小问分别考查了复数为正实数的条件、为虚数的条件、以及复数对应点所在象限的条件，将复数概念与不等式组求解紧密结合.
■ 推导过程：
（1）
第1步：复数 .若 ，则 必为实数（虚数无法比较大小）.所以虚部 ，且实部 .
第2步：由虚部为零得 .【6分】
第3步：检验实部：当 时，实部 ，不满足 ；当 时，实部 ，成立.故 .
（2）
第4步： 为虚数，只需虚部 ，即 .【6分】
第5步：实数 的取值范围为 .
（3）
第6步：复数 对应的点为 .点在第四象限的条件是横坐标 ，纵坐标 .故列不等式组：
第7步：解 ，即 ，得 或 .【6分】
第8步：解 ，即 ，得 .
第9步：取交集：.
第10步：故实数 的取值范围为 .
【规律总结】
处理与复数分类及几何位置相关的参数问题，核心是将复数条件转化为关于实部和虚部的等式或不等式，然后准确解这些方程或不等式组.这是含参复数问题的标准范式.
三、复数的概念与性质
11.（6分）
【答案速览】 BD
【深度解析】
■ 思路分析：本题直接给出含参复数 的解析式，分别判断纯虚数条件、实数条件、点在直线上及点所在象限的不可能性.每一选项都是典型的复数概念判断题.
■ 推导过程：
先提取实部 ，虚部 .对应点坐标为 .
对于A：若 为纯虚数，需 .解 得 .但 使虚部为0，舍去，所以只能 .A说 错误.
对于B：若 为实数，需 ，即 .此时实部 ，故 .B正确.
对于C：点在直线 上，则 .整理得 ，即 ，解得 或 .C说仅 错误.
对于D：若点在第三象限，需 .解第一个得 ，解第二个得 ，两者交集为空.故点不可能在第三象限.D正确.
所以，正确选项是BD.
【规律总结】
这类“已知复数，判断命题真伪”的多选题，解题策略是逐项分析复数的实部、虚部满足的条件，通过方程或不等式求解进行验证.
12.（6分）
【答案速览】 AC
【深度解析】
■ 思路分析：本题是一道较高难度的概念辨析多选，涉及模的性质、复数平方和为零的含义、零因子律以及模与共轭的关系.需要严格论证或举反例排除.
■ 推导过程：
对于A：利用性质 ，则由 可得 ，模为非负实数，故 .A正确.
对于B：举反例.取 ，则 ，但 .B错误.
对于C：由 移项得 .在复数中，若两复数乘积为0，则至少有一个因式为0.该性质成立（此处已在原题解析中证明），所以 或 ，即 .C正确.
对于D：举反例.取 .则 ，，条件成立.但 .D错误.
所以，正确选项是AC.
【易错警示】
B选项“平方和为零则各为零”是实数范围内的性质，在复数中不再成立.D选项也容易基于实数中的直觉而误判为正确.本题多次考查实数性质在复数中的失效，需格外警惕.
【规律总结】
复数中，实数的一些“理所当然”的性质（如平方和为0则各项为0、两数乘积为0必有一为0）需要重新审视.判断此类命题，第一反应应是“能否举出反例”，无实部的纯虚数往往是最佳的反例来源.
四、复数与方程、三角函数综合
13.（4分）
【答案速览】 A
【深度解析】
■ 思路分析：本题是方程、韦达定理与复数几何意义的综合.先用实系数虚根成对和韦达定理求出 ，再将 转化为模的几何条件——圆的半径，最终求圆面积.
■ 推导过程：
第1步：由方程 有虚根 ，且系数为实数，知另一根为 .
第2步：由韦达定理，，.计算得 .
第3步：条件 .
第4步： 的几何意义是：复数 对应的点到 对应点 的距离恒为1，即图形 是以 为圆心、半径为1的圆.
第5步：圆面积 .故答案为A.
14.（6分）
【答案速览】 ABD
【深度解析】
■ 思路分析：这是一道极高思维强度的多选题，讨论含绝对值的方程在复数集中的根的情况.采用设 代入，将原方程分解为关于 的两个实方程，再分类讨论.
■ 推导过程：
设 ，代入方程 ，展开并分离实虚部，可导出必有 ，即 为实数或纯虚数.
分类讨论：
若 为实数（）：方程化为 ，即 .令 ，得 .该方程在 时解的个数决定了原方程实数根的个数.
若 为纯虚数（）：方程化为 ，即 .令 ，得 .该方程在 时解的个数决定了原方程纯虚数根的个数.
结合判别式及韦达定理分析根的正负分布，可知：
A项（仅2个共轭虚根）：可取 ，实现.正确.
B项（4个互不相等实根）：可取 ， 有2个不等正根，每个正 对应两实数根，共4个.正确.
C项（5个根）：根的总数必为偶数，不可能有5个.错误.
D项（最多6个根）：在特定参数组合下（如 ），可有4个实数根和2个纯虚数根，共6个.正确.
故答案为ABD.
【规律总结】
复数方程根的讨论，核心策略是利用复数相等的条件，将复数方程拆解为实部和虚部的等式，转化为实方程求解.对于含绝对值的方程，通过设 为实数或纯虚数分类，利用换元法是关键.
15.（5分）
【答案速览】 1
【深度解析】
■ 思路分析：已知两个模为1的复数，及它们和的模，求它们差的模.可将模为1的复数设为三角形式：，.然后通过和、差的模的代数表达式，结合和差化积或余弦公式建立联系.
■ 推导过程：
第1步：设 ，.则由条件 ：
第2步：展开并利用 ：
第3步：解得 ，即 .
第4步：再求 .
第5步：代入 ，得 .故 .
【规律总结】
当已知复数的模为1时，利用三角形式（）设出复数，可以将其几何特征转化为三角函数运算，这类方法在涉及模的和、差、积等综合运算时尤为有效.第五章 1.2 复数的几何意义 课时同步练习(教师版)
卷首导学
核心易错点：
1. 共轭复数与点的对称——共轭复数 和 在复平面内对应的点关于实轴对称，学生常误记为关于虚轴对称，需结合坐标变化强化记忆.
2. 纯虚数的充要条件——复数为纯虚数必须同时满足实部为0且虚部不为0，学生常遗漏“虚部 ”这一必要条件导致错选.
3. 虚部的概念辨析——复数 的虚部是实数 ，而非 .学生容易将虚部与含 的整个项混淆，需注意区分概念的严谨表述.
4. 复数模的几何意义与最值——形如 表示以 对应点为圆心、 为半径的圆，学生常难于将模方程转化为轨迹图形进行数形结合求解.
训练目标：
1. 能够熟练进行复数与复平面内点的坐标互化，并准确判断各象限及对称点对应的复数.
2. 能够运用复数模长公式 正确求值，并理解其与向量模长的等价关系.
3. 能够辨析复数实部、虚部、共轭及纯虚数等核心概念，避免常见表述陷阱.
4. 能够利用复数的几何意义解决轨迹面积、距离最值等简单综合问题，初步感受数形结合思想.
第 2 页，共 17 页
A卷　基础巩固（100分）
1 2 3 4 5 6 7
A B D B D
8 9 10 11 12 13 14
B 5 （1） （2） z CD ABC
一、复数在复平面内的表示
1.（单选）（5分）
复数 对应的点在（ 　　）
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
【答案速览】 A
【深度解析】
■ 思路分析：题目给出一个具体的复数，要求判断其在复平面内对应的点所在的象限.识别信号为“复数 对应的点”，这直接触发复数的几何意义：复数 与复平面内的点 一一对应.解题方向：先由复数读出实部与虚部，确定对应点的坐标，再根据横纵坐标的正负判断象限.
■ 推导过程：
第1步：识别复数的实部与虚部.对于复数 ，实部 ，虚部 .
第2步：由复数的几何意义，该复数在复平面内对应的点为 .
第3步：因为横坐标 且纵坐标 ，所以点 位于第一象限.
第4步：因此，复数 对应的点在第一象限.
【规律总结】
判断复数对应点所在象限的通法：先写出复数的实部与虚部，将其对应为点的坐标 ，然后根据 的符号确定象限.这是复数几何意义最基础的应用.
2.（单选）（5分）
已知复数 ，则 在复平面内对应的点为（ 　　）
A.
B.
C.
D.
【答案速览】 B
【深度解析】
■ 思路分析：题目已知复数 ，要求写出其在复平面内对应的点的坐标.信号词为“对应的点”，触发复数的几何意义：复数 与点 一一对应，且点的坐标不带虚数单位 .解题方向：直接从复数中提取实部与虚部，构造坐标.
■ 推导过程：
第1步：写出复数 的实部与虚部.实部 ，虚部 .
第2步：根据复数的几何意义，该复数对应点的坐标为 ，即 .
第3步：核对选项，选项B 无误.注意，复数对应的点是纯实数对，不应出现 ，所以C、D错误.
【易错警示】
学生常犯错误是将虚部连同虚数单位 一起写入坐标，如误选C 或D .需要注意，复平面内的点的坐标都是实数，对应关系是 ，虚部 本身是实数.
3.（单选）（5分）
在复平面内，O为原点，向量 对应的复数为 ，若点A关于实轴的对称点为B，则向量 对应的复数为（ 　　）
A.
B.
C.
D.
【答案速览】 D
【深度解析】
■ 思路分析：题目在复平面内给出向量 对应的复数，以及点 关于实轴的对称点 ，要求 对应的复数.信号为“对称点为 ”和“向量对应的复数”，触发复数与点的对应关系及对称变换规律.复平面内关于实轴对称，实部相同，虚部互为相反数.
■ 推导过程：
第1步：由“向量 对应复数 ”，得点 的坐标为 .
第2步：点 关于实轴的对称点为 .关于实轴对称，横坐标（实部）不变，纵坐标（虚部）变为相反数，故点 的坐标为 .
第3步：向量 以 为起点， 为终点，它对应的复数即为点 的坐标所对应的复数：.
第4步：因此，所求复数为 ，即选项D.
【规律总结】
关于实轴对称：.关于虚轴对称：.关于原点对称：.此类对称问题的通法是转化为对应点的坐标进行对称操作，再回代到复数形式.
4.（单选）（5分）
已知复数 在复平面内对应的向量为 ， 为坐标原点，则 为（ 　　）
A. 1
B.
C.
D. 2
【答案速览】 B
【深度解析】
■ 思路分析：题目给出复数 在复平面内对应的向量 的图示，要求 .信号是“图示”及“向量为 ”，触发复数模的几何意义： 等于向量 的长度，可用勾股定理从向量坐标求得.
■ 推导过程：
第1步：读图，提取向量 的坐标.从图中可知，点 的坐标约为 ，故 .
第2步：根据复数模的几何意义，.
第3步：因此，，对应选项B.
【规律总结】
若复数对应向量 ，则 .这是复数模的几何本质，也是数形结合思想的典型体现.当题目给出复平面图形时，首先考虑从图中提取坐标信息，再代入模长公式.
5.（填空）（5分）
在复平面内， 是原点，向量 对应的复数是 ，若点 关于实轴的对称点为 ，则向量 对应的复数是____.
【答案速览】
【深度解析】
■ 思路分析：与第3题原理相同，只是复数由 换为 .信号为“关于实轴的对称点”和“向量对应的复数”，触发点坐标的对称变换.
■ 推导过程：
第1步：由 对应的复数为 ，得点 的坐标为 .
第2步：点 关于实轴的对称点 的坐标为 （实部不变，虚部取相反数）.
第3步：向量 对应的复数即为点 的坐标对应的复数：.
第4步：因此，所求复数为 .
6.（填空）（5分）
若复数 在复平面内对应的点位于第二象限，且 ，则 等于____（写出一个即可）.
【答案速览】 （答案不唯一）
【深度解析】
■ 思路分析：题目要求构造一个满足两个条件的复数：①点在第二象限；②模为2.信号为“第二象限”和“”，触发象限的符号特征与模长公式.可设 ，利用待定系数法求解满足条件的 .
■ 推导过程：
第1步：设所求复数 （）.
第2步：由“点位于第二象限”，得横坐标 ，纵坐标 .
第3步：由“”，得 ，即 .
第4步：在满足 的前提下，任取一组解.例如取 ，则 ，得 ，（取正）.
第5步：故满足条件的一个复数为 .由于解不唯一，答案开放，写出任一符合条件的复数即可.
【规律总结】
已知复数的几何特征（象限、模长等）构造复数，通用方法是待定系数法：设 ，将几何条件转化为关于 的方程或不等式，再求满足条件的解.第二象限坐标特征为 ；模长条件对应 .
二、复数的模及其计算
7.（单选）（5分）
若复数 ，其中 为虚数单位，则 （ 　　）
A.
B. 0
C. -1
D. 1
【答案速览】 D
【深度解析】
■ 思路分析：题目给出纯虚数 ，要求其模.触发复数模的定义公式：对于 ，.此处实部 ，虚部 .
■ 推导过程：
第1步：将复数 写成标准形式 ，得实部 ，虚部 .
第2步：代入模长公式 .
第3步：因此，，对应选项D.
【易错警示】
注意区分复数的模与虚部：模始终是非负实数，而虚部可以是负实数.本题中 的虚部是 ，但模是 ，切勿误写为 或 .
8.（单选）（5分）
已知 ，则 （ 　　）
A.
B.
C.
D. 1
【答案速览】 B
【深度解析】
■ 思路分析：题目给出复数 ，要求计算模.触发模长公式，直接代入实部和虚部计算.
■ 推导过程：
第1步：提取实部 ，虚部 .
第2步：代入公式 .
第3步：计算平方：，.
第4步：求和开方：.
第5步：所以 ，对应选项B.
9.（填空）（5分）
若复数 满足 ，则 ____.
【答案速览】 5
【深度解析】
■ 思路分析：题目直接给出复数 ，要求其模.触发模长公式 .
■ 推导过程：
第1步：由 ，得实部 ，虚部 .
第2步：代入模长公式：.
【规律总结】
复数模的计算是本节最核心的运算技能，公式为 .这是后续利用几何意义解题的基础，必须做到快速、准确.
10.（填空）（5分）
已知复数 满足 ，当 的虚部取最小值时，____.
【答案速览】
【深度解析】
■ 思路分析：题目给出等式 ，求虚部取最小时的复数 .信号为“”，这触发模的几何意义：该等式表示复数 在复平面内对应的点到点 的距离恒为1，即 的轨迹是以 为圆心、1为半径的圆.要求虚部最小时的 ，即求该圆上纵坐标最小的点对应的复数.
■ 推导过程：
第1步：设 .则 .
第2步：将条件代入模长公式：，两边平方得 .这是以 为圆心、1为半径的圆的方程.
第3步：求当 （虚部）最小时对应的 .由 ，得 ，解出 .故虚部 的最小值为 3.
第4步：将 代入圆的方程：，即 ，得 ，解得 .
第5步：因此，当虚部取最小值时，.
【规律总结】
形如 的等式，其几何意义是复平面内以点 为圆心、 为半径的圆.这是复数几何意义解决轨迹问题和最值问题的核心转化.
【易错警示】
部分学生在得到圆方程后，错误地认为虚部的最小值在圆心下方距离为1处，得出 后却代入 或 .务必通过圆的方程严格解出对应的 .当 取边界值时， 通常唯一确定.
11.（解答）（19分）
已知复数 .
（1） 若 为纯虚数，求实数 的值；
（2） 若 在复平面内对应的点在直线 上，求 .
【答案速览】 （1） （2）
【深度解析】
■ 思路分析：第（1）问信号为“纯虚数”，触发条件：实部为零且虚部不为零.第（2）问信号为“点在直线 上”，触发点的坐标满足直线方程.由此列出关于 的方程组，解出 后回代求模.
■ 推导过程：
（1）
第1步：写出复数 的实部与虚部.实部 ，虚部 .
第2步：由纯虚数定义，列出条件：.
第3步：解方程 ，因式分解得 ，解得 或 .
第4步：结合虚部不为零的条件 ，舍去 ，故 .【9分】
（2）
第5步： 在复平面内对应的点为 .由点在直线 上，得纵坐标等于横坐标的三分之一：.
第6步：去分母：，展开得 .
第7步：移项整理：，即 ，解得 .
第8步：将 代回复数 ：实部 ，虚部 ，所以 .
第9步：求模：.【10分】
【易错警示】
纯虚数的条件是实部=0且虚部≠0.学生在解题时常漏掉虚部≠0，直接由实部=0得出 就以为完成而错误.
三、复数的相关概念与辨析
12.（多选）（6分）
已知复数 为 的共轭复数，下列命题正确的是（ 　　）
A.
B.
C. 若 ，则 为实数
D. 和 在复平面内对应的点关于虚轴对称
【答案速览】 ABC
【深度解析】
■ 思路分析：本题是多选题，考查共轭复数的基本性质.共轭复数的定义为：若 ，则 .围绕这一定义，依次判断模的关系、实数性判定及复平面对称性.
■ 推导过程：
对于A：设 ，则 ，A正确.
对于B：，其模 ，B正确.共轭复数的模相等.
对于C：若 ，则 ，故 .反之若 ，则 ，此时 ，即 .所以 是 为实数的充要条件，C正确.
对于D： 对应点 ， 对应点 .两点横坐标相同，纵坐标互为相反数，应关于实轴对称而不是虚轴对称，D错误.
所以，正确的选项是ABC.
【易错警示】
典型错误即混淆对称轴.关于实轴对称对应的是虚部变号（共轭），关于虚轴对称对应的是实部变号.可记为：实轴（x轴）对称变y坐标（虚部），虚轴（y轴）对称变x坐标（实部）.
13.（多选）（6分）
下列有关复数的说法中（其中i为虚数单位），正确的是（ 　　）
A.
B. 复数 的虚部为
C. 复数 为实数的充要条件是
D. 已知复数 满足 ，则复数 对应点的集合是以O为圆心，以2为半径的圆
【答案速览】 CD
【深度解析】
■ 思路分析：本题辨析复数的几个典型概念：能否比较大小、虚部的定义、实数的充要条件（共轭角度）以及模的几何意义.
■ 推导过程：
对于A：两个不全是实数的复数不能比较大小. 与 都不是实数，两者不存在大小关系，A错误.
对于B：复数 的虚部是实数 ，而不是 .将虚部与含 的项混淆是常见错误，B错误.
对于C：设 ，则 为实数.这是“共轭复数为自身”这一性质的直接推论，C正确.
对于D：设 ，由 得 ，即 .这正是以原点 为圆心、2为半径的圆的方程，D正确.
所以，正确的选项是CD.
【易错警示】
关于虚部：虚部是一个实数，是 中的 ，不是 .
关于比较大小：虚数不能比较大小，这是一个基本概念，但在题目中具有迷惑性.
四、复数相等与参数求解
14.（解答）（19分）
设 为实数，已知复数 .
（1） 若 对应的点在第一象限，求 的取值范围；
（2） 若 为实数，且 与复数 相等，求 的值.
【答案速览】 （1） （2） 或
【深度解析】
■ 思路分析：第（1）问，信号为“在第一象限”，触发象限坐标的正负特征：横坐标>0且纵坐标>0.第（2）问，信号为“与复数 相等”，触发复数相等的充要条件：实部与实部相等，虚部与虚部相等.
■ 推导过程：
（1）
第1步：复数 在复平面内对应的点为 .
第2步：点在第一象限的充要条件为横坐标、纵坐标均大于零：.【9分】
第3步：解 得 .解 得 或 .
第4步：取交集得 .所以 的取值范围是 .
（2）
第1步：由复数相等的条件，得方程组：.
第2步：由第二个方程 ，得 ，解得 .【10分】
第3步：将 代入第一个方程求 ：当 时，；当 时，.
第4步：故 的值为 0 或 -4.
【规律总结】
复数相等问题转化为实部、虚部分别相等的方程组，这是处理含参复数问题的基本通法.复数在复平面内的位置（象限、坐标轴）转化为实部和虚部满足的不等式，同样是通性通法.
B卷　能力提升（100分）
1 2 3 4 5 6 7 8
B C B B C 或 2
9 10 11 12 13 14 15
（1）时最小 （2）最小值, （1） （2） （3） BD AC A ABD 1
一、复数的几何表示与点的坐标
1.（单选）（4分）
若 是第四象限角，则复数 在复平面内所对应的点在（ 　　）
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
【答案速览】 B
【深度解析】
■ 思路分析：本题将复数的几何意义与象限角的三角函数符号结合起来.信号是“ 是第四象限角”，触发第四象限角的正弦、余弦符号规律：，.复数 的实部为 ，虚部为 ，从而可判断对应点所在象限.
■ 推导过程：
第1步：由 为第四象限角，根据三角函数在各象限的符号规律，得 ，.
第2步：复数 的实部 ，虚部 .
第3步：该复数在复平面内对应点 ，横坐标负，纵坐标正，所以此点位于第二象限.
第4步：因此，复数 对应的点在第二象限，选B.
【易错警示】
两个易错点在此题交汇：①第四象限角的正弦为负、余弦为正，学生可能记反而误选D（第四象限）；②复数的实部（横坐标）是 ，虚部（纵坐标）是 ，位置恰好与三角函数名称在象限上的常规印象错位，需仔细分辨.
2.（单选）（4分）
已知复数 在复平面内对应点 ，复数 对应点 ，则 两点间的距离为（ 　　）
A. 3
B. 4
C. 5
D.
【答案速览】 C
【深度解析】
■ 思路分析：题目已知两复数对应点的坐标，要求两点间距离.触发平面直角坐标系中两点间距离公式：.此距离在复数中即为两复数差的模，但本题可直接用坐标计算.
■ 推导过程：
第1步：由题意， 对应点 ， 对应点 .
第2步：代入两点间距离公式：
第3步：因此， 两点间的距离为5，选C.
【规律总结】
复平面内，两复数 对应点 间的距离等于 .当题目给出具体坐标时，可直接套用平面直角坐标系的距离公式，这是复数几何表示与解析几何的结合.
3.（填空）（5分）
已知复数 在复平面内对应点 ，复数 对应点 ，则线段 的长度为____.
【答案速览】
【深度解析】
■ 思路分析：同上题，利用两点间距离公式计算线段 的长度.
■ 推导过程：
第1步：复数 对应点 ，复数 对应点 .
第2步：代入距离公式：
第3步：故线段 的长度为 .
二、复数的模及其计算
4.（单选）（4分）
已知复数 是方程 的一个根，则复数 的模 的值为（ 　　）
A.
B.
C.
D.
【答案速览】 B
【深度解析】
■ 思路分析：题目给出复数 为二次方程的根，要求其模.先解方程求出复数 ，再代入模长公式.此方程实系数且判别式为负，有一对共轭虚根，它们的模相等.
■ 推导过程：
第1步：解方程 .配方得 ，即 .
第2步：开方得 ，故两个根为 .
第3步：不论取哪个根作为 ，模都相同.任取 ，其实部 ，虚部 .
第4步：.故答案为B.
【规律总结】
实系数二次方程若有虚根，必定共轭成对出现，且它们的模长相等.解此类问题，先用求根公式或因式分解求出复数根，再套用模长公式即可.
5.（单选）（4分）
已知复数 是关于 的方程 的一个根，则 等于（ 　　）
A.
B.
C.
D. 5
【答案速览】 B
【深度解析】
■ 思路分析：题目已知方程的一个根是 ，且方程为实系数，要求 .信号为“实系数方程的一个虚根”，触发共轭虚根定理：另一根必为 .然后用韦达定理求出系数 ，再代入模长公式.
■ 推导过程：
第1步：因为方程为实系数，由虚根成对定理知，另一根为 .
第2步：由韦达定理，两根之和 ，两根之积 .
第3步：计算和与积：，所以 ，所以 .
第4步：求 .故答案为B.
【规律总结】
遇到“实系数方程的一个虚根”条件，立刻反应另一根为其共轭复数，这是非常经典的性质.结合韦达定理可快速求出系数，避免复杂的代入计算.
6.（单选）（4分）
若复数 是纯虚数，则 （ 　　）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
【答案速览】 C
【深度解析】
■ 思路分析：信号为“纯虚数”，触发纯虚数条件：实部=0且虚部≠0.先解出参数 ，代入求出复数 ，再计算其模.
■ 推导过程：
第1步：复数 ，其实部为 ，虚部为 .
第2步：由纯虚数条件得 .
第3步：由 得 .检验虚部：当 时，，满足条件.
第4步：将 代回复数 ：实部为 ，虚部为 ，故 .
第5步：求模：.故答案为C.
【易错警示】
本题是典型的纯虚数易错题.学生容易在得到 后直接代入，但若不检验虚部是否为零，就无法完全确认.本题检验后成立，但其他变式题中可能存在两个解中一个使虚部为零而必须舍去的情况.
7.（填空）（5分）
请写出一个模为5，虚部为-4的复数 ____.
【答案速览】 或 （答案不唯一）
【深度解析】
■ 思路分析：已知模和虚部，求复数.信号为“模为5，虚部为-4”，可设 ，利用模长公式建立关于 的方程.
■ 推导过程：
第1步：设所求复数 （）.
第2步：由 ，得 ，即 .
第3步：两边平方：，得 ，解得 .
第4步：故满足条件的复数为 或 .答案不唯一，写出一个即可.
8.（填空）（5分）
欧拉公式：（ 是虚数单位，）是由瑞士著名数学家欧拉发现的，被誉为“数学中的天桥”.根据欧拉公式，可求出 的最大值为____.
【答案速览】 2
【深度解析】
■ 思路分析：题目给出新定义公式 ，要求 的最大值.首先将 写成标准复数形式，再由模长公式化为 ，最后利用余弦函数的有界性求最大值.
■ 推导过程：
第1步：由欧拉公式，.则 .
第2步：代入模长公式：.
第3步：展开被开方数：.
第4步：利用恒等式 ，上式合并为 .故 .
第5步：由余弦函数的有界性，，所以 .当且仅当 时取等号.
第6步：因此，最大值为 .
【规律总结】
以材料题形式给出的新定义问题，重点在于“现学现用”.按题目给的定义，将新符号转化为已学过的复数形式和三角函数，然后利用模长公式及函数性质求解.此类题考查的是信息迁移能力和基本运算的熟练度.
9.（解答）（20分）
已知 为实数，复数 .
（1） 当 为何值时，复数 的模最小？
（2） 当复数 的模最小时，复数 在复平面内对应的点 位于函数 的图象上，其中 ，求 的最小值及取得最小值时 的值.
【答案速览】 （1） 当 时，模最小，为 （2） 最小值为 ，此时
【深度解析】
■ 思路分析：第（1）问要求复数模的最小值，信号为“模最小”，先将 表达为关于 的函数，利用二次函数或基本不等式求最值.第（2）问在第（1）问基础上，将点代入直线方程得到等量关系，再利用“1”的代换和基本不等式求 的最小值.
■ 推导过程：
（1）
第1步：由复数 ，写出模的表达式：
第2步：展开被开方数：
第3步：所以 .被开方数为二次函数 ，当 时取得最小值 8.【9分】
第4步：故当 时， 取得最小值 .
（2）
第5步：由上可知，模最小时 ，此时复数 ，对应点 .
第6步：点 在直线 上，代入坐标得 ，即 .
第7步：目标为求 的最小值.已知 ，变形为 ，可构造“1”的代换：
第8步：展开：
第9步：对后两项使用基本不等式 （）：
第10步：所以 ，当且仅当 即 时取等.【11分】
第11步：联立等号成立条件与约束条件：
，，，
所以，．
第12步：故最小值为 ，此时 ，.
【规律总结】
本题是复数模的计算与函数最值、基本不等式的综合.求模的最值，首先将模表示为实变量的函数；在约束条件下求分式和的最小值，“1”的代换后使用基本不等式是典型通法.
10.（解答）（18分）
已知复数 .
（1） 若 ，求实数 的值；
（2） 若 为虚数，求实数 的取值范围；
（3） 若复数 对应的点在第四象限，求实数 的取值范围.
【答案速览】 （1） （2） （3）
【深度解析】
■ 思路分析：本题三小问分别考查了复数为正实数的条件、为虚数的条件、以及复数对应点所在象限的条件，将复数概念与不等式组求解紧密结合.
■ 推导过程：
（1）
第1步：复数 .若 ，则 必为实数（虚数无法比较大小）.所以虚部 ，且实部 .
第2步：由虚部为零得 .【6分】
第3步：检验实部：当 时，实部 ，不满足 ；当 时，实部 ，成立.故 .
（2）
第4步： 为虚数，只需虚部 ，即 .【6分】
第5步：实数 的取值范围为 .
（3）
第6步：复数 对应的点为 .点在第四象限的条件是横坐标 ，纵坐标 .故列不等式组：
第7步：解 ，即 ，得 或 .【6分】
第8步：解 ，即 ，得 .
第9步：取交集：.
第10步：故实数 的取值范围为 .
【规律总结】
处理与复数分类及几何位置相关的参数问题，核心是将复数条件转化为关于实部和虚部的等式或不等式，然后准确解这些方程或不等式组.这是含参复数问题的标准范式.
三、复数的概念与性质
11.（多选）（6分）
已知复数 ，则下列命题正确的是（ 　　）
A. 若 为纯虚数，则
B. 若 为实数，则
C. 若 在复平面内对应的点在直线 上，则
D. 在复平面内对应的点不可能在第三象限
【答案速览】 BD
【深度解析】
■ 思路分析：本题直接给出含参复数 的解析式，分别判断纯虚数条件、实数条件、点在直线上及点所在象限的不可能性.每一选项都是典型的复数概念判断题.
■ 推导过程：
先提取实部 ，虚部 .对应点坐标为 .
对于A：若 为纯虚数，需 .解 得 .但 使虚部为0，舍去，所以只能 .A说 错误.
对于B：若 为实数，需 ，即 .此时实部 ，故 .B正确.
对于C：点在直线 上，则 .整理得 ，即 ，解得 或 .C说仅 错误.
对于D：若点在第三象限，需 .解第一个得 ，解第二个得 ，两者交集为空.故点不可能在第三象限.D正确.
所以，正确选项是BD.
【规律总结】
这类“已知复数，判断命题真伪”的多选题，解题策略是逐项分析复数的实部、虚部满足的条件，通过方程或不等式求解进行验证.
12.（多选）（6分）
已知复数 ，下列说法正确的有（ 　　）
A. 若 ，则
B. 若 ，则
C. 若 ，则 或
D. 若 ，则
【答案速览】 AC
【深度解析】
■ 思路分析：本题是一道较高难度的概念辨析多选，涉及模的性质、复数平方和为零的含义、零因子律以及模与共轭的关系.需要严格论证或举反例排除.
■ 推导过程：
对于A：利用性质 ，则由 可得 ，模为非负实数，故 .A正确.
对于B：举反例.取 ，则 ，但 .B错误.
对于C：由 移项得 .在复数中，若两复数乘积为0，则至少有一个因式为0.该性质成立（此处已在原题解析中证明），所以 或 ，即 .C正确.
对于D：举反例.取 .则 ，，条件成立.但 .D错误.
所以，正确选项是AC.
【易错警示】
B选项“平方和为零则各为零”是实数范围内的性质，在复数中不再成立.D选项也容易基于实数中的直觉而误判为正确.本题多次考查实数性质在复数中的失效，需格外警惕.
【规律总结】
复数中，实数的一些“理所当然”的性质（如平方和为0则各项为0、两数乘积为0必有一为0）需要重新审视.判断此类命题，第一反应应是“能否举出反例”，无实部的纯虚数往往是最佳的反例来源.
四、复数与方程、三角函数综合
13.（单选）（4分）
已知复数 是关于 的方程 （）的一个根，若复平面内满足 的点 的集合为图形 ，则 围成的面积为（ 　　）
A.
B.
C.
D.
【答案速览】 A
【深度解析】
■ 思路分析：本题是方程、韦达定理与复数几何意义的综合.先用实系数虚根成对和韦达定理求出 ，再将 转化为模的几何条件——圆的半径，最终求圆面积.
■ 推导过程：
第1步：由方程 有虚根 ，且系数为实数，知另一根为 .
第2步：由韦达定理，，.计算得 .
第3步：条件 .
第4步： 的几何意义是：复数 对应的点到 对应点 的距离恒为1，即图形 是以 为圆心、半径为1的圆.
第5步：圆面积 .故答案为A.
14.（多选）（6分）
设 均为实数，关于 的方程 在复数集 上给出下列结论，正确的是（ 　　）
A. 存在 ，使得该方程仅有2个共轭虚根
B. 存在 ，使得该方程有4个互不相等的实数根
C. 存在 ，使得该方程有5个互不相等的根
D. 存在 ，使得该方程最多有6个互不相等的根
【答案速览】 ABD
【深度解析】
■ 思路分析：这是一道极高思维强度的多选题，讨论含绝对值的方程在复数集中的根的情况.采用设 代入，将原方程分解为关于 的两个实方程，再分类讨论.
■ 推导过程：
设 ，代入方程 ，展开并分离实虚部，可导出必有 ，即 为实数或纯虚数.
分类讨论：
若 为实数（）：方程化为 ，即 .令 ，得 .该方程在 时解的个数决定了原方程实数根的个数.
若 为纯虚数（）：方程化为 ，即 .令 ，得 .该方程在 时解的个数决定了原方程纯虚数根的个数.
结合判别式及韦达定理分析根的正负分布，可知：
A项（仅2个共轭虚根）：可取 ，实现.正确.
B项（4个互不相等实根）：可取 ， 有2个不等正根，每个正 对应两实数根，共4个.正确.
C项（5个根）：根的总数必为偶数，不可能有5个.错误.
D项（最多6个根）：在特定参数组合下（如 ），可有4个实数根和2个纯虚数根，共6个.正确.
故答案为ABD.
【规律总结】
复数方程根的讨论，核心策略是利用复数相等的条件，将复数方程拆解为实部和虚部的等式，转化为实方程求解.对于含绝对值的方程，通过设 为实数或纯虚数分类，利用换元法是关键.
15.（填空）（5分）
已知 ，，，则 ____.
【答案速览】 1
【深度解析】
■ 思路分析：已知两个模为1的复数，及它们和的模，求它们差的模.可将模为1的复数设为三角形式：，.然后通过和、差的模的代数表达式，结合和差化积或余弦公式建立联系.
■ 推导过程：
第1步：设 ，.则由条件 ：
第2步：展开并利用 ：
第3步：解得 ，即 .
第4步：再求 .
第5步：代入 ，得 .故 .
【规律总结】
当已知复数的模为1时，利用三角形式（）设出复数，可以将其几何特征转化为三角函数运算，这类方法在涉及模的和、差、积等综合运算时尤为有效.

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