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山东日照市2025-2026学年高一下学期期中考试数学试题
一、单选题
1．在平面直角坐标系内，角的顶点在坐标原点，始边为x轴正半轴，则其终边在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．已知某扇形的圆心角为，半径为，则该扇形的面积为（ ）
A． B． C． D．
3．已知、，“”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
4．若且，，则（ ）
A． B． C． D．
5．已知是第二象限角，，则（ ）
A． B． C． D．
6．已知函数，且的最小值为，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．已知,若,则一定有（ ）
A． B． C． D．
8．已知向量，满足，.当与的夹角最大时，（ ）
A． B．2 C． D．
二、多选题
9．已知向量，，，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C．与夹角的余弦值为 D．
10．已知函数的部分图象如图所示，阴影部分的面积为，则下列说法正确的有（ ）
A．函数的最小正周期为
B．函数的一条对称轴为
C．将函数向右平移个单位长度得到函数
D．函数在区间上单调递增
11．记函数，则（ ）
A．的一个周期为
B．函数在区间上单调递增
C．函数的图象关于直线对称
D．当时，
三、填空题
12．已知角的顶点在坐标原点，始边为轴正半轴，终边经过点，则______．
13．函数在一个周期内的图象经过、、三点．写出一个符合条件的函数的解析式______．
14．已知正边形内接于单位圆，且满足的顶点共有个，若正三角形的顶点、在圆上，则的最大值为______．
四、解答题
15．已知函数．
(1)求的值；
(2)求函数的最小正周期及单调递减区间．
16．已知函数．
(1)若，且，求的值；
(2)在中，若，求的取值范围．
17．如图，有一块矩形铁皮，其中，，阴影部分是一个半径为的扇形．设这个扇形已经腐蚀不能使用，但其余部分均完好，工人师傅想在未被腐蚀的部分截下一块其边落在与上的矩形铁皮，使点在弧上．设，矩形的面积的表达式为．
(1)当时，设，求的值域；
(2)当时，求的最小值，并求出当取得最小值时，所对应的的值．
18．已知函数，若的最小正周期为．
(1)求的解析式；
(2)若函数在上有三个不同零点，，，且．
①求实数取值范围；
②若，证明．
19．已知为边长为的等边三角形，O为的重心．
(1)求的值；
(2)P为平面内一点，满足．
（ⅰ）若，求的取值范围；
（ⅱ）已知点M为边AC的中点，且存在实数x，y，z，使得，求出当最大时的的值．
参考答案
1．C
2．C
3．B
4．D
5．A
6．B
7．A
8．D.
9．AC
10．ABD
11．ACD
12．
13．（或）
14．
15．（1）因为
，
所以.
（2）由（1）可知，，
所以函数的最小正周期为，
由，得，
所以函数的单调递减区间为.
16．（1）
已知，代入化简后的：
已知，则，该区间内余弦值为负：
（2）已知，即
在中，，故，得，
则，，且.
由，得，
故，因此
17．（1）
过作，垂足为，由题意可得：，，
所以，
所以矩形的面积，
当时，
，
令，因为，所以，
则函数，其对称轴为，
当时，，
当或时，，所以，即函数的值域为.
（2）因为，
当时，
当且仅当，即
，解得或时，等号成立．
所以的最小值是，当取得最小值时，所对应的的值是或．
18．（1）由函数
，
因为的最小正周期为，所以，即，
所以.
（2）①由（1）知，
由，可得，
令，则，，
若函数在有三个零点，
即在有三个不相等的实数根，
即关于的方程须有两个不同的实根，
在区间内有一个实根，另一个实根在内，
或一个实根是，另一个实根在内，
（i）当一个根在，另一个根在，
故，，解，
（ii）当一个根为时，即，所以，
此时方程为，所以，不合题意，
（iii）当一个根是，即，解得，
此时方程为，，不合题意；
（iv）当一个根是，另一个实根在，由，可得，
此时方程为，解得或，
当时，对应的一个的解，当也对应一个的解，
共有两个解，不满足有三个不同的零点，不合题意，
综上可得，实数的取值范围是；
②由，可得，
所以，
因为，，即，，
所以，
所以，
所以.
19．（1）因为为的重心，所以.
因此，
所以.
等边三角形的边长为，它的高为.
重心到顶点的距离等于中线长的，所以.
故.
（2）（ⅰ）由，得.
所以，关于点对称，且.
又．设，则.
在中，由余弦定理得.
在中，由余弦定理得.
令，则，于是.
设.
则
因为，所以.
从而.
所以.
又，故.
即.
（ⅱ）以为原点，建立平面直角坐标系，取.
则为的中点，所以.
设，由，得.
由.
可得.
整理得.
若，则结合上式可得，此时无意义，不合题意．
因此．
由于，，同乘同一个非零常数时，和都不变，所以可令.
于是.
对横坐标、纵坐标分别比较，得,.
又.
解这个方程组，得，，.
因为，所以可设.
于是.
这里分母.
所以可以直接比较的大小．设.
则.
整理得.
左边是形如的式子，它的最大值为，所以要使上式有解，必须满足.
两边平方，得.
化简得.
所以.
因此.
当时，即，，有.
此时.
所以的最大值为1．此时.

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