资源简介

山东日照市2025-2026学年高二下学期期中考试数学试题
一、单选题
1．已知等差数列的首项,公差,则
A．5 B．7 C．9 D．11
2．已知数列满足，，则（ ）
A． B． C．2 D．0
3．函数定义在区间，则 “在上恒成立” 是 “在区间单调递增”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不必要也不充分条件
4．设函数在定义域内可导，其图象如图所示，则导函数的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
5．记数列的前项和满足，则（ ）
A． B． C． D．
6．已知函数，则不等式的解集为（）
A． B． C． D．
7．设等差数列的前项和为，若，则满足的正整数的值为（ ）
A．13 B．14 C．15 D．16
8．若使得不等式对任意恒成立，则实数的最大值为（ ）
A．1 B． C．4 D．
二、多选题
9．已知等差数列的前项和为，若，，则（ ）
A． B．和的等比中项为4
C．取最大值时，的值为2或3 D．若，的最大值为5
10．已知函数，则（ ）
A．
B．函数有两个极值点
C．方程有两个不同的根
D．若函数 在定义域内为增函数，则
11．已知数列的通项公式为，，将按从小到大的顺序排列起来构成数列，.数列中落在区间内项的个数记为数列，，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C．若，则 D．若，则
三、填空题
12．设函数，则__________.
13．已知函数在处有极小值，则__________.
14．已知是各项均为正整数的数列，且，，对，与有且仅有一个成立，则的最小值为__________.
四、解答题
15．已知数列是各项均为正数的等差数列，为其前项和，，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列数列的前项和为，求．
16．已知函数，.
(1)若函数在点处的切线方程为，求，的值；
(2)若函数在上单调递增，求的取值范围.
17．已知函数的一个极值点是.
(1)当时，求的单调区间；
(2)设，，若存在，，使得成立，求实数的取值范围.
18．已知数列满足，，设，将数列的项按照如下规律分群，，，.
(1)求的通项公式；
(2)设第个群中所有项的和为，求；
(3)在（2）的条件下，设数列满足，时，，若，，求实数的取值范围.
19．已知函数和，直线与两条曲线和均相交.
(1)若直线与两条曲线共有2个不同的交点，求实数的取值范围；
(2)求同时与曲线和相切的直线条数；
(3)若直线与两条曲线共有四个不同的交点，从左到右四个交点的横坐标分别记为，，，，是否存在，使得，，，依次成等比数列？请说明理由.
（注：，）
参考答案
1．C
2．A
3．A
4．B
5．C
6．D
7．D
8．C
9．AC
10．ACD
11．ABD
12．4
13．
14．25
15．（1）设数列的公差为．因为，
所以，解得，
所以；
（2）由（1）可得，
所以
．
16．（1）由题，，因为在处的切线为，所以，
代入得切点为，切点在切线上，则.
（2）由题，求导得，
由在上单调递增，得在上恒成立，
当时，，因此在上恒成立，又，则
17．（1）（），
，
因为函数的一个极值点是，
，即，则有，
则（），
当时，令得或，列表如下：
2
－ 0 ＋ 0 －
减 增 减
满足是函数的极值点；
综上：当时，函数在上单调递增，在和上单调递减．
（2）由（1）知，，且，
在单调递增，在单调递减，
又，，
在上的最大值为，最小值为，
又时函数在单调递增，
在上的最大值为，最小值为，
因为存在，，使得成立，
即存在，，使得成立，
则，
又，解得，
所以实数的取值范围为．
18．（1）由，两边取倒数得.
由，得.又，故.
所以是以为首项，为公差的等差数列.
故.
（2）分群规律：第个群项，第个群项，，第个群有项.
前群共有项数：.
所以第群首项为，末项为.
,
项数为，则
.
（3）时，，
.
时也满足，故.
由，得.
令..
又，.
时，时.
故最小值为.
所以，实数取值范围为.
19．（1）函数和的定义域分别为和，
又，，
令得，令得，
当时，，当时，，
故在单调递减，在单调递增，
当时，，当时，，
在单调递减，在单调递增，
当时，；当时，；当时，，，
又，
如图，因为直线与两条曲线和共有2个不同的交点，
所以t的取值范围为.
（2）设函数和在点和处的切线分别为和，
即和，
由题意可得，，
由于，消去可得，即，
令，，
由和可知，
则，
当时，，，则；
当时，，
则在上单调递增，此时，
所以当时，，
当时，，当时，；当时，，
故在上单调递减，在上单调递增，
而，，
当时，，由零点存在定理，存在，使得，
故存在两个零点和，则与这两条曲线都相切的直线条数为2．
（3）由（1）可知且，
再由可知，而，
函数在上递减，因此，
同理可得，
又，于是，从而有，
要使，，，依次成等比数列，只需保证，即，
利用，可得，，则，
故，
于是，
即，
令，则，
令，则，
令，则，
则在单调递增，
又，，故存在使得，
于是在上单调递减，在上单调递增，
又，则，
而，，
故在上存在两个零点，且，
当时，由可知，
两边同时减去整理得，
令，则，故在单调递减，
因为，
而，由在单调递增可知，
即，故，则，
再由可知，与矛盾，
所以区间上满足题意的是唯一的，即，此时的值也是唯一的，
故存在唯一的t，使得，，，依次成等比数列．

展开更多......

收起↑