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河南省华大新高考联盟2026届高三下学期5月联考
数学试卷
一、单选题
1．已知i为虚部单位，若，则
A．i B． C． D．
2．已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
3．已知函数是定义在上的奇函数，当时，（m为常数），则（ ）
A．4 B．7 C． D．8
4．（ ）
A．1 B． C． D．2
5．某中学要在五一假期期间组织学生参加爱国主义教育活动，需要挑选10名志愿者，10个志愿者名额要分给该校高一年级的八个班，每个班至少一个名额，则名额分配方法有（ ）
A．45种 B．36种 C．28种 D．8种
6．设等差数列的首项和公差均为m，等比数列的首项和公比也均为m，其中，若数列的前6项和与数列的前3项和都等于S，则（ ）
A．84 B．63 C．42 D．21
7．若，则（ ）
A． B． C． D．
8．函数的最小值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
10．设的三个内角分别为A，B，C，重心为G，则（ ）
A．以的长度为边能构成三角形
B．以的三条中线的长度为边能构成三角形
C．以的长度为边能构成三角形
D．若点G到的三边，，的距离分别为，则以的长度为边能构成三角形
11．已知双曲线的左、右焦点分别为，点P在双曲线C的右支上，且，则（ ）
A．当时，的面积为 B．当时，的周长为
C．当为钝角时， D．内切圆的半径的取值范围是
三、填空题
12．空间向量在上的投影向量为___________．
13．已知直线l与曲线和都相切，则直线l的方程为_________．
14．投掷一枚质地均匀的骰子，直到掷出数字1或6为止，则在掷出1或6之前，数字2，3，4，5每个都至少出现一次的概率为_________．
四、解答题
15．为研究新能源汽车的销售量变化情况，现统计了某市2025年第二、第三季度每个月的销售量（单位：万辆）如下表所示．
月份 4月 5月 6月 7月 8月 9月
月份代号x 1 2 3 4 5 6
销售量y 1.5 2.3 2.8 3.2 3.7 4.5
(1)求这6个月销售量数据的平均数和80%分位数；
(2)已知该市销售量y与月份代号x具有很强的线性相关关系，求y关于x的经验回归方程，并预测2025年12月份的销售量．
附：经验回归方程的斜率与截距的最小二乘估计公式分别为，，，.
16．设函数，将函数的正零点按照从小到大的顺序排列，得到数列，且．
(1)求的值；
(2)求函数图象的对称中心；
(3)求数列的前2n项和．
17．如图1，等腰直角的斜边，D为BC的中点，沿BC边上的高AD折叠，使得二面角为，如图2所示，设M为CD的中点．
(1)证明：平面．
(2)求平面和平面的夹角的余弦值．
(3)在线段AC（含端点）上是否存在点Q，使得直线MQ与平面所成角的正弦值为？若存在，求出线段AQ的长度；若不存在，请说明理由．
18．已知函数，其中．
(1)当时，求方程的所有实数解；
(2)证明：当时，；
(3)若在上恒成立，求a的值．
19．已知椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆E上且的周长为6．
(1)求椭圆E的方程．
(2)设过点的直线与椭圆E交于A，B两点，过点的直线与椭圆E交于C，D两点，与的交点为P，且与的斜率之积为．
①求点P的轨迹方程；
②求四边形ACBD面积的取值范围．
参考答案及解析
1．A
解析：由题意，复数，
所以.
故选：A．
2．D
解析：解不等式，得，即，
所以，
解不等式，变形得，
因为指数函数是上的增函数，所以，
所以．
3．C
解析：由已知得，则，
所以当时，，
所以，故．
4．D
解析：，
，
所以．
5．B
解析：10个名额为相同元素，可用隔板法，10个相同元素分为8组，即将7个隔板插入9个空，．
6．A
解析：依题意可知，，显然，
又，
则．
又，故，
所以，解得，所以．
7．C
解析：令，则.
当时，，单调递减；当时，，单调递增.
又，所以
所以，即.
令，则，
令，则.
当时，，单调递增；当时，，单调递减.
所以恒成立，即恒成立，所以是减函数，
所以，即，即．
综上所述，.
8．B
解析：因为，
，
所以．
令，设，则．
当时，，所以的最小值为．
9．AD
解析：对于A，若，由线面垂直的性质可知，A正确；
对于B，若，则可能有或或斜交或，B错误；
对于C，若，但是m不一定在内，故不能推出，C错误；
对于D，因为，，所以直线的方向向量分别与平面的法向量平行，
又因为，所以两平面的法向量互相垂直，故两直线的方向向量互相垂直，即，D正确.
故选：AD
10．ABD
解析：由正弦定理可知，
所以以的长度为边能构成三角形，故A正确，
设三条中线分别为AD，BE，CF，则有，
因为，所以，即三个向量可构成闭合回路，
所以以的三条中线AD，BE，CF的长度为边能构成三角形，故B正确，
显然当时，，故C错误，
因为，所以，
所以，所以以的长度为边能构成三角形，故D正确．
11．BC
解析：当时，，故A错误；
设，当时，
有，
所以，的周长为，故B正确；
设，当为钝角时，由余弦定理知，
因为，
所以，故C正确；
由如下引理知内切圆的半径的取值范围是，即，故D错误．
引理 双曲线的焦点三角形的内切圆半径的取值范围是．
证明如下：
如图，点P位于第一象限，是双曲线的左、右焦点，设焦点内切圆的圆心为G，则圆心G在直线上（证明省略）．
设内切圆的半径为r，点，
由焦半径公式得，其中．
所以．
因为，
即．
因为点在双曲线C上，所以，得．
于是，把代入得
．
易知在时单调递增，且，
由函数的单调性及极限的知识可知，
因此双曲线的焦点三角形的内切圆半径的取值范围是．
12．
解析：由题意得，，，
故向量在上的投影向量为.
故答案为：
13．
解析：设，与曲线联立，得，由，得．
直线l与曲线联立，得，显然，由，得．
所以，
化简得，又，所以，从而．
所以直线l的方程为，即．
14．
解析：定义状态i（）表示在停止事件（掷出1或6）发生之前，
已经观察到不同的数字来自集合的个数，
设为从状态i出发最终成功的概率（即最终在掷出1或6之前已经收集全4个数字），
显然，当时，已经收集全4个数字，此后无论掷出什么，只要首次掷出1或6时即成功，因此，
对于状态i（），考虑下一次掷骰子的结果，有三种可能：
①掷出数字1或6（概率为），此时停止，但由于尚未收集全4个数字（），因此失败，成功的概率为0，
②掷出一个已经出现过的属于的数字（概率为），状态保持不变，
③掷出一个未出现过的属于的新数字（概率为），状态转移到，
因此，从状态i出发，最终成功的概率满足方程：
，
化简得，移项得，
即．
利用，依次计算得
，
，
因此，所求概率为．
15．(1)平均数为3；80%分位数为3.7
(2)，约为6.08万辆
解析：（1）由题意可得，6个月销售量从小到大排列为： ，
所以平均数为．
因为，所以这6个月销售量数据的80%分位数为从小到大排列后的第5个数：3.7．
（2）由（1）可知：， ，
，
，
所以 ，当时，（万辆），
即预测2025年12月份的销售量约为6.08万辆．
16．(1)
(2)
(3)
解析：（1）令得
或，其中，
解得或，
所以当时，的最小正零点为．
依题意有，故．
（2）由（1）知，
令，解得，
所以函数图象的对称中心为．
（3）由（1）可知满足或，
依据三角函数的特性可知，在一个周期内有两个零点，
所以最小的两个正零点为，周期，
所以数列的奇数项构成了一个以为首项，2为公差的等差数列，
数列的偶数项构成了一个以为首项，2为公差的等差数列，
所以
所以，
所以．
17．(1)证明见解析
(2)
(3)存在；
解析：（1）在图1的等腰直角中，D为的中点，可得，
所以在图2中，可得．
因为，且，平面，所以平面．
又因为平面，所以．
因为平面，所以是二面角的平面角，即，
所以为等边三角形
因为M为的中点，所以．
又因为，且AD，平面，所以平面．
（2）以D为坐标原点，在平面内作垂直于DC的直线为x轴，DC，DA所在直线分别为y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示，则，
则．
设平面的法向量为，则
则，取，可得，所以．
设平面DAB的法向量为，则
则，取，可得，所以．
所以，
所以平面和平面所成角的余弦值为．
（3）假设在线段AC上存在点Q，使得直线MQ与平面所成角的正弦值为．
由（2）得，
设，则．
平面的一个法向量为，
设直线与平面所成的角为，
则，
化简得，解得或（舍去），
所以存在点Q，使得直线与平面所成角的正弦值为．
当时，．
18．(1)或
(2)证明见解析
(3)
解析：（1）当时，，
则，所以，
所以，
即或，
解得或．
所以方程的所有实数解为或．
（2）令，则，
当时，因为在上单调递增，且，
所以当 时，单调递减；
当 时， 单调递增，
所以．
当时，因为，所以，
综上所述，当时，，即．
（3）构造函数，
则，
因为对任意内恒成立，
且，可知为极小值点，则，即，
若，因为，则，
由（2）知，当时，成立，
所以在上单调递增，
则，由的单调性知，
当时，单调递减；
当时，单调递增；
所以，满足题意，
综上所述，．
19．(1)
(2)① ；②
解析：（1）因为椭圆的焦点为，
的周长为，即，
已知在椭圆上，代入得，
结合椭圆关系，所以，
解得，
所以椭圆E的方程为．
（2）由（1）可知，椭圆E的方程为，焦点坐标为，
①设直线与直线的斜率分别为，则，
设点P的坐标为，则，
即，因为斜率存在所以,
化简得，
所以点P的轨迹方程为，
②方法一 设，
联立，
则，
联立，
则，
所以，
同理可得，
设与的夹角为，因为与的方向向量分别为，
所以，
所以，
设四边形ACBD的面积为S，
则，
因为，所以，
令，则，
则，
令，则，化简得，
当时，S→6；当时，，
所以四边形ACBD面积的取值范围是，
方法二 设，直线AB的方程为，
则，直线CD的方程为，
联立直线AB与椭圆的方程得，
则，
所以，
设分别为点C，D到直线AB的距离，四边形ACBD的面积为S，
则，
，
联立得，
故．
所以，
所以，
思路1：令，则
，
因为，所以，
因此，
思路2：令，则，即，则
，
显然，当时，S取得最大值，当时，，
因此．

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