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广东省佛山市2024-2025学年高二下学期期末教学质量检测数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合，，则（　　）
A． B． C． D．
2．复数的共轭复数是（　　）
A． B． C． D．
3．已知正方形的边长为，，，，则（　　）
A． B． C． D．
4．已知为等差数列的前n项和，，，则（　　）
A． B． C．3 D．6
5．学校组织学生参加劳动基地实践活动，将名学生分配到整地做畦、作物移栽和藤架搭建个项目进行劳动技能训练，每名学生只分配到个项目，每个项目至少分配名学生，则不同的分配方案共有（　　）
A．种 B．种 C．种 D．种
6．某车间为规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了次实验，收集数据如表所示：
零件个数/个
加工时间
根据计算可知加工时间关于零件数的一元线性回归方程为，则（　　）
A． B． C． D．
7．某海湾一固定点处大海水深d与时间t之间的关系为，则该处水位变化速度的最大值是（　　）
A． B． C． D．4
8．某工厂近两年投产高新电子产品，第一个月产量为1000台，合格品率为80%，以后每月的产量在前一个月的基础上提高20%，合格品率比前一个月增加1%.已知第n个月（，且）生产合格品首次突破5000台，则n的值为（参考数据：）（　　）
A．8 B．9 C．10 D．11
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分.
9．设随机变量，随机变量，其正态密度曲线如图所示，则（　　）
A． B．
C． D．
10．已知数列的前n项和为，，则（　　）
A．数列是递减数列 B．当且仅当时，取得最小值
C．数列是递减数列 D．当且仅当时，取得最小值
11．已知函数，则（　　）
A．函数有两个极值点
B．函数在单调递增
C．，函数恰有两个零点
D．，函数在上有最大值
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，其中第14题第一空2分，第二空3分.
12．展开式中的系数为　 　.（用数字作答）
13．已知直线与曲线相切，则=　 　.
14．在棱长为1个单位的正方体中，一个质点在随机外力的作用下从顶点出发，每隔1秒等可能地沿着棱移动1个单位，移动的方向是随机的.设第n秒（）后，质点位于平面ABCD的概率为，则　 　，　 　.
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．一袋子中有大小相同的10个小球，其中有3个白球，7个黑球.现从中依次摸出2个球，记摸到白球的个数为X.
（1）若采用不放回摸球，求X的分布列；
（2）若采用有放回摸球，求X的数学期望与方差.
16．如图，在长方体中，，，.
（1）求证：；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
17．已知数列的前n项和为，且（）.
（1）若为等比数列，求公比q的值；
（2）若，
（ⅰ）证明：数列为等比数列；
（ⅱ）求数列的前n项和.
18．已知函数（，）.
（1）当时，求证：；
（2）讨论的单调性；
（3）当时，，求a的取值范围.
19．甲乙两人进行投篮，抛硬币决定谁先投篮，并约定：一人先投篮，若未命中，则换为对方投篮；若后投篮者还没命中，则由先投篮者再投篮，如此往复下去直到有人命中为止，先命中者胜，比赛结束.已知甲的命中率为，乙的命中率为，且甲乙是否命中相互独立.
（1）假设，，求第2次投篮后比赛结束的概率；
（2）已知甲先投篮，求甲获胜的概率；
（3）从最终获胜的角度出发，根据与的大小关系，判断先投篮者的优势是否更大？说明理由.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：集合，，则.
故答案为：D.
【分析】直接根据集合的交集运算求解即可.
2．【答案】A
【知识点】复数代数形式的乘除运算；共轭复数
【解析】【解答】解：，则复数的共轭复数是.
故答案为：A.
【分析】根据复数代数形式的乘除运算化简，再根据共轭复数的定义求解即可.
3．【答案】B
【知识点】向量的模；平面向量的线性运算
【解析】【解答】解：易知，则，
.
故答案为：B.
【分析】根据正方形的性质，结合平面向量的线性运算化简求解即可.
4．【答案】B
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和
【解析】【解答】解：等差数列的前n项和，且，，
由题意得，解得，
则.
故答案为：B.
【分析】由题意，根据等差数列求和公式列关于的方程组，求基本量，再利用等差数列通项公式求解即可.
5．【答案】B
【知识点】排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：将四名学生分为三组，每组人数分别为、、，再将这三组学生分配给三个项目即可，
所以，不同的分配方案种数为种.
故答案为：B.
【分析】利用分组、分配求解即可.
6．【答案】C
【知识点】线性回归方程；回归分析
【解析】【解答】解：由表格中的数据可得，，
将样本点中心代入回归直线方程可得，解得.
故答案为：C.
【分析】先计算数据的平均数，再根据回归方程必过样本点中心，代入回归直线方程，求的值即可.
7．【答案】C
【知识点】瞬时变化率
【解析】【解答】解：由，得，
则该处水位变化速度的最大值是.
故答案为：C.
【分析】求导，利用导数求瞬时速度，再根据正弦函数的性质求该处水位变化速度的最大值即可.
8．【答案】D
【知识点】利用导数研究函数的单调性；数列的应用
【解析】【解答】解：由题可得第n个月生产合格品数量为，
由题可得，
当，，不满足题意；
，，不满足题意；
，，不满足题意；
，，满足题意，
令，
则，
从而在上单调递增，由以上分析可得.
则当第n个月生产合格品首次突破5000台时，.
故答案为：D.
【分析】易知第n个月生产合格品数量为，由题可得，验证是否满足上不等式，据此可得时，满足题意，构造函数，求导，利用导数判断函数的单调性验证结论正误即可.
9．【答案】A,B,D
【知识点】正态密度曲线的特点
【解析】【解答】解：，，
A、两曲线分别关于直线对称，由图可知，故A正确；
B、因为，所以，故B正确；
C、因为的正态密度曲线比的正态密度曲线更“高瘦”，所以，故C错误；
D、因为，所以，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】根据正态密度曲线特点逐项判断即可.
10．【答案】B,D
【知识点】数列的函数特性；数列的通项公式
【解析】【解答】解：A、易知，，，则，数列不单调，故A错误；
B、，
当且时，且数列单调递减，
当且时，且数列单调递减，
故当且仅当时，取得最小值，故B正确；
C、由可得或，
故当时，，故数列单调递增，故C错误；
D、由，可得，
当时，；当时，，
故当且仅当时，取得最小值，故D正确.
故答案为：BD.
【分析】根据通项公式求，即可判断A；化简，分析数列的单调性，求最值即可判断B；利用数列的单调性即可判断C；令解不等式，时，，求的最小值即可判断D.
11．【答案】A,C,D
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：函数定义域为，，
令，
则，
即方程有两个不相等的实数根，设为，不妨令；
A、则时，，单调递增；
时，，单调递减；
时，，单调递增，所以函数有两个极值点，故A正确；
B、根据韦达定理，，
若，则，则，
所以，时，，单调递减；
时，，单调递增，故B错误；
对于C，取时，，
令，解得或，此时，函数恰有两个零点，故C正确；
D、因为，所以，则，
所以，时，，单调递增；
时，，单调递减；
时，，单调递增，
所以，函数在处取得极大值，
又，则，
又因为，
所以，
，
所以，即，
则函数在处取得极大值就是在上的最大值，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】求函数的定义域，再求导，利用导数判断函数的单调性即可判断B；利用函数的单调性，求极值即可判断A；取特殊值，令，求函数的零点，确定函数零点的个数，即可判断C；，可得，， 确定函数的单调性，利用函数单调性求得极大值，再与端点值比较大小确定最大值即可判断D.
12．【答案】20
【知识点】二项式定理
【解析】【解答】解：展开式中含的项为，则展开式中的系数为20.
故答案为：20.
【分析】利用二项式定理求解即可.
13．【答案】3
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究曲线上某点切线方程；直线的斜率
【解析】【解答】解：设切点为（x0，y0），
由题意，可得：曲线的方程为y＝ln（x+），
所以y＝．
则k切＝＝1且y0＝x0+2，y0＝ln（x0+），
解得：y0＝0，x0＝﹣2，
则＝3．
故答案为3．
【分析】设切点为（x0，y0），先求出函数y＝ln（x+）的导数为y＝，从而得出k切＝＝1且y0＝x0+2，y0＝ln（x0+），进而求出的值．
14．【答案】；
【知识点】等比数列概念与表示；古典概型及其概率计算公式；数列的通项公式
【解析】【解答】解：正方体的8个顶点分居在两层：
上底面和下底面内，
每个顶点有3条棱连接到相邻顶点，移动方向等可能，概率为，
因此质点在同层内移动到另一顶点的概率为，质点移动到另一层顶点的概率为，
第秒后，质点位于平面ABCD的概率为，位于平面的概率为，，
，
则，即，，
数列是以为首项，为公比的等比数列，，即，
故答案为：；.
【分析】将正方体8个顶点分成两层，上底面和下底面内，求出质点在同层内移动的概率和另一层的概率，即可求出；求递推关系，利用构造法，结合等比数列的定义求数列通项公式即可.
15．【答案】（1）解：易知的所有可能取值为，
，，，
则的分布为：
0 1 2

（2）解：依题意，的所有可能取值为，每次摸到白球的概率为，则，
则的期望，方差.
【知识点】离散型随机变量及其分布列；超几何分布；二项分布
【解析】【分析】（1）易知的所有可能取值为，利用超几何分布求各个值对应的概率，列分布列即可；
（2）由题意，的所有可能取值为，每次摸到白球的概率为，随机变量服从二项分布，利用二项分布的期望、方差公式计算即可.
（1）依题意，的所有可能取值为，
，，
所以的分布为：
0 1 2
（2）依题意，的所有可能取值为，每次摸到白球的概率为，则，
所以的期望，方差.
16．【答案】（1）证明：以D为原点，为x轴，为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，如图所示：
，，，，
，，
因为，所以；
（2）解：设平面的法向量为，，，，
又，，
则，可得，取，则，
即平面的一个法向量为，
设直线与平面所成角为，
则，
即直线与平面所成角的正弦值为.
【知识点】用空间向量研究直线与直线的位置关系；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1）以D为原点，为x轴，为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，求出、的坐标，根据证明即可；
（2）由（1）的空间直角坐标系，设平面的法向量为，利用空间向量法求解即可.
（1）以D为原点，为x轴，为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，
由题意得，，，，
，∴，，
∴，
∴.
（2）设平面的法向量为，
，，，
又，，
则，
∴，取，则，
∴平面的一个法向量为，
设直线与平面所成角为
∴，
即直线与平面所成角的正弦值为.
17．【答案】（1）解：数列中，，，
令，可得，
若数列为等比数列，则，解得或，
当时，，，，
而，显然不恒成立，因此；
当时，，，，符合题意，
故；
（2）证明：（ⅰ）由，得，两式相减得，
则，当时，，
而，，则，即，，
所以数列为等比数列；
（ⅱ）由（ⅰ）知等比数列的首项为3，公比为2，则，
，两式相减得，
当时，，
于是，，则；
当时，，
于是，，则，
因此，，，
则，，
两式相减得，
则.
【知识点】等比数列概念与表示；等比数列的前n项和；数列的求和；数列的递推公式
【解析】【分析】（1）由题意，令求得，根据数列为等比数列，求公比，再结合通项公式及前n项和公式验证判断即可；
（2）（ⅰ）利用前n项和与第n项的关系及已知可得，再利用等比数列定义证明即可；
（ⅱ）由（ⅰ）的结论求得，再分奇偶求出，最后利用错位相减法求和即可.
（1）数列中，，由，得，
则，解得或，
当时，，，，
而，显然不恒成立，因此，
当时，，，，符合题意，
所以.
（2）（ⅰ）由，得，两式相减得，
则，当时，，
而，，则，即，，
所以数列为等比数列.
（ⅱ）由（ⅰ）知等比数列的首项为3，公比为2，则，
，两式相减得，
当时，，
于是，，则；
当时，，
于是，，则，
因此，，，
则，，
两式相减得，
所以.
18．【答案】（1）证明：当时，
设，
所以单调递增，
则当时，单调递增；
当时，单调递减，
所以，
则，
所以.
（2）解：因为函数的定义域为，
求导，得：，
当时，，，
当时，单调递增；
当时，单调递减；
当时，，
令，
解得，
当时，单调递增；
当时，单调递减；
当时，单调递增；
当时，，
令，解得，
当时，单调递增；
当时，单调递减；
当时，单调递增；
当时，，
令，解得，
当时，单调递增，
综上所述，当时，在上单调递减，在上单调递增；
当时，在，上单调递增，在上单调递增；
当时，在上单调递增；
当时，在，上单调递增，在上单调递增.
（3）解：当时，符合题意；
当时，，
则等价于恒成立，
令，
则，
由（1）知，
所以，，
当时，单调递减；
当时，单调递增；
则，
因为恒成立，
所以，
则，
所以，实数的取值范围为.
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）构造函数结合函数单调性，从而得出函数最小值，进而证出不等式成立.
（2）先求出导函数，再分，，，四种情况，在根据导数的正负判断并讨论出函数的单调性.
（2）利用参变分离得到，再构造函数，再求导判断函数的单调性，从而得出函数的最大值，进而得出实数a的取值范围.
（1）当时，设，
所以单调递增，
所以当时，单调递增；
当时，单调递减；
所以，所以，
所以；
（2）函数的定义域为，求导得，
当时，，
当时，单调递增；当时，单调递减；
当时，，
令，解得，
当时，单调递增；当时，单调递减；当时，单调递增；
当时，，
令，解得，
当时，单调递增；当时，单调递减；当时，单调递增；
当时，，
令，解得，
当时，单调递增；
综上，当时，在上单调递减，在上单调递增；
当时，在，上单调递增，在上单调递增；
当时，在上单调递增；
当时，在，上单调递增，在上单调递增；
（3）当时，符合题意；
当时，，则等价于恒成立，
令，
，
由（1）知，所以，，
当时，单调递减；当时，单调递增；
则，
因为恒成立，所以，
所以，
实数的取值范围为.
19．【答案】（1）解：设第2次投篮后比赛结束为事件，由题意得；
（2）解：设甲先投篮甲获胜为事件，为甲第一投命中，则，
因为第1，2次投篮没中后，相当于重新开始比赛，此甲获胜的概率也为，
故，
因此，故；
（3）解：设甲先投篮甲获胜为事件，为乙先投乙获胜，
则由（2）可得，，
同理，，
则先投占优等价于，即，
则先投不占优等价于或，
综上，当时，先投占优；
当或，先投不占优.
【知识点】相互独立事件的概率乘法公式；全概率公式
【解析】【分析】（1）先记事件，再根据独立事件的乘法公式计算即可；
（2）先记事件，利用全概率公式，结合独立事件概率公式求概率即可；
（3）由（2）得出先投篮者获胜的概率判断即可.
（1）设第2次投篮后比赛结束为事件，
由题意得；
（2）设甲先投篮甲获胜为事件，为甲第一投命中，
则，
因为第1，2次投篮没中后，相当于重新开始比赛，此甲获胜的概率也为，
故，
因此，故；
（3）设甲先投篮甲获胜为事件，为乙先投乙获胜，
则由（2）可得，，
同理，，
则先投占优等价于，即，
则先投不占优等价于或，
综上，当时，先投占优；
当或，先投不占优.
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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合，，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：集合，，则.
故答案为：D.
【分析】直接根据集合的交集运算求解即可.
2．复数的共轭复数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】复数代数形式的乘除运算；共轭复数
【解析】【解答】解：，则复数的共轭复数是.
故答案为：A.
【分析】根据复数代数形式的乘除运算化简，再根据共轭复数的定义求解即可.
3．已知正方形的边长为，，，，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】向量的模；平面向量的线性运算
【解析】【解答】解：易知，则，
.
故答案为：B.
【分析】根据正方形的性质，结合平面向量的线性运算化简求解即可.
4．已知为等差数列的前n项和，，，则（　　）
A． B． C．3 D．6
【答案】B
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和
【解析】【解答】解：等差数列的前n项和，且，，
由题意得，解得，
则.
故答案为：B.
【分析】由题意，根据等差数列求和公式列关于的方程组，求基本量，再利用等差数列通项公式求解即可.
5．学校组织学生参加劳动基地实践活动，将名学生分配到整地做畦、作物移栽和藤架搭建个项目进行劳动技能训练，每名学生只分配到个项目，每个项目至少分配名学生，则不同的分配方案共有（　　）
A．种 B．种 C．种 D．种
【答案】B
【知识点】排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：将四名学生分为三组，每组人数分别为、、，再将这三组学生分配给三个项目即可，
所以，不同的分配方案种数为种.
故答案为：B.
【分析】利用分组、分配求解即可.
6．某车间为规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了次实验，收集数据如表所示：
零件个数/个
加工时间
根据计算可知加工时间关于零件数的一元线性回归方程为，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】线性回归方程；回归分析
【解析】【解答】解：由表格中的数据可得，，
将样本点中心代入回归直线方程可得，解得.
故答案为：C.
【分析】先计算数据的平均数，再根据回归方程必过样本点中心，代入回归直线方程，求的值即可.
7．某海湾一固定点处大海水深d与时间t之间的关系为，则该处水位变化速度的最大值是（　　）
A． B． C． D．4
【答案】C
【知识点】瞬时变化率
【解析】【解答】解：由，得，
则该处水位变化速度的最大值是.
故答案为：C.
【分析】求导，利用导数求瞬时速度，再根据正弦函数的性质求该处水位变化速度的最大值即可.
8．某工厂近两年投产高新电子产品，第一个月产量为1000台，合格品率为80%，以后每月的产量在前一个月的基础上提高20%，合格品率比前一个月增加1%.已知第n个月（，且）生产合格品首次突破5000台，则n的值为（参考数据：）（　　）
A．8 B．9 C．10 D．11
【答案】D
【知识点】利用导数研究函数的单调性；数列的应用
【解析】【解答】解：由题可得第n个月生产合格品数量为，
由题可得，
当，，不满足题意；
，，不满足题意；
，，不满足题意；
，，满足题意，
令，
则，
从而在上单调递增，由以上分析可得.
则当第n个月生产合格品首次突破5000台时，.
故答案为：D.
【分析】易知第n个月生产合格品数量为，由题可得，验证是否满足上不等式，据此可得时，满足题意，构造函数，求导，利用导数判断函数的单调性验证结论正误即可.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分.
9．设随机变量，随机变量，其正态密度曲线如图所示，则（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A,B,D
【知识点】正态密度曲线的特点
【解析】【解答】解：，，
A、两曲线分别关于直线对称，由图可知，故A正确；
B、因为，所以，故B正确；
C、因为的正态密度曲线比的正态密度曲线更“高瘦”，所以，故C错误；
D、因为，所以，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】根据正态密度曲线特点逐项判断即可.
10．已知数列的前n项和为，，则（　　）
A．数列是递减数列 B．当且仅当时，取得最小值
C．数列是递减数列 D．当且仅当时，取得最小值
【答案】B,D
【知识点】数列的函数特性；数列的通项公式
【解析】【解答】解：A、易知，，，则，数列不单调，故A错误；
B、，
当且时，且数列单调递减，
当且时，且数列单调递减，
故当且仅当时，取得最小值，故B正确；
C、由可得或，
故当时，，故数列单调递增，故C错误；
D、由，可得，
当时，；当时，，
故当且仅当时，取得最小值，故D正确.
故答案为：BD.
【分析】根据通项公式求，即可判断A；化简，分析数列的单调性，求最值即可判断B；利用数列的单调性即可判断C；令解不等式，时，，求的最小值即可判断D.
11．已知函数，则（　　）
A．函数有两个极值点
B．函数在单调递增
C．，函数恰有两个零点
D．，函数在上有最大值
【答案】A,C,D
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：函数定义域为，，
令，
则，
即方程有两个不相等的实数根，设为，不妨令；
A、则时，，单调递增；
时，，单调递减；
时，，单调递增，所以函数有两个极值点，故A正确；
B、根据韦达定理，，
若，则，则，
所以，时，，单调递减；
时，，单调递增，故B错误；
对于C，取时，，
令，解得或，此时，函数恰有两个零点，故C正确；
D、因为，所以，则，
所以，时，，单调递增；
时，，单调递减；
时，，单调递增，
所以，函数在处取得极大值，
又，则，
又因为，
所以，
，
所以，即，
则函数在处取得极大值就是在上的最大值，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】求函数的定义域，再求导，利用导数判断函数的单调性即可判断B；利用函数的单调性，求极值即可判断A；取特殊值，令，求函数的零点，确定函数零点的个数，即可判断C；，可得，， 确定函数的单调性，利用函数单调性求得极大值，再与端点值比较大小确定最大值即可判断D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，其中第14题第一空2分，第二空3分.
12．展开式中的系数为　 　.（用数字作答）
【答案】20
【知识点】二项式定理
【解析】【解答】解：展开式中含的项为，则展开式中的系数为20.
故答案为：20.
【分析】利用二项式定理求解即可.
13．已知直线与曲线相切，则=　 　.
【答案】3
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究曲线上某点切线方程；直线的斜率
【解析】【解答】解：设切点为（x0，y0），
由题意，可得：曲线的方程为y＝ln（x+），
所以y＝．
则k切＝＝1且y0＝x0+2，y0＝ln（x0+），
解得：y0＝0，x0＝﹣2，
则＝3．
故答案为3．
【分析】设切点为（x0，y0），先求出函数y＝ln（x+）的导数为y＝，从而得出k切＝＝1且y0＝x0+2，y0＝ln（x0+），进而求出的值．
14．在棱长为1个单位的正方体中，一个质点在随机外力的作用下从顶点出发，每隔1秒等可能地沿着棱移动1个单位，移动的方向是随机的.设第n秒（）后，质点位于平面ABCD的概率为，则　 　，　 　.
【答案】；
【知识点】等比数列概念与表示；古典概型及其概率计算公式；数列的通项公式
【解析】【解答】解：正方体的8个顶点分居在两层：
上底面和下底面内，
每个顶点有3条棱连接到相邻顶点，移动方向等可能，概率为，
因此质点在同层内移动到另一顶点的概率为，质点移动到另一层顶点的概率为，
第秒后，质点位于平面ABCD的概率为，位于平面的概率为，，
，
则，即，，
数列是以为首项，为公比的等比数列，，即，
故答案为：；.
【分析】将正方体8个顶点分成两层，上底面和下底面内，求出质点在同层内移动的概率和另一层的概率，即可求出；求递推关系，利用构造法，结合等比数列的定义求数列通项公式即可.
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．一袋子中有大小相同的10个小球，其中有3个白球，7个黑球.现从中依次摸出2个球，记摸到白球的个数为X.
（1）若采用不放回摸球，求X的分布列；
（2）若采用有放回摸球，求X的数学期望与方差.
【答案】（1）解：易知的所有可能取值为，
，，，
则的分布为：
0 1 2

（2）解：依题意，的所有可能取值为，每次摸到白球的概率为，则，
则的期望，方差.
【知识点】离散型随机变量及其分布列；超几何分布；二项分布
【解析】【分析】（1）易知的所有可能取值为，利用超几何分布求各个值对应的概率，列分布列即可；
（2）由题意，的所有可能取值为，每次摸到白球的概率为，随机变量服从二项分布，利用二项分布的期望、方差公式计算即可.
（1）依题意，的所有可能取值为，
，，
所以的分布为：
0 1 2
（2）依题意，的所有可能取值为，每次摸到白球的概率为，则，
所以的期望，方差.
16．如图，在长方体中，，，.
（1）求证：；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】（1）证明：以D为原点，为x轴，为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，如图所示：
，，，，
，，
因为，所以；
（2）解：设平面的法向量为，，，，
又，，
则，可得，取，则，
即平面的一个法向量为，
设直线与平面所成角为，
则，
即直线与平面所成角的正弦值为.
【知识点】用空间向量研究直线与直线的位置关系；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1）以D为原点，为x轴，为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，求出、的坐标，根据证明即可；
（2）由（1）的空间直角坐标系，设平面的法向量为，利用空间向量法求解即可.
（1）以D为原点，为x轴，为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，
由题意得，，，，
，∴，，
∴，
∴.
（2）设平面的法向量为，
，，，
又，，
则，
∴，取，则，
∴平面的一个法向量为，
设直线与平面所成角为
∴，
即直线与平面所成角的正弦值为.
17．已知数列的前n项和为，且（）.
（1）若为等比数列，求公比q的值；
（2）若，
（ⅰ）证明：数列为等比数列；
（ⅱ）求数列的前n项和.
【答案】（1）解：数列中，，，
令，可得，
若数列为等比数列，则，解得或，
当时，，，，
而，显然不恒成立，因此；
当时，，，，符合题意，
故；
（2）证明：（ⅰ）由，得，两式相减得，
则，当时，，
而，，则，即，，
所以数列为等比数列；
（ⅱ）由（ⅰ）知等比数列的首项为3，公比为2，则，
，两式相减得，
当时，，
于是，，则；
当时，，
于是，，则，
因此，，，
则，，
两式相减得，
则.
【知识点】等比数列概念与表示；等比数列的前n项和；数列的求和；数列的递推公式
【解析】【分析】（1）由题意，令求得，根据数列为等比数列，求公比，再结合通项公式及前n项和公式验证判断即可；
（2）（ⅰ）利用前n项和与第n项的关系及已知可得，再利用等比数列定义证明即可；
（ⅱ）由（ⅰ）的结论求得，再分奇偶求出，最后利用错位相减法求和即可.
（1）数列中，，由，得，
则，解得或，
当时，，，，
而，显然不恒成立，因此，
当时，，，，符合题意，
所以.
（2）（ⅰ）由，得，两式相减得，
则，当时，，
而，，则，即，，
所以数列为等比数列.
（ⅱ）由（ⅰ）知等比数列的首项为3，公比为2，则，
，两式相减得，
当时，，
于是，，则；
当时，，
于是，，则，
因此，，，
则，，
两式相减得，
所以.
18．已知函数（，）.
（1）当时，求证：；
（2）讨论的单调性；
（3）当时，，求a的取值范围.
【答案】（1）证明：当时，
设，
所以单调递增，
则当时，单调递增；
当时，单调递减，
所以，
则，
所以.
（2）解：因为函数的定义域为，
求导，得：，
当时，，，
当时，单调递增；
当时，单调递减；
当时，，
令，
解得，
当时，单调递增；
当时，单调递减；
当时，单调递增；
当时，，
令，解得，
当时，单调递增；
当时，单调递减；
当时，单调递增；
当时，，
令，解得，
当时，单调递增，
综上所述，当时，在上单调递减，在上单调递增；
当时，在，上单调递增，在上单调递增；
当时，在上单调递增；
当时，在，上单调递增，在上单调递增.
（3）解：当时，符合题意；
当时，，
则等价于恒成立，
令，
则，
由（1）知，
所以，，
当时，单调递减；
当时，单调递增；
则，
因为恒成立，
所以，
则，
所以，实数的取值范围为.
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）构造函数结合函数单调性，从而得出函数最小值，进而证出不等式成立.
（2）先求出导函数，再分，，，四种情况，在根据导数的正负判断并讨论出函数的单调性.
（2）利用参变分离得到，再构造函数，再求导判断函数的单调性，从而得出函数的最大值，进而得出实数a的取值范围.
（1）当时，设，
所以单调递增，
所以当时，单调递增；
当时，单调递减；
所以，所以，
所以；
（2）函数的定义域为，求导得，
当时，，
当时，单调递增；当时，单调递减；
当时，，
令，解得，
当时，单调递增；当时，单调递减；当时，单调递增；
当时，，
令，解得，
当时，单调递增；当时，单调递减；当时，单调递增；
当时，，
令，解得，
当时，单调递增；
综上，当时，在上单调递减，在上单调递增；
当时，在，上单调递增，在上单调递增；
当时，在上单调递增；
当时，在，上单调递增，在上单调递增；
（3）当时，符合题意；
当时，，则等价于恒成立，
令，
，
由（1）知，所以，，
当时，单调递减；当时，单调递增；
则，
因为恒成立，所以，
所以，
实数的取值范围为.
19．甲乙两人进行投篮，抛硬币决定谁先投篮，并约定：一人先投篮，若未命中，则换为对方投篮；若后投篮者还没命中，则由先投篮者再投篮，如此往复下去直到有人命中为止，先命中者胜，比赛结束.已知甲的命中率为，乙的命中率为，且甲乙是否命中相互独立.
（1）假设，，求第2次投篮后比赛结束的概率；
（2）已知甲先投篮，求甲获胜的概率；
（3）从最终获胜的角度出发，根据与的大小关系，判断先投篮者的优势是否更大？说明理由.
【答案】（1）解：设第2次投篮后比赛结束为事件，由题意得；
（2）解：设甲先投篮甲获胜为事件，为甲第一投命中，则，
因为第1，2次投篮没中后，相当于重新开始比赛，此甲获胜的概率也为，
故，
因此，故；
（3）解：设甲先投篮甲获胜为事件，为乙先投乙获胜，
则由（2）可得，，
同理，，
则先投占优等价于，即，
则先投不占优等价于或，
综上，当时，先投占优；
当或，先投不占优.
【知识点】相互独立事件的概率乘法公式；全概率公式
【解析】【分析】（1）先记事件，再根据独立事件的乘法公式计算即可；
（2）先记事件，利用全概率公式，结合独立事件概率公式求概率即可；
（3）由（2）得出先投篮者获胜的概率判断即可.
（1）设第2次投篮后比赛结束为事件，
由题意得；
（2）设甲先投篮甲获胜为事件，为甲第一投命中，
则，
因为第1，2次投篮没中后，相当于重新开始比赛，此甲获胜的概率也为，
故，
因此，故；
（3）设甲先投篮甲获胜为事件，为乙先投乙获胜，
则由（2）可得，，
同理，，
则先投占优等价于，即，
则先投不占优等价于或，
综上，当时，先投占优；
当或，先投不占优.
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