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江苏省南京市五校共同体2024-2025学年高一下学期期末质量检测数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知复数满足（其中为虚数单位），则（　　）
A． B． C． D．
2．掷两枚质地均匀的硬币，则一枚硬币正面向上，另外一枚硬币反面向上的概率为（　　）
A． B． C． D．
3．若甲组样本数据（数据各不相同）的平均数为3，方差为4，乙组样本数据，，，的平均数为5，则下列说法错误的是（　　）
A．a的值为1
B．两组样本数据的样本极差不同
C．两组样本数据的样本中位数一定相同
D．乙组样本数据的标准差为4
4．中，a，b，c分别是三个内角A，B，C的对边，，，，则（　　）
A． B．或 C． D．或
5．已知平面向量满足，，，则（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
6．已知m，n为不同的直线，α，β为不同的平面，下列命题为假命题的是（　　）
A． B．
C． D．
7．已知事件A，B发生的概率分别为，，则下列结论错误的是（　　）
A．若A与B互斥，则
B．若，则
C．若，则A与B相互独立
D．若A与B相互独立，则
8．直角三角形ABC中，斜边AB长为，绕直角边AC所在直线旋转一周形成一个几何体，若该几何体外接球的表面积为，则BC长为（　　）
A． B．2 C． D．3
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．设为复数，则下列说法正确的有（　　）
A．若，则或
B．若，则的最小值为
C．若，则
D．若是实系数方程的一个根，则
10．下列命题中正确的是（　　）
A．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则角C的大小为
B．有一组数据为3，2，4，5，3，6，则这组数据的60百分位数为5
C．已知△OAB的面积为1，，动点P，Q在线段AB上滑动，且，则的最小值为
D．若，则
11．已知正方体ABCD－A1B1C1D1，点P是侧面内的动点不含边界，下列结论正确的是（　　）
A．三棱锥的体积为定值
B．存在点P，使得平面
C．若正方体棱长为2，P为侧面的中心，则四棱锥的外接球体积为
D．若正方体棱长为2，O为线段A1D的中点，OP与平面所成角为，则点P的轨迹长度为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知一个正三棱台的高为4，上、下底面边长分别为、，则这个三棱台的体积为　 　．
13．在复平面内，常把复数和向量进行一一对应．现把复数对应的向量绕原点按顺时针方向旋转，所得的向量对应的复数虚部为　 　．
14．将一圆形纸片沿直径AB对折，使圆上两点重合，D，E为直径AB上两点，且，对折后沿直线DC，EC裁剪，展开得到四边形，若该圆形直径为2，，则当四边形的面积最小时，DE＝　 　．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15．已知，，.
（1）若，求m；
（2）若，，求的最大值和最小值．
16．一座金陵城，半部南京史！六朝古都南京，不仅历史文化底蕴深厚，而且红色文化资源密集．基于此，某中学积极响应，举行了一次红色文化知识竞赛．学校在竞赛后，随机抽查了人的成绩整理后得到如图所示的频率分布直方图．
（1）求的值，以及样本的平均数；
（2）若本次竞赛中获奖的人数占参赛总人数的，试估计获奖分数线(精确到)；
（3）若将频率视为概率，现在要从和两组中用分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取2人进行座谈，求抽取的2人中至少有1人的年龄在这一组的概率．
17．如图，在四棱锥中，底面为菱形，平面，E为PD的中点.
（1）设平面与直线相交于点F，求证：；
（2）若，，，求直线与平面所成角的大小.
18．已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．
（1）求A；
（2）若，D为BC中点，求线段AD长；
（3）若该三角形面积为，AD为内角A的角平分线，交BC边于点D，求线段AD长的最大值．
19．如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，平面ABCD，平面ABCD，．
（1）若G为AE的中点，求证：平面DEF；
（2）若多面体ABCDEF的体积为32，
①求CF的长度；
②求二面角的余弦值．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】复数代数形式的乘除运算；共轭复数
【解析】【解答】解：因为，
所以，
所以复数的共轭复数是．
故答案为：A
【分析】本题考查复数的乘除运算与共轭复数的概念，核心是先根据已知条件求出复数z，再求其共轭复数。
2．【答案】A
【知识点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】解：先后抛掷一枚质地均匀的硬币两次，
出现的情况为：正正，正反，反正，反反共4种，
其中得到一次正面向上和一次反面向上的情况为正反，反正共2种，
所以得到一次正面向上和一次反面向上的概率为，
故答案为：A.
【分析】本题考查古典概型的概率计算，核心是先列出所有可能的基本事件，再找出符合条件的事件数，最后用概率公式求解。
3．【答案】C
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
【解析】【解答】解：因为的数据各不相同，不妨设，
A：因为甲组样本数据的平均数为3，方差为4，则乙组样本数据的平均数为，解得，故A正确；
B：可知甲组样本数据的极差为，则乙组样本数据的极差为，
所以两组样本数据的样本极差不同，故B正确；
C：设甲组样本数据的中位数为，则乙组样本数据的中位数为，令，解得，
所以当且仅当时，两组样本数据的样本中位数相同，故C错误；
D：因为甲组样本数据的方差为4，即标准差为2，乙组样本数据的标准差为，故D正确；
故答案为：C.
【分析】A：利用平均数的线性变换性质求解参数 a；
B：根据极差的定义，分析两组数据极差的变化情况；
C：根据中位数的定义，分析两组数据中位数的关系；
D：利用方差与标准差的线性变换性质，计算乙组数据的标准差。
4．【答案】A
【知识点】解三角形；正弦定理的应用
【解析】【解答】解：由正弦定理可得，
代入可得，
又，由大边对大角可得.
故答案为：A
【分析】本题考查正弦定理的应用，核心是先通过正弦定理求出sinC的值，再结合三角形 “大边对大角” 的性质确定C的大小。
5．【答案】C
【知识点】向量的模；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：因为，，，
所以，即，则，解得，
.
故答案为：C.
【分析】本题考查平面向量数量积的运算，关键在于利用向量模长与数量积的关系，先通过对平方求出，再计算，思路为：1. 求：对两边平方，结合已知和的值，利用向量数量积运算律展开求解.
2. 计算：根据向量数量积分配律，将其拆分为，代入已知和求得的计算.
6．【答案】B
【知识点】空间中直线与平面之间的位置关系；直线与平面垂直的性质
【解析】【解答】解：A，由线面垂直的性质可知，一直线垂直同时垂直两个平面，则两平面平行，故A正确；
B，直线可能在平面内，故B错误；
C，由面面垂直的判定定理，若一平面包含另一平面的垂线，则两平面垂直，故C正确；
D，由由线面垂直的性质可知，两直线同时垂直一个平面，则这两直线平面，故D正确；
故答案为：B.
【分析】A：利用线面垂直的性质定理，判断两个平面的位置关系；B：分析直线与平面的位置关系，注意直线可能在平面内的特殊情况；C：利用面面垂直的判定定理判断；D：利用线面垂直的性质定理，判断两条直线的位置关系。
7．【答案】B
【知识点】互斥事件的概率加法公式；条件概率与独立事件
【解析】【解答】解：A，由互斥事件的加法公式可得，故A正确；
B，若，则，故B错误；
C，，即，所以A与B相互独立，故C正确；
D，若A与B相互独立，则，故D正确.
故答案为：B.
【分析】A：利用互斥事件的概率加法公式判断；B：利用事件包含关系的性质，分析交集事件的概率；C：利用概率的减法公式和独立事件的定义判断；D：利用独立事件的概率加法公式判断。
8．【答案】A
【知识点】旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征；球内接多面体
【解析】【解答】解：
绕直角三角形的一条直角边旋转一周，可得到一个圆锥，如图所示，圆锥母线长，
设外接圆半径为，外接圆表面积为，解得，
设，在直角中，
同理在直角中，
可得方程，解得，
所以.
故答案为：A.
【分析】本题考查圆锥的外接球问题，核心是先求出外接球半径，再利用勾股定理建立方程求解BC的长度。
9．【答案】B,D
【知识点】复数的基本概念；复数的模；复数运算的几何意义；方程在复数范围内的解集
【解析】【解答】解：A，取，此时，A错误；
B，由，可知复数在复平面上点的轨迹为以为圆心，以1为半径的圆，
所以的最小值为圆心到原点的距离减去半径，即，B正确；
C，由模长公式可得，C错误；
D，由条件可知，化简可得：，所以，D正确，
故答案为：BD
【分析】A：通过举反例判断单位复数的取值；B：利用复数模的几何意义，求圆上点到原点的距离的最小值；C：根据复数模的计算公式判断；D：利用实系数方程虚根共轭成对的性质，代入根求解系数。
10．【答案】A,C,D
【知识点】平面向量的数量积运算；二倍角的余弦公式；正弦定理的应用；用样本估计总体的百分位数
【解析】【解答】解：A，，则，
因为，所以，则，
所以，或（不成立），
所以，即，故A正确；
B，这组数据从大到小排列为，总共有6个数，，所以这组数据的60百分位为第4个数，即4，故B错误；
C，如图，过点作于点，因为，，所以，
则
，而，
当且仅当时等号成立，
所以当，时数量积最小，为，故C正确；
D，，所以，
又，
所以，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】A：利用正弦定理进行边角互化，结合三角形内角和与正弦函数性质求角C；B：根据百分位数的定义，排序后计算位置并判断；C：通过向量线性运算与数量积公式，结合均值不等式求最小值；D：利用诱导公式与二倍角公式化简求值。
11．【答案】A,C
【知识点】球内接多面体；直线与平面所成的角；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：A：因为平面平面，
可知点P到平面的距离为正方体棱长，设为，
所以三棱锥的体积为，故A正确；
B：因为为正方形，则，
又因为平面，平面，则，
且，平面，可得平面，
由平面可得，
同理可得：，
且，平面，可得⊥平面，
但点P是侧面内，即点P不与点C重合，
所以不存在点P，使得⊥平面，故B错误；
C：因为P为侧面的中心，则，
又因为平面，平面，则，
且，平面，可得平面，
由平面，可得，
取的中点，可得，
又因为，可得，即，
可知三棱锥的外接球的球心为，半径，
所以三棱锥的外接球体积为，故C正确；
D：取的中点，连接，
可知∥，且，
因为平面，则平面，
可知OP与平面所成角为，则，
可知点P在平面内的轨迹为圆（虚线所示），
点P在侧面内的轨迹为四段圆弧（实线线所示），
取的中点，则，
即，则，
结合对称性可知：点P的轨迹长度为，故D错误；
故答案为：AC.
【分析】A：利用面面平行的性质，分析点到平面的距离，结合三棱锥体积公式判断；B：根据正方体性质，找到平面的垂线，判断其与侧面的交点情况；C：确定四棱锥外接球的球心与半径，计算体积；D：根据线面角的定义，确定点的轨迹，计算轨迹长度。
12．【答案】37
【知识点】台体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：因为上、下底面边长分别为、，
所以上、下底面面积分别为、，
则这个三棱台的体积.
故答案为：.
【分析】本题考查正三棱台的体积计算，核心是先求出上、下底面的面积，再代入棱台体积公式求解。
13．【答案】
【知识点】复数运算的几何意义
【解析】【解答】解：由题意得，复数对应的向量绕原点按顺时针方向旋转，
可得，
所以，所得的向量对应的复数虚部为.
故答案为：.
【分析】本题考查复数乘法的几何意义，核心是利用 “复数乘法对应向量旋转” 的性质，将向量顺时针旋转转化为乘以对应复数，再计算并提取虚部。
14．【答案】
【知识点】简单的三角恒等变换；含三角函数的复合函数的值域与最值；解三角形；三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：由题意得，，，设，
在中，由正弦定理得，则，
在中，由正弦定理得，则，
，
由，得，则当，即时，，
而四边形的面积，因此当时，四边形的面积取得最小值，
此时，，
所以.
故答案为：
【分析】本题结合圆的折叠性质、正弦定理、三角函数恒等变换与最值分析，核心是先表示出的面积，再求其最小值对应的，最后计算的长度。
15．【答案】（1）解：由，可得，解得.
（2）解：，
，，
当，即时，的最大值为，
当，即时，的最小值为.
【知识点】平面向量数量积的坐标表示；简单的三角恒等变换；含三角函数的复合函数的值域与最值；平面向量垂直的坐标表示
【解析】【分析】(1) 利用两向量垂直的坐标运算，列方程求解；
(2) 先化简，再根据的范围，结合正弦函数的性质求最值。
（1）由，可得，解得.
（2），
，，
当，即时，的最大值为，
当，即时，的最小值为.
16．【答案】（1）解：因为小长方形面积和为，所以，解得，
则平均数为.
（2）解：由题意得，
则分数线在内，且设分数线为，
可得，
解得，即获奖分数线为.
（3）解：由题意得两组的频率之比为，
现从两组中用分层抽样的方法抽取6人，
则分别抽取2人，4人，记为，
所有可能的情况为，，，共15种，
其中至少有1人的年龄在的情况有，，共9种，
故所求概率
【知识点】分层抽样方法；用样本的数字特征估计总体的数字特征；古典概型及其概率计算公式；用样本估计总体的百分位数
【解析】【分析】(1) 利用频率分布直方图的性质（所有矩形面积和为1）求a，再根据平均数公式计算样本平均数；
(2) 根据获奖人数占比，结合频率分布直方图求获奖分数线；
(3) 利用分层抽样抽取样本，再用古典概型计算概率。
（1）因为小长方形面积和为，
所以，解得，
则平均数为.
（2）由题意得，
则分数线在内，且设分数线为，
可得，
解得，即获奖分数线为.
（3）由题意得两组的频率之比为，
现从两组中用分层抽样的方法抽取6人，
则分别抽取2人，4人，记为，
所有可能的情况为，，，共15种，
其中至少有1人的年龄在的情况有，，共9种，
故所求概率
17．【答案】（1）证明：∵平面与直线相交于点F，
∴平面平面.
∵四边形是菱形，
∴.
∵平面，平面，
∴平面.
∵平面，平面平面，
∴.
由平行的传递性可得：
（2）解：连接，取的中点H，连接，，∵在菱形中，，，
∴是等边三角形.
∵H是的中点，∴.
∵平面，平面，∴.
∵，平面，，
∴平面，
∴是直线与平面的所成角.
∵E是的中点，，
∴.
∵平面，平面，∴.
∵H为的中点，∴，
在中，.
∵在等边中，高，
∴在中，，可得，
即直线与平面所成角的大小为30°.
【知识点】直线与平面平行的判定；直线与平面平行的性质；直线与平面所成的角
【解析】【分析】(1) 利用线面平行的判定与性质，证明平面，再结合面面相交的性质，证明，进而推出；
(2) 找直线与平面所成的角，利用几何关系计算其大小。
（1）证明：∵平面与直线相交于点F，
∴平面平面.
∵四边形是菱形，
∴.
∵平面，平面，
∴平面.
∵平面，平面平面，
∴.
由平行的传递性可得：
（2）连接，取的中点H，连接，，
∵在菱形中，，，
∴是等边三角形.
∵H是的中点，∴.
∵平面，平面，∴.
∵，平面，，
∴平面，
∴是直线与平面的所成角.
∵E是的中点，，
∴.
∵平面，平面，∴.
∵H为的中点，∴，
在中，.
∵在等边中，高，
∴在中，，可得，
即直线与平面所成角的大小为30°.
18．【答案】（1）解：在中，由及正弦定理，得，
即，由余弦定理得，而，
所以.
（2）解：由（1）知，，由D为BC中点，得，而，
所以.
（3）解：由的面积为，得，解得，
由为内角的角平分线，得，
由，得，
因此，，当且仅当时取等号，
所以线段AD长的最大值为.
【知识点】平面向量的数量积运算；解三角形；正弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】(1) 利用正弦定理将角化为边，再结合余弦定理求角A；
(2) 利用向量法或中线长公式求中线AD的长度；
(3) 利用三角形面积公式结合角平分线的性质，用均值不等式求AD的最大值。
（1）在中，由及正弦定理，得，
即，由余弦定理得，而，
所以.
（2）由（1）知，，由D为BC中点，得，而，
所以.
（3）由的面积为，得，解得，
由为内角的角平分线，得，
由，得，
因此，，当且仅当时取等号，
所以线段AD长的最大值为.
19．【答案】（1）证明：连接CG，如图所示，因为平面ABCD，平面ABCD，所以，
因为G为AE的中点，，
所以，
则四边形CFEG是平行四边形，所以，
因为平面DEF，平面DEF，
所以平面DEF；
（2）①解：连接，，
因为四边形ABCD是正方形，平面，平面，
所以平面平面，
平面平面，又，平面ABCD，
所以平面．
多面体ABCDEF的体积等于．
假设，
所以四棱锥和四棱锥的高都为，
四边形（直角梯形）的面积为，
因为多面体的体积为32，故，
解得，故；
②解：作(Q在EF上) ，连接DQ，
因为，，，
所以由勾股定理得，，
又，故，
在中，由余弦定理得，
故，
所以，
因为≌，则，则为二面角的平面角，
同理可得，
由于，故，，
二面角的余弦值为0．
【知识点】直线与平面平行的判定；二面角及二面角的平面角；锥体的体积公式及应用
【解析】【分析】(1) 通过证明四边形为平行四边形，得到，再结合线面平行的判定定理证明平面；
(2) ① 将多面体拆分为两个四棱锥，利用面面垂直性质确定高，结合棱锥体积公式求解边长；
② 构造二面角的平面角，利用勾股定理与余弦定理计算二面角余弦值。
（1）连接CG，如图所示，因为平面ABCD，平面ABCD，所以，
因为G为AE的中点，，
所以，
则四边形CFEG是平行四边形，所以，
因为平面DEF，平面DEF，
所以平面DEF；
（2）①连接，，
因为四边形ABCD是正方形，平面，平面，
所以平面平面，
平面平面，又，平面ABCD，
所以平面．
多面体ABCDEF的体积等于．
假设，
所以四棱锥和四棱锥的高都为，
四边形（直角梯形）的面积为，
因为多面体的体积为32，故，
解得，故；
②作(Q在EF上) ，连接DQ，
因为，，，
所以由勾股定理得，，
又，故，
在中，由余弦定理得，
故，
所以，
因为≌，则，则为二面角的平面角，
同理可得，
由于，故，，
二面角的余弦值为0．
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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知复数满足（其中为虚数单位），则（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】复数代数形式的乘除运算；共轭复数
【解析】【解答】解：因为，
所以，
所以复数的共轭复数是．
故答案为：A
【分析】本题考查复数的乘除运算与共轭复数的概念，核心是先根据已知条件求出复数z，再求其共轭复数。
2．掷两枚质地均匀的硬币，则一枚硬币正面向上，另外一枚硬币反面向上的概率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】解：先后抛掷一枚质地均匀的硬币两次，
出现的情况为：正正，正反，反正，反反共4种，
其中得到一次正面向上和一次反面向上的情况为正反，反正共2种，
所以得到一次正面向上和一次反面向上的概率为，
故答案为：A.
【分析】本题考查古典概型的概率计算，核心是先列出所有可能的基本事件，再找出符合条件的事件数，最后用概率公式求解。
3．若甲组样本数据（数据各不相同）的平均数为3，方差为4，乙组样本数据，，，的平均数为5，则下列说法错误的是（　　）
A．a的值为1
B．两组样本数据的样本极差不同
C．两组样本数据的样本中位数一定相同
D．乙组样本数据的标准差为4
【答案】C
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
【解析】【解答】解：因为的数据各不相同，不妨设，
A：因为甲组样本数据的平均数为3，方差为4，则乙组样本数据的平均数为，解得，故A正确；
B：可知甲组样本数据的极差为，则乙组样本数据的极差为，
所以两组样本数据的样本极差不同，故B正确；
C：设甲组样本数据的中位数为，则乙组样本数据的中位数为，令，解得，
所以当且仅当时，两组样本数据的样本中位数相同，故C错误；
D：因为甲组样本数据的方差为4，即标准差为2，乙组样本数据的标准差为，故D正确；
故答案为：C.
【分析】A：利用平均数的线性变换性质求解参数 a；
B：根据极差的定义，分析两组数据极差的变化情况；
C：根据中位数的定义，分析两组数据中位数的关系；
D：利用方差与标准差的线性变换性质，计算乙组数据的标准差。
4．中，a，b，c分别是三个内角A，B，C的对边，，，，则（　　）
A． B．或 C． D．或
【答案】A
【知识点】解三角形；正弦定理的应用
【解析】【解答】解：由正弦定理可得，
代入可得，
又，由大边对大角可得.
故答案为：A
【分析】本题考查正弦定理的应用，核心是先通过正弦定理求出sinC的值，再结合三角形 “大边对大角” 的性质确定C的大小。
5．已知平面向量满足，，，则（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】C
【知识点】向量的模；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：因为，，，
所以，即，则，解得，
.
故答案为：C.
【分析】本题考查平面向量数量积的运算，关键在于利用向量模长与数量积的关系，先通过对平方求出，再计算，思路为：1. 求：对两边平方，结合已知和的值，利用向量数量积运算律展开求解.
2. 计算：根据向量数量积分配律，将其拆分为，代入已知和求得的计算.
6．已知m，n为不同的直线，α，β为不同的平面，下列命题为假命题的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】空间中直线与平面之间的位置关系；直线与平面垂直的性质
【解析】【解答】解：A，由线面垂直的性质可知，一直线垂直同时垂直两个平面，则两平面平行，故A正确；
B，直线可能在平面内，故B错误；
C，由面面垂直的判定定理，若一平面包含另一平面的垂线，则两平面垂直，故C正确；
D，由由线面垂直的性质可知，两直线同时垂直一个平面，则这两直线平面，故D正确；
故答案为：B.
【分析】A：利用线面垂直的性质定理，判断两个平面的位置关系；B：分析直线与平面的位置关系，注意直线可能在平面内的特殊情况；C：利用面面垂直的判定定理判断；D：利用线面垂直的性质定理，判断两条直线的位置关系。
7．已知事件A，B发生的概率分别为，，则下列结论错误的是（　　）
A．若A与B互斥，则
B．若，则
C．若，则A与B相互独立
D．若A与B相互独立，则
【答案】B
【知识点】互斥事件的概率加法公式；条件概率与独立事件
【解析】【解答】解：A，由互斥事件的加法公式可得，故A正确；
B，若，则，故B错误；
C，，即，所以A与B相互独立，故C正确；
D，若A与B相互独立，则，故D正确.
故答案为：B.
【分析】A：利用互斥事件的概率加法公式判断；B：利用事件包含关系的性质，分析交集事件的概率；C：利用概率的减法公式和独立事件的定义判断；D：利用独立事件的概率加法公式判断。
8．直角三角形ABC中，斜边AB长为，绕直角边AC所在直线旋转一周形成一个几何体，若该几何体外接球的表面积为，则BC长为（　　）
A． B．2 C． D．3
【答案】A
【知识点】旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征；球内接多面体
【解析】【解答】解：
绕直角三角形的一条直角边旋转一周，可得到一个圆锥，如图所示，圆锥母线长，
设外接圆半径为，外接圆表面积为，解得，
设，在直角中，
同理在直角中，
可得方程，解得，
所以.
故答案为：A.
【分析】本题考查圆锥的外接球问题，核心是先求出外接球半径，再利用勾股定理建立方程求解BC的长度。
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．设为复数，则下列说法正确的有（　　）
A．若，则或
B．若，则的最小值为
C．若，则
D．若是实系数方程的一个根，则
【答案】B,D
【知识点】复数的基本概念；复数的模；复数运算的几何意义；方程在复数范围内的解集
【解析】【解答】解：A，取，此时，A错误；
B，由，可知复数在复平面上点的轨迹为以为圆心，以1为半径的圆，
所以的最小值为圆心到原点的距离减去半径，即，B正确；
C，由模长公式可得，C错误；
D，由条件可知，化简可得：，所以，D正确，
故答案为：BD
【分析】A：通过举反例判断单位复数的取值；B：利用复数模的几何意义，求圆上点到原点的距离的最小值；C：根据复数模的计算公式判断；D：利用实系数方程虚根共轭成对的性质，代入根求解系数。
10．下列命题中正确的是（　　）
A．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则角C的大小为
B．有一组数据为3，2，4，5，3，6，则这组数据的60百分位数为5
C．已知△OAB的面积为1，，动点P，Q在线段AB上滑动，且，则的最小值为
D．若，则
【答案】A,C,D
【知识点】平面向量的数量积运算；二倍角的余弦公式；正弦定理的应用；用样本估计总体的百分位数
【解析】【解答】解：A，，则，
因为，所以，则，
所以，或（不成立），
所以，即，故A正确；
B，这组数据从大到小排列为，总共有6个数，，所以这组数据的60百分位为第4个数，即4，故B错误；
C，如图，过点作于点，因为，，所以，
则
，而，
当且仅当时等号成立，
所以当，时数量积最小，为，故C正确；
D，，所以，
又，
所以，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】A：利用正弦定理进行边角互化，结合三角形内角和与正弦函数性质求角C；B：根据百分位数的定义，排序后计算位置并判断；C：通过向量线性运算与数量积公式，结合均值不等式求最小值；D：利用诱导公式与二倍角公式化简求值。
11．已知正方体ABCD－A1B1C1D1，点P是侧面内的动点不含边界，下列结论正确的是（　　）
A．三棱锥的体积为定值
B．存在点P，使得平面
C．若正方体棱长为2，P为侧面的中心，则四棱锥的外接球体积为
D．若正方体棱长为2，O为线段A1D的中点，OP与平面所成角为，则点P的轨迹长度为
【答案】A,C
【知识点】球内接多面体；直线与平面所成的角；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：A：因为平面平面，
可知点P到平面的距离为正方体棱长，设为，
所以三棱锥的体积为，故A正确；
B：因为为正方形，则，
又因为平面，平面，则，
且，平面，可得平面，
由平面可得，
同理可得：，
且，平面，可得⊥平面，
但点P是侧面内，即点P不与点C重合，
所以不存在点P，使得⊥平面，故B错误；
C：因为P为侧面的中心，则，
又因为平面，平面，则，
且，平面，可得平面，
由平面，可得，
取的中点，可得，
又因为，可得，即，
可知三棱锥的外接球的球心为，半径，
所以三棱锥的外接球体积为，故C正确；
D：取的中点，连接，
可知∥，且，
因为平面，则平面，
可知OP与平面所成角为，则，
可知点P在平面内的轨迹为圆（虚线所示），
点P在侧面内的轨迹为四段圆弧（实线线所示），
取的中点，则，
即，则，
结合对称性可知：点P的轨迹长度为，故D错误；
故答案为：AC.
【分析】A：利用面面平行的性质，分析点到平面的距离，结合三棱锥体积公式判断；B：根据正方体性质，找到平面的垂线，判断其与侧面的交点情况；C：确定四棱锥外接球的球心与半径，计算体积；D：根据线面角的定义，确定点的轨迹，计算轨迹长度。
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知一个正三棱台的高为4，上、下底面边长分别为、，则这个三棱台的体积为　 　．
【答案】37
【知识点】台体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：因为上、下底面边长分别为、，
所以上、下底面面积分别为、，
则这个三棱台的体积.
故答案为：.
【分析】本题考查正三棱台的体积计算，核心是先求出上、下底面的面积，再代入棱台体积公式求解。
13．在复平面内，常把复数和向量进行一一对应．现把复数对应的向量绕原点按顺时针方向旋转，所得的向量对应的复数虚部为　 　．
【答案】
【知识点】复数运算的几何意义
【解析】【解答】解：由题意得，复数对应的向量绕原点按顺时针方向旋转，
可得，
所以，所得的向量对应的复数虚部为.
故答案为：.
【分析】本题考查复数乘法的几何意义，核心是利用 “复数乘法对应向量旋转” 的性质，将向量顺时针旋转转化为乘以对应复数，再计算并提取虚部。
14．将一圆形纸片沿直径AB对折，使圆上两点重合，D，E为直径AB上两点，且，对折后沿直线DC，EC裁剪，展开得到四边形，若该圆形直径为2，，则当四边形的面积最小时，DE＝　 　．
【答案】
【知识点】简单的三角恒等变换；含三角函数的复合函数的值域与最值；解三角形；三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：由题意得，，，设，
在中，由正弦定理得，则，
在中，由正弦定理得，则，
，
由，得，则当，即时，，
而四边形的面积，因此当时，四边形的面积取得最小值，
此时，，
所以.
故答案为：
【分析】本题结合圆的折叠性质、正弦定理、三角函数恒等变换与最值分析，核心是先表示出的面积，再求其最小值对应的，最后计算的长度。
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15．已知，，.
（1）若，求m；
（2）若，，求的最大值和最小值．
【答案】（1）解：由，可得，解得.
（2）解：，
，，
当，即时，的最大值为，
当，即时，的最小值为.
【知识点】平面向量数量积的坐标表示；简单的三角恒等变换；含三角函数的复合函数的值域与最值；平面向量垂直的坐标表示
【解析】【分析】(1) 利用两向量垂直的坐标运算，列方程求解；
(2) 先化简，再根据的范围，结合正弦函数的性质求最值。
（1）由，可得，解得.
（2），
，，
当，即时，的最大值为，
当，即时，的最小值为.
16．一座金陵城，半部南京史！六朝古都南京，不仅历史文化底蕴深厚，而且红色文化资源密集．基于此，某中学积极响应，举行了一次红色文化知识竞赛．学校在竞赛后，随机抽查了人的成绩整理后得到如图所示的频率分布直方图．
（1）求的值，以及样本的平均数；
（2）若本次竞赛中获奖的人数占参赛总人数的，试估计获奖分数线(精确到)；
（3）若将频率视为概率，现在要从和两组中用分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取2人进行座谈，求抽取的2人中至少有1人的年龄在这一组的概率．
【答案】（1）解：因为小长方形面积和为，所以，解得，
则平均数为.
（2）解：由题意得，
则分数线在内，且设分数线为，
可得，
解得，即获奖分数线为.
（3）解：由题意得两组的频率之比为，
现从两组中用分层抽样的方法抽取6人，
则分别抽取2人，4人，记为，
所有可能的情况为，，，共15种，
其中至少有1人的年龄在的情况有，，共9种，
故所求概率
【知识点】分层抽样方法；用样本的数字特征估计总体的数字特征；古典概型及其概率计算公式；用样本估计总体的百分位数
【解析】【分析】(1) 利用频率分布直方图的性质（所有矩形面积和为1）求a，再根据平均数公式计算样本平均数；
(2) 根据获奖人数占比，结合频率分布直方图求获奖分数线；
(3) 利用分层抽样抽取样本，再用古典概型计算概率。
（1）因为小长方形面积和为，
所以，解得，
则平均数为.
（2）由题意得，
则分数线在内，且设分数线为，
可得，
解得，即获奖分数线为.
（3）由题意得两组的频率之比为，
现从两组中用分层抽样的方法抽取6人，
则分别抽取2人，4人，记为，
所有可能的情况为，，，共15种，
其中至少有1人的年龄在的情况有，，共9种，
故所求概率
17．如图，在四棱锥中，底面为菱形，平面，E为PD的中点.
（1）设平面与直线相交于点F，求证：；
（2）若，，，求直线与平面所成角的大小.
【答案】（1）证明：∵平面与直线相交于点F，
∴平面平面.
∵四边形是菱形，
∴.
∵平面，平面，
∴平面.
∵平面，平面平面，
∴.
由平行的传递性可得：
（2）解：连接，取的中点H，连接，，∵在菱形中，，，
∴是等边三角形.
∵H是的中点，∴.
∵平面，平面，∴.
∵，平面，，
∴平面，
∴是直线与平面的所成角.
∵E是的中点，，
∴.
∵平面，平面，∴.
∵H为的中点，∴，
在中，.
∵在等边中，高，
∴在中，，可得，
即直线与平面所成角的大小为30°.
【知识点】直线与平面平行的判定；直线与平面平行的性质；直线与平面所成的角
【解析】【分析】(1) 利用线面平行的判定与性质，证明平面，再结合面面相交的性质，证明，进而推出；
(2) 找直线与平面所成的角，利用几何关系计算其大小。
（1）证明：∵平面与直线相交于点F，
∴平面平面.
∵四边形是菱形，
∴.
∵平面，平面，
∴平面.
∵平面，平面平面，
∴.
由平行的传递性可得：
（2）连接，取的中点H，连接，，
∵在菱形中，，，
∴是等边三角形.
∵H是的中点，∴.
∵平面，平面，∴.
∵，平面，，
∴平面，
∴是直线与平面的所成角.
∵E是的中点，，
∴.
∵平面，平面，∴.
∵H为的中点，∴，
在中，.
∵在等边中，高，
∴在中，，可得，
即直线与平面所成角的大小为30°.
18．已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．
（1）求A；
（2）若，D为BC中点，求线段AD长；
（3）若该三角形面积为，AD为内角A的角平分线，交BC边于点D，求线段AD长的最大值．
【答案】（1）解：在中，由及正弦定理，得，
即，由余弦定理得，而，
所以.
（2）解：由（1）知，，由D为BC中点，得，而，
所以.
（3）解：由的面积为，得，解得，
由为内角的角平分线，得，
由，得，
因此，，当且仅当时取等号，
所以线段AD长的最大值为.
【知识点】平面向量的数量积运算；解三角形；正弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】(1) 利用正弦定理将角化为边，再结合余弦定理求角A；
(2) 利用向量法或中线长公式求中线AD的长度；
(3) 利用三角形面积公式结合角平分线的性质，用均值不等式求AD的最大值。
（1）在中，由及正弦定理，得，
即，由余弦定理得，而，
所以.
（2）由（1）知，，由D为BC中点，得，而，
所以.
（3）由的面积为，得，解得，
由为内角的角平分线，得，
由，得，
因此，，当且仅当时取等号，
所以线段AD长的最大值为.
19．如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，平面ABCD，平面ABCD，．
（1）若G为AE的中点，求证：平面DEF；
（2）若多面体ABCDEF的体积为32，
①求CF的长度；
②求二面角的余弦值．
【答案】（1）证明：连接CG，如图所示，因为平面ABCD，平面ABCD，所以，
因为G为AE的中点，，
所以，
则四边形CFEG是平行四边形，所以，
因为平面DEF，平面DEF，
所以平面DEF；
（2）①解：连接，，
因为四边形ABCD是正方形，平面，平面，
所以平面平面，
平面平面，又，平面ABCD，
所以平面．
多面体ABCDEF的体积等于．
假设，
所以四棱锥和四棱锥的高都为，
四边形（直角梯形）的面积为，
因为多面体的体积为32，故，
解得，故；
②解：作(Q在EF上) ，连接DQ，
因为，，，
所以由勾股定理得，，
又，故，
在中，由余弦定理得，
故，
所以，
因为≌，则，则为二面角的平面角，
同理可得，
由于，故，，
二面角的余弦值为0．
【知识点】直线与平面平行的判定；二面角及二面角的平面角；锥体的体积公式及应用
【解析】【分析】(1) 通过证明四边形为平行四边形，得到，再结合线面平行的判定定理证明平面；
(2) ① 将多面体拆分为两个四棱锥，利用面面垂直性质确定高，结合棱锥体积公式求解边长；
② 构造二面角的平面角，利用勾股定理与余弦定理计算二面角余弦值。
（1）连接CG，如图所示，因为平面ABCD，平面ABCD，所以，
因为G为AE的中点，，
所以，
则四边形CFEG是平行四边形，所以，
因为平面DEF，平面DEF，
所以平面DEF；
（2）①连接，，
因为四边形ABCD是正方形，平面，平面，
所以平面平面，
平面平面，又，平面ABCD，
所以平面．
多面体ABCDEF的体积等于．
假设，
所以四棱锥和四棱锥的高都为，
四边形（直角梯形）的面积为，
因为多面体的体积为32，故，
解得，故；
②作(Q在EF上) ，连接DQ，
因为，，，
所以由勾股定理得，，
又，故，
在中，由余弦定理得，
故，
所以，
因为≌，则，则为二面角的平面角，
同理可得，
由于，故，，
二面角的余弦值为0．
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