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广东省东莞市2026届九年级下学期数学第一次模拟考试试卷
1．若小明的成绩在原来基础上增加10分记作“分”，则“分”表示他的成绩在原来基础上（　　）
A．增加5分 B．减少15分 C．增加15分 D．减少5分
2．我国“奋斗者”号载人潜水器最大下潜深度约为10900米，用科学记数法表示10900正确的是（　　）
A． B． C． D．
3．下列计算错误的是（　　）
A． B． C． D．
4．由五个相同小正方体搭成的一个几何体如图所示，该几何体的主视图是（　　）
A． B．
C． D．
5．如图，将三角尺的直角顶点放在直线b上，如果，要使，那么（　　）
A． B． C． D．
6．圆锥的底面半径为3，侧面积为，则圆锥的母线长为（　　）
A．4 B．5 C． D．
7．在一个不透明的口袋中，装有若干个红球和4个黄球，它们除颜色外没有任何区别，摇匀后从中随机摸出一个球，记下颜色后再放回口袋中，通过大量重复摸球试验发现，摸到黄球的频率是，则估计口袋中大约有红球（　　）
A．8个 B．16个 C．25个 D．30个
8．如图，有一张长，宽的矩形纸片，在它的四个角各剪去一个同样大小的小正方形，然后折叠成一个无盖的长方体纸盒．若纸盒的底面（图中阴影部分）面积是，求剪去的小正方形的边长．设剪去的小正方形的边长是，根据题意，可列方程为（　　）．
A． B．
C． D．
9．如图，为△的中位线，点在上，且∠=90°．若=7，，则的长为（　　）
A． B． C． D．
10．二次函数的图像如图所示，有如下结论：①；②；③；④（m为实数）．其中正确结论的个数是（　　）
A．个 B．个 C．个 D．个
11．若，，则　 　．
12．函数y= 中，自变量x的取值范围是　 　．
13．已知m、n是方程的两个实数根，则　 　．
14．如图，中国古代的马车已经涉及很复杂的机械设计，包含大量零部件和工艺，所彰显的智慧让人拜服．如图是马车的侧面示意图，为车轮的直径，过圆心的车架一端点着地时，地面与车轮相切于点，连接，，若，则的度数是　 　．
15．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是，，，其两个锐角的外角平分线相交于点，若点恰好在反比例函数的图象上，则的面积是　 　．
16．计算：
17．如图，经过点的一次函数与正比例函数交于点．
（1）求，，的值；
（2）请直接写出不等式组的解集．
18．港珠澳大桥青州航道桥面B点高出海平面约42米，海底隧道最深处在海平面以下48米的A点，如图，汽车从B点沿下坡直线行驶到A点，斜坡的坡度（即：坡面的竖直高度与水平宽度的比），求车辆沿路面行驶了多少米？（结果精确到米，参考数据：）
19．如图，四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形，点R为DE的中点，BR分别交AC、CD于点P、Q.
（1）求证：△PCQ∽△RDQ；
（2）求BP：PQ：QR的值.
20．体重管理，人人参与．国际上常用身体质量指数（）作为衡量人体胖瘦程度以及健康状况的重要指标，其计算公式为（m表示体重，单位：千克；h表示身高，单位：米），数值标准为：为瘦弱（不健康）；为偏瘦；为正常；为偏胖；为肥胖（不健康）．某校为了解中学生的体重健康情况，随机抽取了40名学生体检结果的身高和身体质量指数“”数据，结果如下统计图及表格所示．
身体属性 瘦弱 偏瘦 正常 偏胖 肥胖
人数 3 8 11 9 n
（1）　 　，　 　，　 　；
（2）身高样本数据的中位数所在的范围是　 　；
（3）已知该校九年级有学生1240人，请估计该校九年级学生偏胖的人数；
（4）小倩身高，值为30，她想通过健身减重使自己的值达到正常，则她的体重至少需要减掉多少千克？（结果精确到千克）
21．某校数学小组开展以“炒菜锅和锅盖中的数学”为主题的综合实践活动．
研究背景：炒菜锅的纵截面是抛物线面，锅盖的纵截面是球面，经过盖心的纵截面圆弧与经过锅心的纵截面抛物线组合而成的封闭图形．
【建立方法】以锅口和锅盖贴合面的直径为轴，在该直径左端点处作该直径的垂线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系．把锅盖纵截面圆弧和锅的纵截面的抛物线分别记为，．
【收集信息】锅口和锅盖贴合面的直径都为，锅深为，锅盖高为．
（1）【建立模型】
请求出抛物线的解析式；
（2）求出圆弧所在圆的半径；
（3）【应用模型】
将一个底面直径为，高度为的圆柱形器皿竖直放入该锅内蒸食物，锅盖能否正常盖上？请说明理由．
22．旋转是初中数学图形变换很重要的内容．通过旋转将已知条件这种分散的边或角等条件相对集中在一起，构建起新的联系，从而解决问题．
（1）【发现问题】如图1，P为等边内一点，，求：以为边构成的三角形各个内角的度数．
解：如图2，把绕点A旋转到，连接，请完成后面的过程；
（2）【类比探究】如图3，已知线段用无刻度的直尺和圆规求作等边，使内部一个顶点P到三个顶点的距离分别为4，5，6．（保留作图痕迹，不写作法）
（3）【拓展延伸】如图4，在四边形中，．探索线段的数量关系并证明你的结论．
23．如图1，矩形的顶点、分别在轴和轴上，点的坐标为．
（1）反比例函数的图象与边，分别交于点，，当时，求的值和点的坐标；
（2）如图2，点，分别在边，上，且反比例函数的图象经过点、，连接、，求证：；
（3）如图3，反比例函数的图象与边，分别交于点，，若以为直径的圆与矩形的边有个公共点，求的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】用正数、负数表示相反意义的量
【解析】【解答】解：根据题意可知，“ 5分”表示减少5分．
故答案为：D．
【分析】根据正负数的意义，正数表示增加，负数表示减少．
2．【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：科学记数法表示10900为1.09×104．
故答案为：B．
【分析】科学记数法的表示方法为：a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，确定a与n的值即可．
3．【答案】A
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：A、∵，∴A不正确，符合题意；
B、∵，∴B正确，不符合题意；
C、∵，∴C正确，不符合题意；
D、∵，∴D正确，不符合题意；
故答案为：A.
【分析】利用二次根式的加减法、二次根式的性质计算并判断即可.
4．【答案】B
【知识点】简单组合体的三视图；小正方体组合体的三视图
【解析】【解答】解：这个组合体的主视图为：
故答案为：B．
【分析】根据简单组合体三视图的画法画出它的主视图即可.
5．【答案】C
【知识点】平行线的应用-求角度；平行线的应用-三角尺问题
【解析】【解答】解：如图，
∵∠1＝50°，∠ABC＝90°，∠1＋∠ABC＋∠3＝180°，
∴∠3＝180° 90° 50°＝40°，
要使a∥b，则∠2＝∠3，
即∠2＝40°，a∥b，
故答案为：C．
【分析】根据平行线的判定定理即可求解．
6．【答案】A
【知识点】圆锥的计算
【解析】【解答】解：∵底面半径为，
∴底面周长
∴圆锥的母线
故选：A．
【分析】根据圆周侧面积即可求出答案.
7．【答案】B
【知识点】利用频率估计概率；概率的简单应用
【解析】【解答】解：设口袋中有红球个
根据题意，得
解得，
经检验，是原方程的根，
故口袋中大约有红球16个．
故选：B．
【分析】设口袋中有红球个，根据概率公式建立方程，解方程即可求出答案.
8．【答案】A
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：根据题意可得：（13 2x）（8 2x）＝50．
故答案为：A．
【分析】设剪去的小正方形边长是x cm，则长方形纸盒的底面长为（13 2x）cm，宽为（8 2x）cm，根据纸盒的底面（图中阴影部分）面积是50cm2列出关于x的一元二次方程即可．
9．【答案】D
【知识点】三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：在Rt△AFB中，D为AB的中点，AB＝7，
∴DF＝AB＝3.5，
∵DE为△ABC的中位线，BC＝11，
∴DE＝BC＝5.5，
∴EF＝DE DF＝2，
故答案为：D．
【分析】根据直角三角形斜边上的中线的性质求出DF，根据三角形中位线定理求出DE，计算即可．
10．【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，
由抛物线开口向上，得a＞0；对称轴x＝1＝ ，得b＝ 2a＜0；抛物线与y轴交于负半轴，得c＜0．
①abc＞0（a＞0，b＜0，c＜0，三数相乘为正），此结论正确；
②2a＋b＝2a 2a＝0，此结论正确；
③当x＝3时，y＞0，
∴9a＋3b＋c＞0，
又∵a＝ b，
∴ a＋3b＋c＞0，
3b 2c＜0，此结论正确；
④顶点x＝1时函数取最小值，m＝1时am2＋bm＝a＋b，此结论错误．
故答案为：C．
【分析】分析系数a、b、c的符号及相关式子的正误即可．
11．【答案】10
【知识点】同底数幂乘法的逆用
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
故答案为：10．
【分析】由同底数幂的乘法的逆运算将待求式子变形为am×an，然后整体代入计算可得答案.
12．【答案】x≥﹣2
【知识点】函数自变量的取值范围
【解析】【解答】解：根据题意得：x+2≥0，
解得x≥﹣2．
故答案为：x≥﹣2．
【分析】函数关系中主要有二次根式．根据二次根式的意义，被开方数是非负数即可求解．
13．【答案】-4
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：根据根与系数的关系得m＋n＝4．
故答案为：-4
【分析】直接利用根与系数的关系求解．
14．【答案】35
【知识点】勾股定理；圆周角定理；切线的性质；解直角三角形；等积变换
【解析】【解答】（1）证明：如图，连接OD，
∵CD是切线，
∴OD⊥CD，
∵AB是直径，
∴∠ADB＝∠ODC＝90°，
∴∠ADO＝∠BDC，
∵OA＝OD，
∴∠DOC＝∠A＋∠ODA＝2∠BDC，
∵∠C＋∠DOC＝90°，
∴∠C＋2∠BDC＝90°；
（2）解：过点D作DH⊥AB于点H．
∵，
∴可以假设AD＝3k米，BD＝k米，
∴AB＝＝＝（米），
∵ AD BD＝ AB DH，
∴DH＝＝（米），
∴OH＝＝（米），
∵cos∠DOH＝，
∴，
解得，k＝，
∴直径AB＝．
故
【分析】（1）利用切线的性质，圆周角定理，三角形内角和定理证明即可；
（2）过点D作DH⊥AB于点H．设AD＝3k米，BD＝k米，根据cos∠DOH＝，构建方程求解即可．
15．【答案】15
【知识点】三角形的面积；勾股定理；正方形的判定与性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：如图，过点P分别作PD⊥x轴于点D，PE⊥y轴于点E，PC⊥AB于点C，
∵OE⊥OD，
∴四边形ODPE是矩形，
∵△AOB两个锐角的外角平分线相交于点P，
∴PE＝PC，
同理PD＝PC，
∴PE＝PD，
∴四边形ODPE是正方形，
设P（m，m），
∵点P在反比例函数的图象上，
∴m＝，
解得m＝6或m＝ 6（舍去），
∴PC＝PE＝6，
∵A（0，4），B（3，0），
∴OA＝4，OB＝3，
∴AB＝＝＝5，
∴S△APB＝AB PC＝×5×6＝15．
故答案为：15.
【分析】过点P分别作PD⊥x轴于点D，PE⊥y轴于点E，PC⊥AB于点C，先证明四边形ODPE是正方形，然后求出点P的坐标，即可求出PC＝6，再根据勾股定理求出AB＝5，即可求得答案．
16．【答案】解：
．
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；求特殊角的三角函数值
【解析】【分析】先利用0指数幂、算术平方根、特殊角的三角函数值、负整数指数幂和绝对值的性质化简，再计算即可.
17．【答案】（1）∵正比例函数与过点的一次函数交于点．
∴
∴
∴
∴
∴
∴
∴
（2）1≤x＜3．
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系；两一次函数图象相交或平行问题
【解析】【解答】（2）解：观察图象得：不等式组ax≥ x＋b＞0的解集为1≤x＜3．
【分析】（1）将点（3，0）和点P的坐标代入一次函数的解析式求得m、b的值，然后将点P的坐标代入正比例函数即可求得a的值；
（2）直接根据函数的图象结合点P的坐标确定不等式的解集即可．
18．【答案】解：由题意得，米，，
∴，
∴，
∴米，
答：车辆沿路面行驶了米．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【分析】先利用正切的定义可得，求出，再利用正弦的定义求出AB的长即可.
19．【答案】（1）解：∵ ，
∴ .
又∵ .
∴ .
（2）解：∵四边形 和四边形 都是平行四边形，
∴ ， .
∴ ， .
又∵点 是 中点，
∴ .
由（1）知 ，
∴ ，
∴ .
又∵ ，
∴ .
【知识点】平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）利用两直线平行内错角相等，可得到∠PCQ=∠RDQ，再根据有两组对应角相等的两三角形相似，可证得结论.
（2）利用平行四边形的性质可得到BC=AD=CE，AC∥DE，利用平行线分线段成比例定理可求出PC与RE的比值，利用线段中点的定义可证得DR=RE，再利用相似三角形的对应边成比例可证得QR=2PQ，再证明BP=3PQ，然后求出BP：PQ：QR的比值.
20．【答案】（1）10；108；9
（2）
（3）解：1240279（人），
答：估计该校九年级学生偏胖的人数为279人
（4）解：设小倩体重需要减掉，
依题意得：，
解得，
∴她的体重至少需要减掉
答：她的体重至少需要减掉．
【知识点】一元一次不等式的应用；频数（率）分布直方图；扇形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）a＝40 6 12 12＝10；b°＝360°×＝108°，即b＝108；
n＝40 3 8 11 9＝9，
故答案为：10，108，9；
（2）根据数据从小到大排列，排在第19和第20 的数值都在1.60～1.70，
∴中位数所在的范围是1.60～1.70，
故答案为：1.60～1.70；
【分析】（1）用调查的总人数减去其它三组身高的人数即可求出a的值，用身高为1.60～1.70占总人数的比例乘以360°，即可求出b的值；用样本容量分别减去其它身体属性的人数和肥胖人数n；
（2）根据中位数的定义即可求解；
（3）利用样本估计总体即可；
（4）设小倩体重需要减掉x kg，根据BMI计算公式，列出不等式，解不等式即可求解．
21．【答案】（1）解：根据题意，点的坐标为，抛物线的顶点坐标为，
设抛物线的解析式为，
将代入，得，
，
解得，
∴抛物线的解析式为
（2）解：如图，设圆弧的中点为点，所在圆的圆心为点，连接交于点，连接，设圆的半径为，
由题意可知，，，
∴，
∵点为圆弧的中点，
∴，
∴，
在中，，
∴，
解得，
∴圆弧所在圆的半径为
（3）解：如图，矩形是组合图形的内接矩形，且，轴，设交于点，连接，
由（1）和（2）可知，组合图形关于直线对称，
∴结合图形可知，当矩形关于直线对称时，最大，
∵点为圆弧的中点，
∴，
∴，
由（2）可知，，，
在中，，
∴，
∴，
∴点的坐标为，
∵轴，，
∴点的坐标为，
将代入，得，
∴点的坐标为，
∴，
∵，
∴锅盖能正常盖上．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；勾股定理；垂径定理；二次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求出函数解析式即可；
（2）设圆弧的中点为点，所在圆的圆心为点，连接交于点，连接，设圆的半径为，求出，再利用勾股定理可得，将数据代入可得，最后求出r的值即可；
（3）设交于点，连接，先求出点H的坐标，再将x=4代入解析式求出，可得点E的坐标，再求出EH的长，最后比较大小即可.
22．【答案】（1）解：如图2，把绕点A旋转到，连接，
∵是等边三角形，
∴；
由旋转的性质可得，，
∴是等边三角形，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴以为边构成的三角形即为，
∴以为边构成的三角形的三个内角的度数分别为
（2）解：如图所示，即为所求；
（3）解：，证明如下：
如图所示，将绕点B逆时针旋转60度得到，连接，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵，，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
∵，
∴，
在中，由勾股定理得，
∴．
【知识点】等边三角形的性质；勾股定理；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS；尺规作图-作三角形
【解析】【分析】（1）先利用旋转的性质证出是等边三角形，利用等边三角形的性质可得，再利用角的运算求出各角的度数即可；
（2）利用三角形的作图方法并结合等边三角形的性质作出图形即可；
（3）将绕点B逆时针旋转60度得到，连接，先证出，可得，再结合，求出，最后利用勾股定理及等量代换求解即可.
23．【答案】（1）解：在矩形中，轴，轴，
∵点的坐标为，
∴，，
∵，
∴，
∴点的坐标为，
将点代入，得，
解得，
∴反比例函数的解析式为，
将代入，得，
∴点的坐标为
（2）证明：由（1）可知，，，
∵点，分别在边，上，
又∵反比例函数的图象经过点、，
∴点的坐标为，点的坐标为，
∴，，
∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴
（3）解：设的中点为，
∵，
∴点在圆上，
∵圆与矩形的边有个公共点，
∴圆与边、共有个公共点，
由（2）可知，点的坐标为，点的坐标为，
∴点的坐标为，
①当圆与相切时，如图，设切点为点，连接，
由（2）可知，，，
在中，，
∴，
∵圆与相切，
∴，
∴，
∴，解得，
此时圆与矩形的边仅有个公共点，
∴需向下平移，即，
②当圆与相切时，如图，设切点为点，连接，
同理①可得，，
∴，解得，
此时圆与矩形的边有个公共点，若继续向下平移，则公共点数量会超过个，
∴，
综上所述，的取值范围为．
【知识点】矩形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征；反比例函数-动态几何问题；相似三角形的判定-SAS；分类讨论
【解析】【分析】（1）先求出点D的坐标，再利用待定系数法求出反比例函数解析式，最后求出点E的坐标即可；
（2）先利用反比例函数图象上点坐标的特征及两点之间的距离公式求出，，再求出，结合，证出，利用相似三角形的性质可得，从而可证出；
（3）设的中点为，先求出点的坐标为，再分类讨论：①当圆与相切时；②当圆与相切时，先画出图形，再利用切线的性质列出方程求解即可.
1 / 1广东省东莞市2026届九年级下学期数学第一次模拟考试试卷
1．若小明的成绩在原来基础上增加10分记作“分”，则“分”表示他的成绩在原来基础上（　　）
A．增加5分 B．减少15分 C．增加15分 D．减少5分
【答案】D
【知识点】用正数、负数表示相反意义的量
【解析】【解答】解：根据题意可知，“ 5分”表示减少5分．
故答案为：D．
【分析】根据正负数的意义，正数表示增加，负数表示减少．
2．我国“奋斗者”号载人潜水器最大下潜深度约为10900米，用科学记数法表示10900正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：科学记数法表示10900为1.09×104．
故答案为：B．
【分析】科学记数法的表示方法为：a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，确定a与n的值即可．
3．下列计算错误的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：A、∵，∴A不正确，符合题意；
B、∵，∴B正确，不符合题意；
C、∵，∴C正确，不符合题意；
D、∵，∴D正确，不符合题意；
故答案为：A.
【分析】利用二次根式的加减法、二次根式的性质计算并判断即可.
4．由五个相同小正方体搭成的一个几何体如图所示，该几何体的主视图是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】简单组合体的三视图；小正方体组合体的三视图
【解析】【解答】解：这个组合体的主视图为：
故答案为：B．
【分析】根据简单组合体三视图的画法画出它的主视图即可.
5．如图，将三角尺的直角顶点放在直线b上，如果，要使，那么（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平行线的应用-求角度；平行线的应用-三角尺问题
【解析】【解答】解：如图，
∵∠1＝50°，∠ABC＝90°，∠1＋∠ABC＋∠3＝180°，
∴∠3＝180° 90° 50°＝40°，
要使a∥b，则∠2＝∠3，
即∠2＝40°，a∥b，
故答案为：C．
【分析】根据平行线的判定定理即可求解．
6．圆锥的底面半径为3，侧面积为，则圆锥的母线长为（　　）
A．4 B．5 C． D．
【答案】A
【知识点】圆锥的计算
【解析】【解答】解：∵底面半径为，
∴底面周长
∴圆锥的母线
故选：A．
【分析】根据圆周侧面积即可求出答案.
7．在一个不透明的口袋中，装有若干个红球和4个黄球，它们除颜色外没有任何区别，摇匀后从中随机摸出一个球，记下颜色后再放回口袋中，通过大量重复摸球试验发现，摸到黄球的频率是，则估计口袋中大约有红球（　　）
A．8个 B．16个 C．25个 D．30个
【答案】B
【知识点】利用频率估计概率；概率的简单应用
【解析】【解答】解：设口袋中有红球个
根据题意，得
解得，
经检验，是原方程的根，
故口袋中大约有红球16个．
故选：B．
【分析】设口袋中有红球个，根据概率公式建立方程，解方程即可求出答案.
8．如图，有一张长，宽的矩形纸片，在它的四个角各剪去一个同样大小的小正方形，然后折叠成一个无盖的长方体纸盒．若纸盒的底面（图中阴影部分）面积是，求剪去的小正方形的边长．设剪去的小正方形的边长是，根据题意，可列方程为（　　）．
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：根据题意可得：（13 2x）（8 2x）＝50．
故答案为：A．
【分析】设剪去的小正方形边长是x cm，则长方形纸盒的底面长为（13 2x）cm，宽为（8 2x）cm，根据纸盒的底面（图中阴影部分）面积是50cm2列出关于x的一元二次方程即可．
9．如图，为△的中位线，点在上，且∠=90°．若=7，，则的长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：在Rt△AFB中，D为AB的中点，AB＝7，
∴DF＝AB＝3.5，
∵DE为△ABC的中位线，BC＝11，
∴DE＝BC＝5.5，
∴EF＝DE DF＝2，
故答案为：D．
【分析】根据直角三角形斜边上的中线的性质求出DF，根据三角形中位线定理求出DE，计算即可．
10．二次函数的图像如图所示，有如下结论：①；②；③；④（m为实数）．其中正确结论的个数是（　　）
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，
由抛物线开口向上，得a＞0；对称轴x＝1＝ ，得b＝ 2a＜0；抛物线与y轴交于负半轴，得c＜0．
①abc＞0（a＞0，b＜0，c＜0，三数相乘为正），此结论正确；
②2a＋b＝2a 2a＝0，此结论正确；
③当x＝3时，y＞0，
∴9a＋3b＋c＞0，
又∵a＝ b，
∴ a＋3b＋c＞0，
3b 2c＜0，此结论正确；
④顶点x＝1时函数取最小值，m＝1时am2＋bm＝a＋b，此结论错误．
故答案为：C．
【分析】分析系数a、b、c的符号及相关式子的正误即可．
11．若，，则　 　．
【答案】10
【知识点】同底数幂乘法的逆用
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
故答案为：10．
【分析】由同底数幂的乘法的逆运算将待求式子变形为am×an，然后整体代入计算可得答案.
12．函数y= 中，自变量x的取值范围是　 　．
【答案】x≥﹣2
【知识点】函数自变量的取值范围
【解析】【解答】解：根据题意得：x+2≥0，
解得x≥﹣2．
故答案为：x≥﹣2．
【分析】函数关系中主要有二次根式．根据二次根式的意义，被开方数是非负数即可求解．
13．已知m、n是方程的两个实数根，则　 　．
【答案】-4
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：根据根与系数的关系得m＋n＝4．
故答案为：-4
【分析】直接利用根与系数的关系求解．
14．如图，中国古代的马车已经涉及很复杂的机械设计，包含大量零部件和工艺，所彰显的智慧让人拜服．如图是马车的侧面示意图，为车轮的直径，过圆心的车架一端点着地时，地面与车轮相切于点，连接，，若，则的度数是　 　．
【答案】35
【知识点】勾股定理；圆周角定理；切线的性质；解直角三角形；等积变换
【解析】【解答】（1）证明：如图，连接OD，
∵CD是切线，
∴OD⊥CD，
∵AB是直径，
∴∠ADB＝∠ODC＝90°，
∴∠ADO＝∠BDC，
∵OA＝OD，
∴∠DOC＝∠A＋∠ODA＝2∠BDC，
∵∠C＋∠DOC＝90°，
∴∠C＋2∠BDC＝90°；
（2）解：过点D作DH⊥AB于点H．
∵，
∴可以假设AD＝3k米，BD＝k米，
∴AB＝＝＝（米），
∵ AD BD＝ AB DH，
∴DH＝＝（米），
∴OH＝＝（米），
∵cos∠DOH＝，
∴，
解得，k＝，
∴直径AB＝．
故
【分析】（1）利用切线的性质，圆周角定理，三角形内角和定理证明即可；
（2）过点D作DH⊥AB于点H．设AD＝3k米，BD＝k米，根据cos∠DOH＝，构建方程求解即可．
15．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是，，，其两个锐角的外角平分线相交于点，若点恰好在反比例函数的图象上，则的面积是　 　．
【答案】15
【知识点】三角形的面积；勾股定理；正方形的判定与性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：如图，过点P分别作PD⊥x轴于点D，PE⊥y轴于点E，PC⊥AB于点C，
∵OE⊥OD，
∴四边形ODPE是矩形，
∵△AOB两个锐角的外角平分线相交于点P，
∴PE＝PC，
同理PD＝PC，
∴PE＝PD，
∴四边形ODPE是正方形，
设P（m，m），
∵点P在反比例函数的图象上，
∴m＝，
解得m＝6或m＝ 6（舍去），
∴PC＝PE＝6，
∵A（0，4），B（3，0），
∴OA＝4，OB＝3，
∴AB＝＝＝5，
∴S△APB＝AB PC＝×5×6＝15．
故答案为：15.
【分析】过点P分别作PD⊥x轴于点D，PE⊥y轴于点E，PC⊥AB于点C，先证明四边形ODPE是正方形，然后求出点P的坐标，即可求出PC＝6，再根据勾股定理求出AB＝5，即可求得答案．
16．计算：
【答案】解：
．
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；求特殊角的三角函数值
【解析】【分析】先利用0指数幂、算术平方根、特殊角的三角函数值、负整数指数幂和绝对值的性质化简，再计算即可.
17．如图，经过点的一次函数与正比例函数交于点．
（1）求，，的值；
（2）请直接写出不等式组的解集．
【答案】（1）∵正比例函数与过点的一次函数交于点．
∴
∴
∴
∴
∴
∴
∴
（2）1≤x＜3．
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系；两一次函数图象相交或平行问题
【解析】【解答】（2）解：观察图象得：不等式组ax≥ x＋b＞0的解集为1≤x＜3．
【分析】（1）将点（3，0）和点P的坐标代入一次函数的解析式求得m、b的值，然后将点P的坐标代入正比例函数即可求得a的值；
（2）直接根据函数的图象结合点P的坐标确定不等式的解集即可．
18．港珠澳大桥青州航道桥面B点高出海平面约42米，海底隧道最深处在海平面以下48米的A点，如图，汽车从B点沿下坡直线行驶到A点，斜坡的坡度（即：坡面的竖直高度与水平宽度的比），求车辆沿路面行驶了多少米？（结果精确到米，参考数据：）
【答案】解：由题意得，米，，
∴，
∴，
∴米，
答：车辆沿路面行驶了米．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【分析】先利用正切的定义可得，求出，再利用正弦的定义求出AB的长即可.
19．如图，四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形，点R为DE的中点，BR分别交AC、CD于点P、Q.
（1）求证：△PCQ∽△RDQ；
（2）求BP：PQ：QR的值.
【答案】（1）解：∵ ，
∴ .
又∵ .
∴ .
（2）解：∵四边形 和四边形 都是平行四边形，
∴ ， .
∴ ， .
又∵点 是 中点，
∴ .
由（1）知 ，
∴ ，
∴ .
又∵ ，
∴ .
【知识点】平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）利用两直线平行内错角相等，可得到∠PCQ=∠RDQ，再根据有两组对应角相等的两三角形相似，可证得结论.
（2）利用平行四边形的性质可得到BC=AD=CE，AC∥DE，利用平行线分线段成比例定理可求出PC与RE的比值，利用线段中点的定义可证得DR=RE，再利用相似三角形的对应边成比例可证得QR=2PQ，再证明BP=3PQ，然后求出BP：PQ：QR的比值.
20．体重管理，人人参与．国际上常用身体质量指数（）作为衡量人体胖瘦程度以及健康状况的重要指标，其计算公式为（m表示体重，单位：千克；h表示身高，单位：米），数值标准为：为瘦弱（不健康）；为偏瘦；为正常；为偏胖；为肥胖（不健康）．某校为了解中学生的体重健康情况，随机抽取了40名学生体检结果的身高和身体质量指数“”数据，结果如下统计图及表格所示．
身体属性 瘦弱 偏瘦 正常 偏胖 肥胖
人数 3 8 11 9 n
（1）　 　，　 　，　 　；
（2）身高样本数据的中位数所在的范围是　 　；
（3）已知该校九年级有学生1240人，请估计该校九年级学生偏胖的人数；
（4）小倩身高，值为30，她想通过健身减重使自己的值达到正常，则她的体重至少需要减掉多少千克？（结果精确到千克）
【答案】（1）10；108；9
（2）
（3）解：1240279（人），
答：估计该校九年级学生偏胖的人数为279人
（4）解：设小倩体重需要减掉，
依题意得：，
解得，
∴她的体重至少需要减掉
答：她的体重至少需要减掉．
【知识点】一元一次不等式的应用；频数（率）分布直方图；扇形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）a＝40 6 12 12＝10；b°＝360°×＝108°，即b＝108；
n＝40 3 8 11 9＝9，
故答案为：10，108，9；
（2）根据数据从小到大排列，排在第19和第20 的数值都在1.60～1.70，
∴中位数所在的范围是1.60～1.70，
故答案为：1.60～1.70；
【分析】（1）用调查的总人数减去其它三组身高的人数即可求出a的值，用身高为1.60～1.70占总人数的比例乘以360°，即可求出b的值；用样本容量分别减去其它身体属性的人数和肥胖人数n；
（2）根据中位数的定义即可求解；
（3）利用样本估计总体即可；
（4）设小倩体重需要减掉x kg，根据BMI计算公式，列出不等式，解不等式即可求解．
21．某校数学小组开展以“炒菜锅和锅盖中的数学”为主题的综合实践活动．
研究背景：炒菜锅的纵截面是抛物线面，锅盖的纵截面是球面，经过盖心的纵截面圆弧与经过锅心的纵截面抛物线组合而成的封闭图形．
【建立方法】以锅口和锅盖贴合面的直径为轴，在该直径左端点处作该直径的垂线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系．把锅盖纵截面圆弧和锅的纵截面的抛物线分别记为，．
【收集信息】锅口和锅盖贴合面的直径都为，锅深为，锅盖高为．
（1）【建立模型】
请求出抛物线的解析式；
（2）求出圆弧所在圆的半径；
（3）【应用模型】
将一个底面直径为，高度为的圆柱形器皿竖直放入该锅内蒸食物，锅盖能否正常盖上？请说明理由．
【答案】（1）解：根据题意，点的坐标为，抛物线的顶点坐标为，
设抛物线的解析式为，
将代入，得，
，
解得，
∴抛物线的解析式为
（2）解：如图，设圆弧的中点为点，所在圆的圆心为点，连接交于点，连接，设圆的半径为，
由题意可知，，，
∴，
∵点为圆弧的中点，
∴，
∴，
在中，，
∴，
解得，
∴圆弧所在圆的半径为
（3）解：如图，矩形是组合图形的内接矩形，且，轴，设交于点，连接，
由（1）和（2）可知，组合图形关于直线对称，
∴结合图形可知，当矩形关于直线对称时，最大，
∵点为圆弧的中点，
∴，
∴，
由（2）可知，，，
在中，，
∴，
∴，
∴点的坐标为，
∵轴，，
∴点的坐标为，
将代入，得，
∴点的坐标为，
∴，
∵，
∴锅盖能正常盖上．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；勾股定理；垂径定理；二次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求出函数解析式即可；
（2）设圆弧的中点为点，所在圆的圆心为点，连接交于点，连接，设圆的半径为，求出，再利用勾股定理可得，将数据代入可得，最后求出r的值即可；
（3）设交于点，连接，先求出点H的坐标，再将x=4代入解析式求出，可得点E的坐标，再求出EH的长，最后比较大小即可.
22．旋转是初中数学图形变换很重要的内容．通过旋转将已知条件这种分散的边或角等条件相对集中在一起，构建起新的联系，从而解决问题．
（1）【发现问题】如图1，P为等边内一点，，求：以为边构成的三角形各个内角的度数．
解：如图2，把绕点A旋转到，连接，请完成后面的过程；
（2）【类比探究】如图3，已知线段用无刻度的直尺和圆规求作等边，使内部一个顶点P到三个顶点的距离分别为4，5，6．（保留作图痕迹，不写作法）
（3）【拓展延伸】如图4，在四边形中，．探索线段的数量关系并证明你的结论．
【答案】（1）解：如图2，把绕点A旋转到，连接，
∵是等边三角形，
∴；
由旋转的性质可得，，
∴是等边三角形，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴以为边构成的三角形即为，
∴以为边构成的三角形的三个内角的度数分别为
（2）解：如图所示，即为所求；
（3）解：，证明如下：
如图所示，将绕点B逆时针旋转60度得到，连接，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵，，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
∵，
∴，
在中，由勾股定理得，
∴．
【知识点】等边三角形的性质；勾股定理；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS；尺规作图-作三角形
【解析】【分析】（1）先利用旋转的性质证出是等边三角形，利用等边三角形的性质可得，再利用角的运算求出各角的度数即可；
（2）利用三角形的作图方法并结合等边三角形的性质作出图形即可；
（3）将绕点B逆时针旋转60度得到，连接，先证出，可得，再结合，求出，最后利用勾股定理及等量代换求解即可.
23．如图1，矩形的顶点、分别在轴和轴上，点的坐标为．
（1）反比例函数的图象与边，分别交于点，，当时，求的值和点的坐标；
（2）如图2，点，分别在边，上，且反比例函数的图象经过点、，连接、，求证：；
（3）如图3，反比例函数的图象与边，分别交于点，，若以为直径的圆与矩形的边有个公共点，求的取值范围．
【答案】（1）解：在矩形中，轴，轴，
∵点的坐标为，
∴，，
∵，
∴，
∴点的坐标为，
将点代入，得，
解得，
∴反比例函数的解析式为，
将代入，得，
∴点的坐标为
（2）证明：由（1）可知，，，
∵点，分别在边，上，
又∵反比例函数的图象经过点、，
∴点的坐标为，点的坐标为，
∴，，
∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴
（3）解：设的中点为，
∵，
∴点在圆上，
∵圆与矩形的边有个公共点，
∴圆与边、共有个公共点，
由（2）可知，点的坐标为，点的坐标为，
∴点的坐标为，
①当圆与相切时，如图，设切点为点，连接，
由（2）可知，，，
在中，，
∴，
∵圆与相切，
∴，
∴，
∴，解得，
此时圆与矩形的边仅有个公共点，
∴需向下平移，即，
②当圆与相切时，如图，设切点为点，连接，
同理①可得，，
∴，解得，
此时圆与矩形的边有个公共点，若继续向下平移，则公共点数量会超过个，
∴，
综上所述，的取值范围为．
【知识点】矩形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征；反比例函数-动态几何问题；相似三角形的判定-SAS；分类讨论
【解析】【分析】（1）先求出点D的坐标，再利用待定系数法求出反比例函数解析式，最后求出点E的坐标即可；
（2）先利用反比例函数图象上点坐标的特征及两点之间的距离公式求出，，再求出，结合，证出，利用相似三角形的性质可得，从而可证出；
（3）设的中点为，先求出点的坐标为，再分类讨论：①当圆与相切时；②当圆与相切时，先画出图形，再利用切线的性质列出方程求解即可.
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