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广东省深圳市2024-2025学年高二下学期期末调研测试数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．直线和圆的位置关系为（　　）
A．相交 B．相离
C．相切 D．相交且过圆心
【答案】A
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：因为的圆心坐标和半径分别为，
则圆心到直线的距离为，
所以，直线与圆相交但不经过圆心.
故答案为：A.
【分析】根据圆心到直线的距离与圆的半径比较，从而判断出直线与圆的位置关系.
2．已知等差数列公差为2，和等比数列，则数列的前4项和为（　　）
A．16 B．120 C．168 D．192
【答案】B
【知识点】等差数列的通项公式；等比数列的通项公式；等比数列的前n项和
【解析】【解答】解：因为等差数列公差为2，等比数列，
所以，
设等比数列的公比为q，
则，
解得，
所以数列的前4项和为.
故答案为：B.
【分析】根据已知条件和等差数列的性质和等比数列的通项公式，从而得出的值，再利用等比数列前n项和公式，从而得出数列的前4项和.
3．设曲线在处的切线与垂直，则（　　）
A． B．2 C． D．
【答案】C
【知识点】导数的几何意义；简单复合函数求导法则；用斜率判定两直线垂直
【解析】【解答】解：因为，
所以，
则曲线在处的切线斜率为：，
由直线的斜率为：，
又因为曲线在处的切线与垂直，
所以，
则.
故答案为：C.
【分析】根据导数的几何意义得出曲线在处的切线斜率，再利用两直线垂直斜率之积等于-1，从而得出实数a的值.
4．已知变量x和y的统计数据如表，若由表中数据得到回归直线方程为，则时的残差为（　　）
x 4 4.5 5 5.5 6
y 7 6 4 2 1
A．0.2 B． C．0.4 D．
【答案】D
【知识点】线性回归方程
【解析】【解答】解：由题意得，
，
则样本中心点为，代入可得，
所以回归直线方程为，
当时，，
所以时的残差为.
故答案为：D
【分析】先求出，，即可得到，再利用回归方程求出时的预测值，再利用残差定义即可求解.
5．的展开式中的系数为（　　）
A．5 B．-5 C．15 D．-15
【答案】D
【知识点】二项式系数
【解析】【解答】解：因为，
所以，它的展开式中的系数为.
故答案为：D．
【分析】利用已知条件和二项式定理得出展开式的通项，再利用展开式的通项得出的展开式中的系数．
6．小张上班有四种方式，有步行，骑自行车，乘坐公汽，自己开车.他记录了100次用这四种方式上班所花费的时间，分别用随机变量来表示用这四种方式上班所用时间（分钟）.经数据分析，，，如果某天有70分钟可用，他该选择哪种方式上班不迟到的概率最大（　　）
，
A．步行 B．骑自行车 C．乘坐公汽 D．自己开车
【答案】B
【知识点】正态密度曲线的特点
【解析】【解答】解：①当小张步行方式上班时，由知，，
所以他上班不迟到的概率为：
，
②当小张骑自行车上班时，由知，，
所以他上班不迟到的概率为：
，
③当小张乘坐公汽上班时，由知，，
所以他上班不迟到的概率为：
，
④当小张自己开车上班时，由知，，
所以他上班不迟到的概率为：
，
由，可知小张骑自行车上班时不迟到的概率最大.
故答案为：B.
【分析】根据正态分布求解判断即可.
7．某学校一名学生参加体育和AI两个兴趣小组，该同学每周只能选择其中一个兴趣小组学习，第一周选择体育兴趣小组的概率是，如果第一周选择AI兴趣小组，那么第二周去AI兴趣小组的概率为；如果第一周去体育兴趣小组，那么第二周去AI兴趣小组的概率为．已知该同学第二周去AI兴趣小组，则第一周去AI兴趣小组的概率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】全概率公式；条件概率；条件概率乘法公式
【解析】【解答】解：设第一周去AI兴趣小组为事件，第二周去AI兴趣小组为事件，
则，，
所以，
因为，
所以.
故答案为：A．
【分析】利用已知条件和条件概率公式、条件概率乘法公式和全概率公式，从而得出第一周去AI兴趣小组的概率．
8．已知函数，当时，则（　　）
A．有两个极值点 B．有极大值
C．可以是负数 D．一定是正数
【答案】D
【知识点】函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值；基本不等式在最值问题中的应用；函数极限
【解析】【解答】解：因为的定义域为，
所以，
设，
则，
所以是增函数，
当时，；时，，
所以，存在，使得，
且当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以有一个极小值点，无极大值点即无极大值，故选项A、B错误；
当时，取得最小值，
因为，
则
，
当且仅当时取等号，此时，
则恒成立，故选项C错误、选项D正确.
故答案为：D.
【分析】利用已知条件和导数的正负判断函数的单调性，从而判断出的零点存在，进而得出其为极小值点，则判断出选项A和选项B；由得出，之间的关系式，再代入中并结合基本不等式求最值可判断出选项C和选项D，从而找出正确的选项.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共计18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.
9．则下列说法正确的是（　　）
A．用0，1，2，3，4可组成没有重复数字的3位偶数有30个.
B．若二项展开式，则
C．样本相关系数为正数，越接近于1，则成对样本数据正相关且线性相关程度越强
D．用残差来比较两个模型的拟合效果时，残差和越小，模型的拟合效果越好
【答案】A,B,C
【知识点】可线性化的回归分析；样本相关系数r及其数字特征；分类加法计数原理；二项式系数的性质
【解析】【解答】解：对于A，由三位偶数可知个位只能选，
当个位选时，没有重复数字的三位数有个；
当个位选或时，没有重复数字的三位数有个，
则共有个，故A正确；
对于B，对两边求导，
可得，
令，可得，故B正确；
对于C，根据相关系数的概念，故C正确；
对于D，当残差平方和越小时，拟合程度越好，故D错误.
故答案为：ABC.
【分析】利用已知条件和分类加法计数原理、分步乘法计数原理，则判断出选项A；对等式两边分别求导，再利用赋值法判断出选项B；根据相关系数定义和残差平方和与拟合程度的关系，则判断出选项CD， 从而找出是否说法正确的选项.
10．设，已知随机变量的分布列如下表，则下列结论正确的是（　　）
0 1 2
P
A． B．的值最大
C．随着p的增大而增大 D．当时，
【答案】A,D
【知识点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的方差
【解析】【解答】解：因为，故A正确；
令，则，，故B错误；
由题意，得，
因为，
所以随着p的增大而减小，故C错误；
当时，，
则，故D正确.
故答案为：AD.
【分析】根据已知条件和比较法，则判断出选项A；利用赋值法和随机变量的分布列，则判断出选项B；利用随机变量分布列求数学期望公式求出，再根据二次函数的单调性判断出选项C；根据方差公式求出，则判断出选项D，进而找出结论正确的选项.
11．已知直线分别与函数和的图象交于点，下列结论正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A,C,D
【知识点】互为反函数的两个函数之间的关系；利用导数研究函数的单调性；基本不等式在最值问题中的应用；图形的对称性
【解析】【解答】解：因为函数与互为反函数，
所以与的图象关于对称，
将与联立，则，
由直线分别与函数和的图象交于点，
作出函数图象，如图：
则的中点坐标为.
对于A，由，得，故A正确；
对于B，因为，
又因为，则等号不成立，所以，故B错误；
对于C，由图可知，，
因为，所以，
令，则，
当时，，则函数在上单调递增，
所以，则，
所以，故C正确；
对于D，令，
则，，
所以，
由图形的对称性可知，，所以，
令，求导得，当时，，
所以在上单调递增，
又因为，所以，
则，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】利用反函数图象的对称关系和两直线联立，从而得出的中点坐标，再利用中点坐标公式判断出选项A；利用基本不等式求最值的方法，则判断出选项B；利用基本不等式求最值的方法额导数的正负判断函数单调性的方法，从而得出，则判断出选项C；令，由图形的对称性，得出，令，再利用导数的正负判断函数的单调性，从而得出，则判断出选项D，从而找出结论正确的选项.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分.
12．已知函数在处有极大值，则的单增区间为　 　.
【答案】和
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】解：因为，
所以，
由在处有极大值，可知，
则，，
解得或，
当时，，
令，解得或；令，解得，
因此在和上单调递增，在上单调递减，
此时是极大值点，符合题意，
则函数的单增区间是和；
当时，，
令，解得或；令，解得，
因此在和上单调递增，在上单调递减，
此时是极小值点，不符合题意，
综上所述，，函数单调增区间是和.
故答案为：和.
【分析】利用已知条件和导数的正负判断函数的单调性，从而得出函数的极值，进而得出c的值，再利用分类讨论的方法和导数的正负判断函数的单调性，从而得出函数的单调区间.
13．将某保护区分为面积大小相近的多个区域，用简单随机抽样的方法抽取其中6个区域，统计这些区域内的某种水源指标和某植物分布的数量，得到样本，且其相关系数，记关于的线性回归方程为.经计算可知：，则　 　.
参考公式：.
【答案】
【知识点】样本相关系数r及其数字特征
【解析】【解答】解：因为，
所以，
由，
解得，
所以.
故填：
【分析】先由参考数据及参考公式求出某种水源指标的平均值以及某植物分布的数量的平均值，再利用相关系数公式求出，再求即可.
14．在平面直角坐标系上的一只蚂蚁从原点处出发，每次随机地向上、下、左、右四个方向移动一个单位，移动4次，则蚂蚁移动到圆内部的概率为　 　.
【答案】
【知识点】古典概型及其概率计算公式；排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：把向上、下、左、右四个方向的步数记分别为，，，，
则.
若蚂蚁移动到圆的内部，
则移动4次后，蚂蚁可能的位置为原点，，，，，共5种情况.
若蚂蚁移动到原点，
则，，
所以，或，或，
有种走法；
若蚂蚁移动到点（1，1），
则，，
所以，，，或，，，，
有种走法.
由对称可知，蚂蚁移动到圆内部的概率为.
故答案为：.
【分析】利用已知条件和分类讨论的方法，再利用组合数公式和古典概率公式，从而得出蚂蚁移动到圆内部的概率.
四、解答题：本大题共5小题，共计77分.解答应在答卷的相应各题中写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15．已知椭圆为该椭圆的左、右两个焦点，为该椭圆上的动点，椭圆的离心率面积的最大值为.
（1）求椭圆的方程.
（2）已知A，B为该椭圆的上顶点和下顶点，，在直线上是否存在一点，使直线BM和直线AN的交点在该椭圆上，若存在，求出点的坐标，若不存在，说明理由.
【答案】（1）解：由题意，可得，
解得，
所以，椭圆的方程为.
（2）解：由题意，可作图如下：
由（1）可得，，
由得，直线的方程为，
联立，化简可得，
解得，，
将代入，可得，
由题意，可得在直线上，
因为直线的斜率，
所以，直线的方程为，
将代入，可得，
则.

【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）根据已知条件和椭圆的离心率公式以及焦点三角形面积公式，从而建立关于a，b，c三者的关系式，再解方程得出a，b，c的值，进而得出椭圆的标准方程.
（2）由已知条件结合（1）得出点A的坐标和点B的坐标，再利用两点式得出直线BM的方程，联立直线的方程和椭圆方程，从而得出交点坐标，再根据代入法和两点求斜率公式，从而得出直线AN的方程，再根据代入法得出点N的坐标.
（1）由题意可得，解得，所以椭圆的方程为.
（2）由题意可作图如下：
由（1）可得，，则由得直线的方程为，
联立，化简可得，解得，，
将代入，可得，由题意可得在直线上，
直线的斜率，则直线的方程为，
将代入，可得，则.
16．为研究某市居民的身体素质与户外体育锻炼时间的关系，对该市某社区100名居民平均每天的户外体育锻炼时间进行了调查，统计数据如下表：
平均每天户外体育锻炼的时间（分钟）
总人数 10 18 22 25 20 5
规定：将平均每天户外体育锻炼时间在分钟内的居民评价为“户外体育锻炼不达标”，在分钟内的居民评价为“户外体育锻炼达标”．
（1）请根据上述表格中的统计数据填写下面列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否认为性别与户外体育锻炼是否达标有关联？
　 户外体育锻炼不达标 户外体育缎练达标 合计
男 　 　 　
女 　 10 55
合计 　 　 　
（2）从上述“户外体育锻炼不达标”的居民中，按性别用分层抽样的方法抽取5名居民，再从这5名居民中随机抽取3人了解他们户外体育锻炼时间偏少的原因，记所抽取的3人中男性居民的人数为随机变量X，求X的分布列和数学期望；
（3）将上述调查所得到的频率视为概率来估计全市的情况，现在从该市所有居民中随机抽取3人，求其中恰好有2人“户外体育锻炼达标”的概率.
参考公式：，其中．
参考数据：（独立性检验中常用的小概率值和相应的临界值）
0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
【答案】（1）解：由题意，则
户外体育锻炼不达标 户外体育锻炼达标 合计
男 30 15 45
女 45 10 55
合计 75 25 100
零假设为：性别与户外体育锻炼是否达标无关联，
根据列联表中的数据，
经计算得到，
根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，
因此可以认为成立，
即认为性别与户外体育锻炼是否达标无关联.
（2）解：由题意，所抽取的5名居民中男性为名，女性为名，
则的所有可能取值为0，1，2，
所以，，，
则的分布列为：
0 1 2
所以.
（3）解：设所抽取的3名居民中 “户外体育锻炼达标”的人数为，
则列联表中居民“户外体育锻炼达标”的频率为，
将频率视为概率，则，
所以，
则从该市所有居民中随机抽取3人，
其中恰有2人“户外体育锻炼达标”的概率为.
【知识点】独立性检验的应用；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差；二项分布
【解析】【分析】（1）根据表中所给的数据列出列联表，再利用列联表和独立性检验的方法，则认为性别与户外体育锻炼是否达标无关联.（2）由题意结合分层抽样的方法，从而可知随机变量的取值，求出相应取值概率，从而求出随机变量X的分布列，再利用随机变量的分布列求数学期望公式，从而得出随机变量X的数学期望.
（3）设所抽取的4名学生中，课外体育达标的人数为，再利用二项分布可知，再根据二项分布求概率公式，从而得出其中恰好有2人“户外体育锻炼达标”的概率.
（1）
　 户外体育锻炼不达标 户外体育锻炼达标 合计
男 30 15 45
女 45 10 55
合计 75 25 100
零假设为：性别与户外体育锻炼是否达标无关联.
根据列联表中的数据，经计算得到，
根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，
因此可以认为成立，即认为性别与户外体育锻炼是否达标无关联.
（2）易知，所抽取的5名居民中男性为名，女性为名.
的所有可能取值为0，1，2，
，，，
所以的分布列为
0 1 2
所以.
（3）设所抽取的3名居民中 “户外体育锻炼达标”的人数为，
列联表中居民“户外体育锻炼达标”的频率为，
将频率视为概率则，
所以，
所以从该市所有居民中随机抽取3人，其中恰有2人“户外体育锻炼达标”的概率为.
17．已知等比数列的前项和为，且
（1）求数列的通项公式；
（2）在与之间插入个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在3项（其中成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的3项；若不存在请说明理由.
【答案】（1）解：设等比数列的公比为，
则，
当时，，
两式相减得，
则，所以，
令，得，
则，解得，
所以.
（2）解：不存在，理由如下：
由（1）得，，，
在与之间插入个数组成一个公差为的等差数列，
则，
所以，
则，
假设在数列中存在3项（其中成等差数列）成等比数列，
则，，
所以，
因为成等差数列，所以，
则，
所以，
则，
联立，解得，与题设矛盾，
则在数列中，不存在3项（其中成等差数列）成等比数列.
【知识点】等差数列概念与表示；等比数列概念与表示；等比数列的通项公式；反证法的应用；通项与前n项和的关系
【解析】【分析】（1）利用已知条件和的关系式以及等比数列的定义，从而得出公比的值，再利用的关系式得出首项的值，再根据等比数列的通项公式得出数列的通项公式.
（2）利用反证法，假设存在，由等差中项公式得到，再利用等比中项公式得到，联立解得，与题设矛盾，从而得出假设不成立，则在数列中，不存在3项（其中成等差数列）成等比数列.
（1）设等比数列的公比为，
，时，，两式相减得，
即，所以，
令得，即，解得，
所以.
（2）不存在，理由如下：
由（1）得，，
在与之间插入个数组成一个公差为的等差数列，则，
即，则，
假设在数列中存在3项（其中成等差数列）成等比数列，
则，，即，
因为成等差数列，所以，所以，
即，即，
联立解得，与题设矛盾，
故在数列中不存在3项（其中成等差数列）成等比数列.
18．已知函数
（1）令对恒成立，求的最大值.
（2）若有两个零点，求的范围，并证明：
【答案】（1）解：由，
可得，
由，
可得对恒成立，
则对恒成立，
因为，所以对恒成立，
则对恒成立，
记，，则，
当在单调递增；
当在单调递减，
则，
所以，
则，因此，
则，所以的最大值为1.
（2）解：因为，又因为，
当时，则，此时，在定义域内单调递减，此时不满足有两个零点，
当时，令，则此时在单调递减，，
则此时在单调递增，
且当，
要使有两个零点，则，
所以
记，
因为均为内的单调递增函数，
所以，函数在单调递增，
又因为，所以时，，
则，
记函数，
则
，
因为，，所以，
则函数在单调递增，
所以，
可得，
则
因为，所以，
又因为，所以，
因为，在单调递减，
所以，则.
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】（1）利用已知条件和导数的运算法则，从而得出h(x)的解析式，再利用导数判断函数的单调性，从而得出函数的最值，再根据不等式恒成立问题求解方法，从而得出实数a的取值范围，进而得出a的最大值.
（2）对进行分类讨论，利用导数求得函数的最值，再利用函数的单调性可得实数的取值范围，构造函数，再根据导数的正负判断函数的单调性，从而证出不等式成立.
（1）由可得，
故由可得对恒成立，
故对恒成立，
由于得，故对恒成立，
进一步可得对恒成立，
记，，则，
当在单调递增，当在单调递减，
故，
，故，
因此，即，故的最大值为1，
（2）由于，
由于，
当时，则，此时，在定义域内单调递减，此时不满足有两个零点，
当时，令，则此时在单调递减，，则此时在单调递增，
且当，
要使有两个零点，则，则
记，由于均为内的单调递增函数，因此函数在单调递增，由于，
因此时，，
故，
记函数，则
，
由于，，所以，
因此函数在单调递增，
故，
进而可得，即可
由于，则，
由于，所以，又，在单调递减，
故，
即
19．通过抛掷骰子产生随机数列，具体产生方式为：若第次抛掷得到的点数，则.记数列的前项和为，记除以4的余数为
（1）若，求和
（2）甲乙丙丁四人玩游戏：在一局中，由第五个人（裁判）投一个骰子2次，若为0则甲在本局胜出，若为1则乙在本局胜出，若为2则丙在本局胜出，若为3则丁在本局胜出，比赛开始前，4名选手自由两两组合，组成A小队，B小队，组队后进行比赛.比赛采用5局3胜制，每局比赛中只要小队内有成员胜出即该小队在此局中获胜，请问：甲和哪位选手组成A小队，使A小队在比赛中有最大概率获胜，并说明原因.
（3）若，设，试确定该展开式中各项系数与事件的联系，并求的概率.
【答案】（1）解：因为，
所以，
则的情形有：，，
，共计9种，
因此.
（2）解：由（1）可知：，
则的情形有：，
，共计8种；
因此，，
则的情形有：，，，共计9种；
因此，，
则的情形有：，，，
共计10种，
因此，，
设A小队每局获胜概率为，
则比赛获胜概率为
所以，
则越大越大，
所以甲和丁组成A队在每局比赛中获胜概率为在比赛中获胜概率最大.
（3）解：因为，
则事件件表示20个式子相乘后得到的组合方式的数量，
其中，，
令，得到；
令，得到，
则，
令，
得到
因为，
所以，
因此，，
所以．
【知识点】利用导数研究函数最大（小）值；相互独立事件的概率乘法公式；二项式定理的应用
【解析】【分析】（1）利用已知条件和古典概率公式，从而得出和的值.
（2）利用已知条件分析，的情形，从而写出的表达式，再利用导数的正负判断出函数的单调性，从而得出甲和丁组成A队在每局比赛中获胜概率为在比赛中获胜概率最大.
（3）利用已知条件，分别赋值和，再利用二项式定理得出的概率.
（1）因为，
所以，
的情形有：，，
，合计9种，
因此.
（2）由（1）可知：，
的情形有：，
，合计8种，
因此，，
的情形有：，，，合计9种；
因此，，
的情形有：，，，合计10种；
因此，，
设A小队每局获胜概率为，比赛获胜概率为，
所以，
故越大越大，所以甲和丁组成A队在每局比赛中获胜概率为在比赛中获胜概率最大.
（3），
事件件表示20个式子相乘后得到的组合方式的数量，
其，其中，
令，得到，
令，得到，
因此，
令，得到，
又因为，
所以，
因此，，
所以．
1 / 1广东省深圳市2024-2025学年高二下学期期末调研测试数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．直线和圆的位置关系为（　　）
A．相交 B．相离
C．相切 D．相交且过圆心
2．已知等差数列公差为2，和等比数列，则数列的前4项和为（　　）
A．16 B．120 C．168 D．192
3．设曲线在处的切线与垂直，则（　　）
A． B．2 C． D．
4．已知变量x和y的统计数据如表，若由表中数据得到回归直线方程为，则时的残差为（　　）
x 4 4.5 5 5.5 6
y 7 6 4 2 1
A．0.2 B． C．0.4 D．
5．的展开式中的系数为（　　）
A．5 B．-5 C．15 D．-15
6．小张上班有四种方式，有步行，骑自行车，乘坐公汽，自己开车.他记录了100次用这四种方式上班所花费的时间，分别用随机变量来表示用这四种方式上班所用时间（分钟）.经数据分析，，，如果某天有70分钟可用，他该选择哪种方式上班不迟到的概率最大（　　）
，
A．步行 B．骑自行车 C．乘坐公汽 D．自己开车
7．某学校一名学生参加体育和AI两个兴趣小组，该同学每周只能选择其中一个兴趣小组学习，第一周选择体育兴趣小组的概率是，如果第一周选择AI兴趣小组，那么第二周去AI兴趣小组的概率为；如果第一周去体育兴趣小组，那么第二周去AI兴趣小组的概率为．已知该同学第二周去AI兴趣小组，则第一周去AI兴趣小组的概率为（　　）
A． B． C． D．
8．已知函数，当时，则（　　）
A．有两个极值点 B．有极大值
C．可以是负数 D．一定是正数
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共计18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.
9．则下列说法正确的是（　　）
A．用0，1，2，3，4可组成没有重复数字的3位偶数有30个.
B．若二项展开式，则
C．样本相关系数为正数，越接近于1，则成对样本数据正相关且线性相关程度越强
D．用残差来比较两个模型的拟合效果时，残差和越小，模型的拟合效果越好
10．设，已知随机变量的分布列如下表，则下列结论正确的是（　　）
0 1 2
P
A． B．的值最大
C．随着p的增大而增大 D．当时，
11．已知直线分别与函数和的图象交于点，下列结论正确的是（　　）
A． B．
C． D．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分.
12．已知函数在处有极大值，则的单增区间为　 　.
13．将某保护区分为面积大小相近的多个区域，用简单随机抽样的方法抽取其中6个区域，统计这些区域内的某种水源指标和某植物分布的数量，得到样本，且其相关系数，记关于的线性回归方程为.经计算可知：，则　 　.
参考公式：.
14．在平面直角坐标系上的一只蚂蚁从原点处出发，每次随机地向上、下、左、右四个方向移动一个单位，移动4次，则蚂蚁移动到圆内部的概率为　 　.
四、解答题：本大题共5小题，共计77分.解答应在答卷的相应各题中写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15．已知椭圆为该椭圆的左、右两个焦点，为该椭圆上的动点，椭圆的离心率面积的最大值为.
（1）求椭圆的方程.
（2）已知A，B为该椭圆的上顶点和下顶点，，在直线上是否存在一点，使直线BM和直线AN的交点在该椭圆上，若存在，求出点的坐标，若不存在，说明理由.
16．为研究某市居民的身体素质与户外体育锻炼时间的关系，对该市某社区100名居民平均每天的户外体育锻炼时间进行了调查，统计数据如下表：
平均每天户外体育锻炼的时间（分钟）
总人数 10 18 22 25 20 5
规定：将平均每天户外体育锻炼时间在分钟内的居民评价为“户外体育锻炼不达标”，在分钟内的居民评价为“户外体育锻炼达标”．
（1）请根据上述表格中的统计数据填写下面列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否认为性别与户外体育锻炼是否达标有关联？
　 户外体育锻炼不达标 户外体育缎练达标 合计
男 　 　 　
女 　 10 55
合计 　 　 　
（2）从上述“户外体育锻炼不达标”的居民中，按性别用分层抽样的方法抽取5名居民，再从这5名居民中随机抽取3人了解他们户外体育锻炼时间偏少的原因，记所抽取的3人中男性居民的人数为随机变量X，求X的分布列和数学期望；
（3）将上述调查所得到的频率视为概率来估计全市的情况，现在从该市所有居民中随机抽取3人，求其中恰好有2人“户外体育锻炼达标”的概率.
参考公式：，其中．
参考数据：（独立性检验中常用的小概率值和相应的临界值）
0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
17．已知等比数列的前项和为，且
（1）求数列的通项公式；
（2）在与之间插入个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在3项（其中成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的3项；若不存在请说明理由.
18．已知函数
（1）令对恒成立，求的最大值.
（2）若有两个零点，求的范围，并证明：
19．通过抛掷骰子产生随机数列，具体产生方式为：若第次抛掷得到的点数，则.记数列的前项和为，记除以4的余数为
（1）若，求和
（2）甲乙丙丁四人玩游戏：在一局中，由第五个人（裁判）投一个骰子2次，若为0则甲在本局胜出，若为1则乙在本局胜出，若为2则丙在本局胜出，若为3则丁在本局胜出，比赛开始前，4名选手自由两两组合，组成A小队，B小队，组队后进行比赛.比赛采用5局3胜制，每局比赛中只要小队内有成员胜出即该小队在此局中获胜，请问：甲和哪位选手组成A小队，使A小队在比赛中有最大概率获胜，并说明原因.
（3）若，设，试确定该展开式中各项系数与事件的联系，并求的概率.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：因为的圆心坐标和半径分别为，
则圆心到直线的距离为，
所以，直线与圆相交但不经过圆心.
故答案为：A.
【分析】根据圆心到直线的距离与圆的半径比较，从而判断出直线与圆的位置关系.
2．【答案】B
【知识点】等差数列的通项公式；等比数列的通项公式；等比数列的前n项和
【解析】【解答】解：因为等差数列公差为2，等比数列，
所以，
设等比数列的公比为q，
则，
解得，
所以数列的前4项和为.
故答案为：B.
【分析】根据已知条件和等差数列的性质和等比数列的通项公式，从而得出的值，再利用等比数列前n项和公式，从而得出数列的前4项和.
3．【答案】C
【知识点】导数的几何意义；简单复合函数求导法则；用斜率判定两直线垂直
【解析】【解答】解：因为，
所以，
则曲线在处的切线斜率为：，
由直线的斜率为：，
又因为曲线在处的切线与垂直，
所以，
则.
故答案为：C.
【分析】根据导数的几何意义得出曲线在处的切线斜率，再利用两直线垂直斜率之积等于-1，从而得出实数a的值.
4．【答案】D
【知识点】线性回归方程
【解析】【解答】解：由题意得，
，
则样本中心点为，代入可得，
所以回归直线方程为，
当时，，
所以时的残差为.
故答案为：D
【分析】先求出，，即可得到，再利用回归方程求出时的预测值，再利用残差定义即可求解.
5．【答案】D
【知识点】二项式系数
【解析】【解答】解：因为，
所以，它的展开式中的系数为.
故答案为：D．
【分析】利用已知条件和二项式定理得出展开式的通项，再利用展开式的通项得出的展开式中的系数．
6．【答案】B
【知识点】正态密度曲线的特点
【解析】【解答】解：①当小张步行方式上班时，由知，，
所以他上班不迟到的概率为：
，
②当小张骑自行车上班时，由知，，
所以他上班不迟到的概率为：
，
③当小张乘坐公汽上班时，由知，，
所以他上班不迟到的概率为：
，
④当小张自己开车上班时，由知，，
所以他上班不迟到的概率为：
，
由，可知小张骑自行车上班时不迟到的概率最大.
故答案为：B.
【分析】根据正态分布求解判断即可.
7．【答案】A
【知识点】全概率公式；条件概率；条件概率乘法公式
【解析】【解答】解：设第一周去AI兴趣小组为事件，第二周去AI兴趣小组为事件，
则，，
所以，
因为，
所以.
故答案为：A．
【分析】利用已知条件和条件概率公式、条件概率乘法公式和全概率公式，从而得出第一周去AI兴趣小组的概率．
8．【答案】D
【知识点】函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值；基本不等式在最值问题中的应用；函数极限
【解析】【解答】解：因为的定义域为，
所以，
设，
则，
所以是增函数，
当时，；时，，
所以，存在，使得，
且当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以有一个极小值点，无极大值点即无极大值，故选项A、B错误；
当时，取得最小值，
因为，
则
，
当且仅当时取等号，此时，
则恒成立，故选项C错误、选项D正确.
故答案为：D.
【分析】利用已知条件和导数的正负判断函数的单调性，从而判断出的零点存在，进而得出其为极小值点，则判断出选项A和选项B；由得出，之间的关系式，再代入中并结合基本不等式求最值可判断出选项C和选项D，从而找出正确的选项.
9．【答案】A,B,C
【知识点】可线性化的回归分析；样本相关系数r及其数字特征；分类加法计数原理；二项式系数的性质
【解析】【解答】解：对于A，由三位偶数可知个位只能选，
当个位选时，没有重复数字的三位数有个；
当个位选或时，没有重复数字的三位数有个，
则共有个，故A正确；
对于B，对两边求导，
可得，
令，可得，故B正确；
对于C，根据相关系数的概念，故C正确；
对于D，当残差平方和越小时，拟合程度越好，故D错误.
故答案为：ABC.
【分析】利用已知条件和分类加法计数原理、分步乘法计数原理，则判断出选项A；对等式两边分别求导，再利用赋值法判断出选项B；根据相关系数定义和残差平方和与拟合程度的关系，则判断出选项CD， 从而找出是否说法正确的选项.
10．【答案】A,D
【知识点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的方差
【解析】【解答】解：因为，故A正确；
令，则，，故B错误；
由题意，得，
因为，
所以随着p的增大而减小，故C错误；
当时，，
则，故D正确.
故答案为：AD.
【分析】根据已知条件和比较法，则判断出选项A；利用赋值法和随机变量的分布列，则判断出选项B；利用随机变量分布列求数学期望公式求出，再根据二次函数的单调性判断出选项C；根据方差公式求出，则判断出选项D，进而找出结论正确的选项.
11．【答案】A,C,D
【知识点】互为反函数的两个函数之间的关系；利用导数研究函数的单调性；基本不等式在最值问题中的应用；图形的对称性
【解析】【解答】解：因为函数与互为反函数，
所以与的图象关于对称，
将与联立，则，
由直线分别与函数和的图象交于点，
作出函数图象，如图：
则的中点坐标为.
对于A，由，得，故A正确；
对于B，因为，
又因为，则等号不成立，所以，故B错误；
对于C，由图可知，，
因为，所以，
令，则，
当时，，则函数在上单调递增，
所以，则，
所以，故C正确；
对于D，令，
则，，
所以，
由图形的对称性可知，，所以，
令，求导得，当时，，
所以在上单调递增，
又因为，所以，
则，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】利用反函数图象的对称关系和两直线联立，从而得出的中点坐标，再利用中点坐标公式判断出选项A；利用基本不等式求最值的方法，则判断出选项B；利用基本不等式求最值的方法额导数的正负判断函数单调性的方法，从而得出，则判断出选项C；令，由图形的对称性，得出，令，再利用导数的正负判断函数的单调性，从而得出，则判断出选项D，从而找出结论正确的选项.
12．【答案】和
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】解：因为，
所以，
由在处有极大值，可知，
则，，
解得或，
当时，，
令，解得或；令，解得，
因此在和上单调递增，在上单调递减，
此时是极大值点，符合题意，
则函数的单增区间是和；
当时，，
令，解得或；令，解得，
因此在和上单调递增，在上单调递减，
此时是极小值点，不符合题意，
综上所述，，函数单调增区间是和.
故答案为：和.
【分析】利用已知条件和导数的正负判断函数的单调性，从而得出函数的极值，进而得出c的值，再利用分类讨论的方法和导数的正负判断函数的单调性，从而得出函数的单调区间.
13．【答案】
【知识点】样本相关系数r及其数字特征
【解析】【解答】解：因为，
所以，
由，
解得，
所以.
故填：
【分析】先由参考数据及参考公式求出某种水源指标的平均值以及某植物分布的数量的平均值，再利用相关系数公式求出，再求即可.
14．【答案】
【知识点】古典概型及其概率计算公式；排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：把向上、下、左、右四个方向的步数记分别为，，，，
则.
若蚂蚁移动到圆的内部，
则移动4次后，蚂蚁可能的位置为原点，，，，，共5种情况.
若蚂蚁移动到原点，
则，，
所以，或，或，
有种走法；
若蚂蚁移动到点（1，1），
则，，
所以，，，或，，，，
有种走法.
由对称可知，蚂蚁移动到圆内部的概率为.
故答案为：.
【分析】利用已知条件和分类讨论的方法，再利用组合数公式和古典概率公式，从而得出蚂蚁移动到圆内部的概率.
15．【答案】（1）解：由题意，可得，
解得，
所以，椭圆的方程为.
（2）解：由题意，可作图如下：
由（1）可得，，
由得，直线的方程为，
联立，化简可得，
解得，，
将代入，可得，
由题意，可得在直线上，
因为直线的斜率，
所以，直线的方程为，
将代入，可得，
则.

【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）根据已知条件和椭圆的离心率公式以及焦点三角形面积公式，从而建立关于a，b，c三者的关系式，再解方程得出a，b，c的值，进而得出椭圆的标准方程.
（2）由已知条件结合（1）得出点A的坐标和点B的坐标，再利用两点式得出直线BM的方程，联立直线的方程和椭圆方程，从而得出交点坐标，再根据代入法和两点求斜率公式，从而得出直线AN的方程，再根据代入法得出点N的坐标.
（1）由题意可得，解得，所以椭圆的方程为.
（2）由题意可作图如下：
由（1）可得，，则由得直线的方程为，
联立，化简可得，解得，，
将代入，可得，由题意可得在直线上，
直线的斜率，则直线的方程为，
将代入，可得，则.
16．【答案】（1）解：由题意，则
户外体育锻炼不达标 户外体育锻炼达标 合计
男 30 15 45
女 45 10 55
合计 75 25 100
零假设为：性别与户外体育锻炼是否达标无关联，
根据列联表中的数据，
经计算得到，
根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，
因此可以认为成立，
即认为性别与户外体育锻炼是否达标无关联.
（2）解：由题意，所抽取的5名居民中男性为名，女性为名，
则的所有可能取值为0，1，2，
所以，，，
则的分布列为：
0 1 2
所以.
（3）解：设所抽取的3名居民中 “户外体育锻炼达标”的人数为，
则列联表中居民“户外体育锻炼达标”的频率为，
将频率视为概率，则，
所以，
则从该市所有居民中随机抽取3人，
其中恰有2人“户外体育锻炼达标”的概率为.
【知识点】独立性检验的应用；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差；二项分布
【解析】【分析】（1）根据表中所给的数据列出列联表，再利用列联表和独立性检验的方法，则认为性别与户外体育锻炼是否达标无关联.（2）由题意结合分层抽样的方法，从而可知随机变量的取值，求出相应取值概率，从而求出随机变量X的分布列，再利用随机变量的分布列求数学期望公式，从而得出随机变量X的数学期望.
（3）设所抽取的4名学生中，课外体育达标的人数为，再利用二项分布可知，再根据二项分布求概率公式，从而得出其中恰好有2人“户外体育锻炼达标”的概率.
（1）
　 户外体育锻炼不达标 户外体育锻炼达标 合计
男 30 15 45
女 45 10 55
合计 75 25 100
零假设为：性别与户外体育锻炼是否达标无关联.
根据列联表中的数据，经计算得到，
根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，
因此可以认为成立，即认为性别与户外体育锻炼是否达标无关联.
（2）易知，所抽取的5名居民中男性为名，女性为名.
的所有可能取值为0，1，2，
，，，
所以的分布列为
0 1 2
所以.
（3）设所抽取的3名居民中 “户外体育锻炼达标”的人数为，
列联表中居民“户外体育锻炼达标”的频率为，
将频率视为概率则，
所以，
所以从该市所有居民中随机抽取3人，其中恰有2人“户外体育锻炼达标”的概率为.
17．【答案】（1）解：设等比数列的公比为，
则，
当时，，
两式相减得，
则，所以，
令，得，
则，解得，
所以.
（2）解：不存在，理由如下：
由（1）得，，，
在与之间插入个数组成一个公差为的等差数列，
则，
所以，
则，
假设在数列中存在3项（其中成等差数列）成等比数列，
则，，
所以，
因为成等差数列，所以，
则，
所以，
则，
联立，解得，与题设矛盾，
则在数列中，不存在3项（其中成等差数列）成等比数列.
【知识点】等差数列概念与表示；等比数列概念与表示；等比数列的通项公式；反证法的应用；通项与前n项和的关系
【解析】【分析】（1）利用已知条件和的关系式以及等比数列的定义，从而得出公比的值，再利用的关系式得出首项的值，再根据等比数列的通项公式得出数列的通项公式.
（2）利用反证法，假设存在，由等差中项公式得到，再利用等比中项公式得到，联立解得，与题设矛盾，从而得出假设不成立，则在数列中，不存在3项（其中成等差数列）成等比数列.
（1）设等比数列的公比为，
，时，，两式相减得，
即，所以，
令得，即，解得，
所以.
（2）不存在，理由如下：
由（1）得，，
在与之间插入个数组成一个公差为的等差数列，则，
即，则，
假设在数列中存在3项（其中成等差数列）成等比数列，
则，，即，
因为成等差数列，所以，所以，
即，即，
联立解得，与题设矛盾，
故在数列中不存在3项（其中成等差数列）成等比数列.
18．【答案】（1）解：由，
可得，
由，
可得对恒成立，
则对恒成立，
因为，所以对恒成立，
则对恒成立，
记，，则，
当在单调递增；
当在单调递减，
则，
所以，
则，因此，
则，所以的最大值为1.
（2）解：因为，又因为，
当时，则，此时，在定义域内单调递减，此时不满足有两个零点，
当时，令，则此时在单调递减，，
则此时在单调递增，
且当，
要使有两个零点，则，
所以
记，
因为均为内的单调递增函数，
所以，函数在单调递增，
又因为，所以时，，
则，
记函数，
则
，
因为，，所以，
则函数在单调递增，
所以，
可得，
则
因为，所以，
又因为，所以，
因为，在单调递减，
所以，则.
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】（1）利用已知条件和导数的运算法则，从而得出h(x)的解析式，再利用导数判断函数的单调性，从而得出函数的最值，再根据不等式恒成立问题求解方法，从而得出实数a的取值范围，进而得出a的最大值.
（2）对进行分类讨论，利用导数求得函数的最值，再利用函数的单调性可得实数的取值范围，构造函数，再根据导数的正负判断函数的单调性，从而证出不等式成立.
（1）由可得，
故由可得对恒成立，
故对恒成立，
由于得，故对恒成立，
进一步可得对恒成立，
记，，则，
当在单调递增，当在单调递减，
故，
，故，
因此，即，故的最大值为1，
（2）由于，
由于，
当时，则，此时，在定义域内单调递减，此时不满足有两个零点，
当时，令，则此时在单调递减，，则此时在单调递增，
且当，
要使有两个零点，则，则
记，由于均为内的单调递增函数，因此函数在单调递增，由于，
因此时，，
故，
记函数，则
，
由于，，所以，
因此函数在单调递增，
故，
进而可得，即可
由于，则，
由于，所以，又，在单调递减，
故，
即
19．【答案】（1）解：因为，
所以，
则的情形有：，，
，共计9种，
因此.
（2）解：由（1）可知：，
则的情形有：，
，共计8种；
因此，，
则的情形有：，，，共计9种；
因此，，
则的情形有：，，，
共计10种，
因此，，
设A小队每局获胜概率为，
则比赛获胜概率为
所以，
则越大越大，
所以甲和丁组成A队在每局比赛中获胜概率为在比赛中获胜概率最大.
（3）解：因为，
则事件件表示20个式子相乘后得到的组合方式的数量，
其中，，
令，得到；
令，得到，
则，
令，
得到
因为，
所以，
因此，，
所以．
【知识点】利用导数研究函数最大（小）值；相互独立事件的概率乘法公式；二项式定理的应用
【解析】【分析】（1）利用已知条件和古典概率公式，从而得出和的值.
（2）利用已知条件分析，的情形，从而写出的表达式，再利用导数的正负判断出函数的单调性，从而得出甲和丁组成A队在每局比赛中获胜概率为在比赛中获胜概率最大.
（3）利用已知条件，分别赋值和，再利用二项式定理得出的概率.
（1）因为，
所以，
的情形有：，，
，合计9种，
因此.
（2）由（1）可知：，
的情形有：，
，合计8种，
因此，，
的情形有：，，，合计9种；
因此，，
的情形有：，，，合计10种；
因此，，
设A小队每局获胜概率为，比赛获胜概率为，
所以，
故越大越大，所以甲和丁组成A队在每局比赛中获胜概率为在比赛中获胜概率最大.
（3），
事件件表示20个式子相乘后得到的组合方式的数量，
其，其中，
令，得到，
令，得到，
因此，
令，得到，
又因为，
所以，
因此，，
所以．
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