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2026年湖南省初中毕业水平数学考试第三次模拟考试测试卷（一）
一、选择题（每题只有一个正确选项，每小题3分，满分30分）
1．在，，，这四个数中，最小的数是( )
A． B． C． D．
2．近年来，人工智能大模型的参数量飞速增长．某大模型的参数量约为175000000000个，数据175000000000用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
3．下列几何体中，主视图是三角形的是（ ）
A． B． C． D．
4．已知反比例函数，则下列描述不正确的是（ ）
A．图象位于第一，第三象限 B．图象必经过点
C．图象不可能与坐标轴相交 D．随的增大而减小
5．如图，在矩形中，对角线与相交于点，，，则的长为（ ）
A．2 B． C．3 D．5
6．如图，平行四边形ABCD中，，，EF＝4，则AD的长为（ ）
A．8 B．10 C．16 D．
7．若关于，的方程组的解满足，则的值为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在平面直角坐标系中，直线与直线（，为常数，且）的图像交于点，则关于，的方程组的解为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，中，，，，点是的内心，则的长度为（ ）

A．2 B．3 C． D．
10．已知非负数a，b，c满足a+b＝2，c﹣3a＝4，设S＝a2+b+c的最大值为m，最小值为n，则m﹣n的值为（　　）
A．9 B．8 C．1 D．
二．填空题（每小题3分，满分18分）
11．若最简二次根式与能合并，则a＝___．
12．设，是一元二次方程的两个根，则______．
13．如图，正六边形内接于，点P是上的任意一点，则的大小是______．

14．如图，已知矩形ABCD沿着直线BD折叠，使点C落在C′处，BC′交AD于E，AD=8，AB=4，则DE的长为___．

15．如图，、是的两条切线，A，B为切点，，，则的半径是______．
16．一次折纸实践活动中，小王同学准备了一张边长为（单位：）的正方形纸片，他在边和上分别取点和点，使，又在线段上任取一点（点可与端点重合），再将沿所在直线折叠得到，随后连接，小王同学通过多次实践得到以下结论：
①当点在线段上运动时，点在以点为圆心的圆弧上运动；
②当达到最大值时，到直线的距离达到最大；
③的最小值为；
④达到最小值时，
你认为小王同学得到的结论正确的是___
三、解答题（8小题共计72分，解答题要有必要的文字说明）
17．计算：．
18．先化简：，再从，0，1中选择一个你喜欢的代入求值．
19．我国国家级非物质文化遗产代表性项目名录中，传统美术项目涵盖绘画、雕塑等多个美术门类．为了让艺术作品融入日常生活，将传统工艺美术引入课堂，为传统工艺美术注入新的活力，某学校决定在选修课中增加A“藤编”、B“剪纸”、C“书法”、D“国画”、E“篆刻”五门课程，针对本校部分学生对新增课程的喜爱程度进行了问卷调查．
根据调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，根据图中提供的信息，解答下列问题：
(1)本次共调查了________名学生，并补全条形统计图；
(2)在扇形统计图中，C所对应的扇形圆心角的度数为________；
(3)该学校现有4000名学生，请估计喜爱“剪纸”与“国画”课程的共有多少人．
20．如图，在中，对角线，相交于点，，过点作交于点．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
21．“六一 ”儿童节将至，张老板计划购买 A 型玩具和 B 型玩具进行销售， 已知购买 A 型玩具 30 个和 B 型玩具 10 个共需450 元，购买 A 型玩具 40 个和 B 型玩具 20 个共需 700 元．
(1)求购买 A 型玩具和 B 型玩具的单价分别是多少元？
(2)若 A 型玩具的售价为 12 元/个，B 型玩具的售价为 20 元/个，张老板购进 A ，B 型玩具 共 75 个，要使总利润不低于300 元，则 A 型玩具最多购进多少个？
22．为丰富群众文化生活，某公园修建了露天舞台，在综合与实践活动中，要利用测角仪测量背景屏幕最高点C离地面高度．如图，已知舞台台阶，，某学习小组在舞台边缘B处测屏幕最高点C的仰角，在距离B点的E处测得屏幕最高点C的仰角，已知点A，B，C，D，E，F，G在同一平面内，且A，G，D三点在同一直线上，B，E，F三点在同一直线上．参考数据：取，取．
(1)求的长（结果保留整数）
(2)求最高点C离地面的高度的长（结果保留整数）．
23．如图，已知抛物线的顶点坐标为，点的坐标为，点为抛物线上一动点，以点为圆心，长为半径的圆交轴于两点（点在点的左侧）．
(1)求此抛物线的函数表达式；
(2)当点在抛物线上运动时，弦的长度是不是定值？若不是定值，请说明理由；若是定值，请求出弦的长．
(3)如图2，若直线过点，求证：是等边三角形．
24．在矩形中，点是射线上一动点，连接，过点作于点，交直线于点．
(1)当矩形是正方形时，以点为直角顶点在正方形的外部作等腰直角三角形，连接．
①如图1，若点在线段上，则线段与之间的数量关系是_______，位置关系是_______；
②如图2，若点在线段的延长线上，①中的结论还成立吗？如果成立，请给予证明；如果不成立，请说明理由；
如图3，若点在线段上，以和为邻边作平行四边形是中点，连接，求的最小值．
参考答案
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D C C D B B D B C B
二、填空题
11．4
12．
13．
14．5
15．2
16．C
三、解答题
17．【详解】解：
＝2×－4 ＋1－
＝－4 ＋1－
18．【详解】解：
，
由分式有意义得条件得到且，
∴当时，．
19．【详解】（1）解：本次共调查的学生总人数为（名），
则喜爱“篆刻”课程的人数为（人），
喜爱“藤编”课程的人数为（人），
则补全条形统计图如下：
．
（2）解：，
即在扇形统计图中，C所对应的扇形圆心角的度数为．
故答案为：144．
（3）解：（人），
答：估计喜爱“剪纸”与“国画”课程的共有人．
20．【详解】（1）证明：，
，
四边形为平行四边形，
四边形为菱形，
，，
，
，
；
（2）解：，，
，
，
，
即，解得，
．
21．【详解】（1）解：设购买 A 型玩具和 B 型玩具的单价分别为元/个和元/个，由题意，得：
，解得：；
答：购买 A 型玩具和 B 型玩具的单价分别为10元/个和15元/个；
（2）设购进A型玩具个．
解得：
∴最多可购进A型玩具25个．
22．【详解】（1）在中，
∵，，
∴ ，
答：的长约为；
（2）在中，
∵，
∴，
在中，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，由题意，知是矩形，
∴，
∴，
答：最高点C离地面的高度的长约为．
23．【详解】（1）解：根据抛物线的顶点坐标为，
设，
当时，，
解得，
；
（2）解：弦的长度是定值，理由如下：
连接，，过点作轴交于，
，
设，则，
，
，
，
；
（3）证明：设直线的解析式为，
，
解得，
，
设，
，
解得，
当时，点在对称轴的左侧，
，
，
，，
，，
是等边三角形；
当时，点在对称轴的右侧，
，
，，
，，
是等边三角形．
24．【详解】（1）解：①∵四边形为正方形，
∴即，
∵，
∴，
∴，又，
∴，
∴，
∵为等腰直角三角形，
∴，而，
∴，
∴四边形为平行四边形，
∴且，
∴，，
②成立，
证明：当点E在线段的延长线上时，
同理可得：，
∴，
∵为等腰直角三角形，
∴，而，
∴，
∴四边形为平行四边形，
∴且，
∴，；
（2）解：∵，
∴C、E、G、F四点共圆，
∵四边形是平行四边形，M为中点，
∴M也是中点，
∴M是四边形外接圆圆心，
则的最小值为圆M半径的最小值，
∵，
设，
∵，
当时，y取最小值，
∴的最小值为，
故的最小值为．
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