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2026年湖南省永州市中考数学第二次全真模拟试卷（一）
一、选择题（每题只有一个正确选项，每小题3分，满分30分）
1．﹣6的相反数是（　　）
A．﹣6 B．﹣ C．6 D．
2．检测4瓶牛奶，下面是4瓶牛奶的质量，其中超过标准质量的部分记为正数，不足标准质量的部分记为负数，从轻重的角度看，最接近标准质量的是（ ）
A． B． C． D．
3．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
4．一个不等式组中的两个不等式的解集在数轴上的表示如图所示，则这个不等式组的解集为（ ）
A． B． C． D．
5．一元二次方程的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
6．下列说法正确的是（ ）
A．调查某种灯泡的使用寿命最适合采用普查的方式
B．菱形的对角线相等
C．若一个正多边形的每个内角都是，那么这个多边形是正五边形
D．甲、乙两人在相同的条件下各射击8次，他们射击成绩的平均数相同，方差分别是，，则乙的射击成绩较稳定
7．如图，，为的弦，连接，，．若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
8．某班的5名同学1分钟跳绳的成绩（单位：次）分别为：179，130，192，158，141．这组数据的中位数是（ ）
A．130 B．158 C．160 D．192
9．用四根长度相等的木条制作学具，先制作图（1）所示的正方形，测得，活动学具成图（2）所示的四边形，测得，则图（2）中的长是（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在梯形中，，对角线交于点，且，有下面四个结论①；②；③；④；其中正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二．填空题（每小题3分，满分18分）
11．若有意义，则x的取值范围是_____．
12．已知，，则的值为__________．
13．若边形共有54条对角线，则该多边形内角和为___________．
14．若是关于x的方程的解，则的值为______．
15．如图，，相交于点，，，，是的中位线，且，则的长为_______．
16．如图，在中，，，若是边上任意一点，且满足，与边的交点为，则线段的最小值是__________．

三、解答题（8小题共计72分，解答题要有必要的文字说明）
17．（6分）计算：
18．（8分）先化简，再求值：，其中．
19．（9分）某校为了了解本校学生“一周内做家务劳动所用的时间”，（简称“劳动时间”）情况，在本校随机调查了100名学生的“劳动时间”，并进行统计，绘制了如下统计表：
组别 “劳动时间”t/分钟 频数 组内学生的平均“劳动时间”/分钟
A t＜60 8 50
B 60≤t＜90 16 75
C 90≤t＜120 40 100
D t≥120 36 150
根据上述信息，解答下列问题：
(1)这100名学生的“劳动时间”的中位数落在______组；
(2)求这100名学生的平均“劳动时间”；
(3)若该校有1200名学生，请估计在该校学生中，“劳动时间”不少于60分钟的人数．
20．（9分）如图，在平行四边形中，过点D作于点E，点F在边上，，连接．

(1)求证：四边形是矩形；
(2)已知，若，求的长度．
21．（9分）某校开设棋类社团，购买了五子棋和象棋．五子棋比象棋的单价少8元，用1000元购买的五子棋数量和用1200元购买的象棋数量相等．
(1)两种棋的单价分别是多少？
(2)学校准备再次购买五子棋和象棋共30副，根据学生报名情况，购买五子棋数量不超过象棋数量的3倍．问购买两种棋各多少副时费用最低？最低费用是多少？
22．（9分）如图，点为矩形和正方形的公共顶点，点在矩形的边上，交于点．
(1)求证：；
(2)连接，若，是的中点，求和的长．
23．（11分）中国著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万乘休”．在函数的学习中，常常利用数形结合思想来探究函数的图象与性质．我们不妨约定：图象经过平面直角坐标系中三个象限的函数称为“之一函数”，例如一次函数经过第一、二、三象限，即属于“之一函数”．
(1)在下列关于的函数中，是“之一函数”的是______（填序号）．
①；②；③；
(2)①若关于的二次函数是“之一函数”，与轴交于，两点（其中），与轴交于点，且，求该二次函数的解析式．
②在①的条件下，点是二次函数图象第一象限上的点，问是否存在点，使得，若存在，请求出点坐标，若不存在，请说明理由．
(3)若关于的二次函数是“之一函数”，其图象与轴交于、两点，顶点为点，与轴交于点，点是的中点，点是坐标原点，已知，且，试求：的最大值．
24．（11分）（1）【问题探究】如图1，正方形中，点、分别在边、上，且于点，求证：；
（2）【知识迁移】如图2，矩形中，，，点、、、分别在边、、、上，且于点．若，求的长；
（3）【拓展应用】如图3，在菱形中，，，点在直线上，，交直线于点．请直接写出线段的长．
参考答案
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C C B B A C B B B C
二、填空题
11．/
12．18
13．
14．2019
15．
16．
三、解答题
17．【详解】解：原式
．
18．【详解】解：
=
，
当时，
原式．
19．【详解】（1）解：把100名学生的“劳动时间”从小到大排列，排在中间的两个数均在C组，故这100名学生的“劳动时间”的中位数落在C组，
故答案为：C；
（2）（分钟），
答：这100名学生的平均“劳动时间”为110分钟；
（3）1200×（人），
答：估计在该校学生中，“劳动时间”不少于60分钟的有1104人．
20．【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴且，
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴，
∴四边形是矩形；
（2）∵
∴
又∵
∴
∴
21．【详解】（1）解：设购买五子棋的单价是x元，则购买象棋的单价是元，根据题意得：
解得：，
经检验是所列分式方程的解，且符合题意，
∴．
答：五子棋的单价是40元，象棋的单价是元；
（2）解：设购买两种棋的费用为w元，购买五子棋m副，则购买象棋副，根据题意得：
，
解得：，
，
，
随的增大而减小，
在中，
为正整数，
当时，有最小值，最小值为（元），
则（副）
答：购买五子棋22副，象棋8副时，费用最低，最低费用是1264元．
22．【详解】（1）证明：∵四边形是矩形，
∴，
∴．
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
∴．
在和中：
，
∴，
∴．
（2）解：如图，过点作，交于，
∴，
∵四边形是矩形，，
∴，．
∵为中点，
∴．
由得，
∴．
在中，
．
∵四边形是正方形，
∴，．
∴，
在中，，
∵，
∴．
∵，
∴，
∴．
在和中：
，
∴，
∴．
在和中：
，
∴，
∴．
∵，
∴．
23．【详解】（1）解：对于函数①：，
该函数为正比例函数，且图象呈现上升型，
∴函数图象在第一、三象限内，
故不属于“之一函数”；
对于函数②：，
该函数为反比例函数，
∴函数图象在第一、三象限内或在二、四象限内，
故不属于“之一函数”；
对于函数③：，
开口方向向上，故一定经过一、二象限，
∵，
故顶点坐标为，在第四象限，
又∵与轴交点为轴正半轴，故不经过第三象限；
综上，只有函数③：经过第一、二、四象限，
故答案为：③．
（2）解：①∵函数与轴交于，两点（其中），
即、为方程的解，
∴，
∵，
即，
解得，
故该二次函数的解析式为．
②由二次函数的解析式为，
当时，，
解得，，
故点,，，
将点绕点逆时针旋转得到点，连接、、，取中点为，连接并延长，交抛物线与点，如下图所示：
∵，，
∴三角形为等腰直角三角形，
即，
∵为中点，
故CG⊥AD，且点坐标为，即，
∴，
∴，
令直线函数表达式为，
将点，代入，
得，解得，
故直线函数表达式为，
联立函数和，
得方程，
解得或，
将代入，得，该点坐标在第一象限内，
∴点坐标为．
（3）解：设，，
即方程的两解为，，
∴，，
∴，
二次函数的顶点是，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
化简得，
设，
则，
令，
∴，
∵，
∴，
∴当时，的值最大，为，
故的最大值为．
24．【详解】（1）证明：∵四边形是正方形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
在和中，，
∴，
∴．
（2）如图2，作于点，交于点，作于点，交于点，则，
∵四边形是矩形，，，
∴，，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴，
∵于点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得或（舍去），
∴的长是．
（3）解：线段的长为或，理由如下：
如图3，作于点，交的延长线于点，则，
∵四边形是菱形，，，
∴，，
∴，
∴，，
∴，，
∴，
点在线段上，且，则，
∴，
∴，
设于点，则，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
如图4，点在线段延长线上，且，则，
∴，
∴，
设于点，则，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
综上所述，线段的长为或．
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